NORD ES ARE

2HT Me 9)

(121) Ga==

On en déduit la valeur de + en fonction de x

122 T— HE) à æ+0

paie

L'échelle de + se construit facilement : il suffit de projeter sur la droite AD une échelle métrique portée sur AH hauteur issue de A, en prenant le point B pour centre de projection : l'application de la formule (66) donne en effet

UH— - BC, le point U est bien en B ( /ig. 24).

B D. H Ce

Fig. 24.

On peut aussi déterminer les points de AD correspondant aux valeurs de K égales à des multiples entiers simples de puissances entières (positives ou négatives) de 10. On calculera d’abord la table donnant en fonction du coefficient de dissociation + la valeur de la constante K se rapportant à la dissociation du corps À pur.

Cette fonction est définie par

On reportera sur une feuille de papier (/ig. 24) une longueur A’ h' égale à A h, qui sera l’axe des + et on élèvera au point À une perpendiculaire à A’#', qui sera l'axe des K. On tracera (') la courbe K— jf (<), et l'intersection de cette courbe et des droites K — w.10*, où u et # sont des entiers, donnera les valeurs de + correspondantes. Les points qui les représentent, reportés sur AA, seront projetés de B comme centre, sur AD, ( fig. 24 à droite).

IV. La construction par points se fera en utilisant le fait que la coordonnée z figure au premier degré seulement dans l'équation (117). On mettra la valeur de K sous la forme d’un produit

AS RENE (2)'z.

(*) Il sera nécessaire de changer plusieurs fois d'échelle pour le report de K : cette fonction varie de 107% à 10° dans l'intervalle 0,02 < + < 0,99.

ONG ba définies par une graduation située sur une parallèle au côté AB, en a, b,

Le premier facteur ( ) — y représente des droites issues de C; elles seront

Fig. 25.

(fig. 25). Soient = 1, l'équation d’unes de ces droites, p le point coté n, sur la graduation à, b,; les coordonnées x et y de ce point sont dans le rapport

(125) Y PAa—

Cette graduation s'obtiendra pour les valeurs de n inférieures à 1 en construisant une échelle de la fonction 1, puis l'ayant reportée en a, a, il suffira de la projeter homographiquement sur à, p,. Pour les valeurs supérieures à l'unité, on construira de même l’échelle des inverses — qui, reportée en b, b, sur BC, sera projetée sur b, p,. Les points ainsi AE sur &, b, porteront la cote qui a servi à les obtenir. Les points d’une courbe cotée K, s’obtiendront alors en associant les parallèles à AB cotées 3, et les droites issues de C cotées 1, dont le produit 3, < n, sera constant et égal àK,

(126) NE Re:

NT ei

On peut aussi chercher à utiliser la graduation en valeurs de K reportée sur AD : le coefficient de réduction t relatif aux droites issues de A, qui, jointes aux parallèles à BC, permettront d'utiliser la troisième méthode (vor p. {1 et 42) est défini par l'équation :

: 3 rt (F2) =e( ie);

nous avons ainsi calculé les valeurs de e correspondant aux valeurs utiles pour t, en résolvant cette équation du troisième degré en e par la méthode trigonométrique. Cette équation du troisième degré a en effet ses trois racines réelles ;

les calculs sont très simples et il n’est pas nécessaire de les pousser bien loin, la précision du graphique devant être limitée au maximum au dix-millième.

Tangente au point courant. — Les cotes k, ou /, des points 4, et t, d’intersection des côtés AB ou AC et de la tangente en un point M de coordonnée x et situé sur une droite issue de B ou C, cotée /,ou #, s’obtiennent d’après le nomo-

gramme ( /g. 10) en joignant les points de cote 2x et #, ou = sur les échelles

parallèles ; l'intersection de cette droite et de l'échelle transverse donne la cote cherchée ; le report du point £, ou t, doit tenir compte de ce que la graduation n’est pas reportée directement sur AB (/ig. 26).

V. Tangentes aux points B et C. — Les tangentes en Cs’obtiennent en donnant

à 3, la valeur 1 dans l'équation (1 26). Cette équation se réduit alors à: n, =K.,;

la tangente est la droite issue de C qui s’appuie sur le point coté K, de la gra-

duation @,b, (Jig. 22). Les courbes sont toutes tangentes en B à BA, puisque Y Na (no)

joie

VI. Calcul des coordonnées y ou 3 au voisinage des côtés AC ou AB. — La coordonnée dont le calcul est le plus fréquent est z, puisque les courbes sont toutes tangentes à la droite BA. Ce calcul peut se présenter quand on cherche la concentration du corps C dans un mélange figuré par le point d’intersection d’une courbe cotée K., et d’une isocrase de cote e’. Ce calcul se fait par approximations successives (très rapidement convergentes) en utilisant les deux équations (128)

