FALAISES —FARINE

Accélération g d’un corps qui Longueur l du pendule simple tombe à Paris, dans le vide : réduit au vide qui bat à Paris

g = 9m. 80896 *a seconde de temps moyen :

FALAISES, rochers coupés à pic et souvent en surplomb sur le bord de la mer. On évalue à lm.60 la tranche annuelle moyenne que la mer enlève aux falaises de Boulogne.

FARINE, voyez Blé (page 144).

FAUSSE POSITION (Règle de). Il arrive souvent qu’un problème conduise à une équation dont la résolution est fort embarrassante; soit qü’elle ne rentre pas dans la série de celles que l'on sait résoudre, soit que, y rentrant, elle exige des calculs fatigants. On emploie alors avec beaucoup d’avantage la règle dite de fausse position.

Règle. 1° Soit x le nombre inconnu que l’