- == el ONCE D Un nomogramme (Annexe planche 7) gradué en fonction de e facilite ce calcul [pour l’exposé de la méthode, voir ci-dessus: Généralités sur le diagramme triangulaire, page 45, et Équilibre type (1, 1, —1}, S VI, p. 57]. VII. Le diagramme construit n'offre aucune singularité. Il présente la forme 1” (voir p. 5o et fig. 14) : le point C est un point d’inflexion pour toutes les courbes, ce qui explique l'existence de tangentes distinctes en ce point-là. VIIL. 1° Nous avons construit un graphique entier inscrit, comme tous les

autres, dans un triangle de 1" de hauteur : il comprend 186 courbes, réparties entre 10° et 10* de la manière suivante :

Om TOMATE 2 courbes cotées 1 et 5

TO TO race 5 » 10 HO Ct8

LOTO me ete 8 » TE D D: 0,18

TOR T OMC 16 courbes : 5 à l’équidistance de 2.107 (1,0 à 1,8) 6 » D TOM 2 RO ANS 01) o » 1 om (IX COLE re (ON)

10e TON Lite 24 DRE REO Di. D LCR MIOLNO RE 0) 1/ » 10046 01100)

ROM LORS cree 43 DT E2O » l-TOÆ (D, 0402 #0) 15 » 2 -.LOmN(S ON d107 0) 8 » ATOM A(O OMAN)

TOR TO CRE ho MAN 2 0 » TTOSA (TONER OI) 10 » TOR (0 OLA NT:0) 10 » DPFOm AO ON TOO)

LOUE TOMATE ENS 28 D'AMEENEO » 1 TO MES MARS 0) 10 » 2. 10m (2 ON 07 0) l » tro (b, 0100!)

TOMETO EE EUR 12 DR ere » LHOUNRTORR 178) 7 COteS 10, 2,6, 3, 40-1088

HOT OR ere 5 courbes cotées : 1, 1,5, 2, 3, 5

+ 3 courbes cotées : 1,10*, 2,10% et 1.10

; pES

2° En raison de l’emploi fréquent de ce diagramme pour de faibles valeurs de la constante K, nous avons construit deux fragments de ce diagramme voisins du sommet À avec une hauteur de base plus grande, l’un s'étendant surtout vers les valeurs de e supérieures à 1, l’autre vers les valeurs inférieures à 1. Les triangles dont ils semblent extraits (/ig. 27) ne présentent pas la disposition

B i C Fig. 27.

habituelle : les droites AD tracées sur les diagrammes ne sont pas parallèles ; les fragments tracés représentent les portions a, À b,, a, Ac, du triangle de base, les points a, et a, étant au milieu des côtés AB et AC : ce sont donc des huitièmes du triangle ABC.

Les graduations e('), #, l, et n ne sont pas obtenues par homographie comme celles du triangle de hauteur 1", mais par le calcul. La détermination des points d’une courbe se fait en matérialisant la droite À — (/n au moyen d’un fil fin tendu par un poids. Le sommet C étant une pointe fine fixée à la distance convenable de A, on oriente la planche supportant le graphique en plaçant ce fil métallique sur AC. Cette orientation est alors repérée avec précision, et la détermination des points se fait par l’intersection de cette droite, mobile autour de C, et des parallèles à AB, de cote déterminée, tracées sur la feuille de papier.

Le tracé des courbes se fait toujours en commençant par la courbe de cote la plus élevée, et en déterminant ensuite les points des courbes de cotes décroissantes. La distance moyenne des courbes, est plus grande que dans le graphique déjà décrit (5"",4). Les césures sont néanmoins bien nettes et le report des points facile.

(1) Dans la direction du côté BC, la droite qui limite les huitièmes de triangle porte la graduation en valeurs de e qui aurait été reportée sur BC si l'on avait tracé le triangle tout entier.

D ee

4° Type (3,1, — 2). — Équation :

(nr —:2)

u I. Le point D divise le côté BC dans le rapport de 1 à 3, et le point caractéristique se trouve sur la droite AD ainsi définie, à une distance de À égale à

deux fois AD ( /ig. 29).

IT. La graduation de CB en fonction de e:

(130) 5 est facile à obtenir par projection d’une échelle métrique : les points de cote o,

1, co, étant C, D, B.

Les côtés AB et AC sont gradués en fonction des rapports :

Les cotes des isocrases passant par des points m/ cotés k ou / sont données par

les relations :

(131) CE ni)

nous avons changé l'orientation du triangle : le point A est à droite, le point C à gauche et B en haut de la feuille (fig. 28); pour la même raison, les trois

graduations €, k, {, ne sont pas reportées dans le même ordre que sur les diagrammes précédents : l'échelle e est reportée sur les côtés AB et BC, la

seconde graduation de AB est celle de # SE quatre graduations sont reportées le long de AC ; sur AC lui-même : /— = jusqu’à la cote 1+ V3 — 2,732; cette

graduation est alors remplacée par À — ; jusqu’au delà de C, en un point (R) coté À —— 0,067 environ. La graduation / est continuée sur une parallèle à AC, jusqu'au point coté 10, la suite normale (c’est À) de la graduation étant de nouveau sur AC. L'autre parallèle à AC porte vers l’intérieur la graduatione, vers l'extérieur la graduation 5 = z(1—2z) qui se retrouve identique sur la parallèle à BC. Enfin la seconde parallèle à AB porte la graduation

ne (132) HET a

IL. La droite AD peut être graduée en fonction du coefficient de dissociation +; une molécule du corps À en se dissociant donne à l'équilibre un

mélange de 1 — 7 molécules de A.

a » de B, T » de C.

La coordonnée x est donnée par la formule

(133) D HS rem 3 d'où l’on déduit la valeur de

tnt (134) = ——;

qu'il est facile d'obtenir sur AD par projection d’une échelle métrique : si nous la plaçons sur AH, le centre de projection U est à une distance VIH — Fa BC = BC 2n 2 le point B est le centre cherché (fig. 29).

On peut graduer AD en valeurs de K de la même manière que nous l’avons dit dans l’exposé relatif au diagramme (2, 1, — 2). La fonction K est alors :

RE, dort Le 27 —x) ne) NT LIU ERr) En 2562?

PO

Le report de ces valeurs se fera en utilisant la même projection homogra-

phique que pour la graduation de AD en fonction de x.

E Fig. 29.

IV. Construction des courbes par points. — La seconde méthode est la plus simple à mettre en œuvre: les fonctions &/ et o (vorr page 40) sont alors :

(136) m1 et p—2(1— 3).

Les droites représentées par la première fonction tournent autour de C. La graduation qui les détermine s'obtient en calculant la racine positive inférieure

à r de l’équation

(135) Ps

pour plusieurs centaines de valeurs de &/, comprises entre 10 * et 10°. Le

report graphique de cette graduation sur la droite a,b, (fig. 28) se fait par l'intermédiaire d’une échelle de réduction. L'autre équation

définit des parallèles à AB ; à chaque valeur de £ inférieure à 0,25 correspondent deux droites, également distantes de la droite EJ', parallèle à AB passant par le milieu des côtés BC et AC. Cette graduation a été répartie sur les parallèles à BC et AC les plus éloignées du triangle ; cette disposition facilite le tracé des parallèles à AB, qu’on obtient en joignant les points de même cote

Nr heure

sur ces deux graduations ('}). L’intersection de droites issues de C, cotées &° et

Fig. 30.

de parallèles à AB, cotées o, donnera les points d’une courbe cotée K, ( /ig. 30), pourvu que le produit &, < p, demeure constant et égalàaK,

(139) mp K,

chaque droite &’ portera en général deux points de la courbe K, (pourvu que &' >4K,).

Le tracé des tangentes au point courant ne présente aucune difficulté; on prendra plutôt /,, reportée jusqu'à [= 2,732 ... sur le côté AC lui-même ; les points à joindre sont : æ et 2 /, ou 5 Au Dans le report de #, on tiendra compte de l'éloignement de AB de la graduation # (voir fig. 30).

V. Les tangentes en B et C sont communes ; ce sont : en B, BA, et en C, CB. Les courbes présentent donc une inflexion (vor ci-dessous, $ VIT). VII. Le diagramme présente une ligne d’inflexion; le lieu des points de

k (2) Nous avons aussi calculé les valeurs de e racines de l’équation t—e? ñ qui 3e+1

permettraient d'utiliser la troisième méthode pour déterminer les courbes par points, mais la méthode exposée est beaucoup plus facile et plus démonstrative au sujet de la forme des courbes et de l'inflexion.

NE

contact des tangentes issues de C est la droite EJ,, parallèle à AB menée par E. La ligne d’inflexion EJ, correspond à la racine positive o” de l’équa-

tion (92) qui est alors :

(140) o?— oo —8—0o.

L'équation de cette droite EJ, en coordonnées obliques x et z est :

(141) e+ima(i+Va)(s—:).

Elle coupe le côté BC en L = sAr = 0,6%301) et AC en é

la coordonnée 4;, de ce dernier point est 4 —1+3=— 2,732...

Fig. 31.

La tangente d’inflexion d’un point M situé sur I, [° (fig. 31) (la droite BM étant cotée À,,) passe par un point ®, du prolongement de AC coté :

(142 À site = — ,183 ur.

On déterminera pour chaque courbe deux points situés de part et d’autre

RS

de I, [' ; l'intersection de Il’ et de la droite qui joint ces points donne le point d’inflexion M ; on a facilement À, sur la graduation de AC, d'où l’on déduit le, sur le prolongement de AC ; on trace la tangente MA, sur une assez grande longueur de part et d'autre du point M, car c’est de là qu’on doit partir pour tracer les courbes soit vers B, soit vers C.

Le point limite R, sur le prolongement de AC est donné par :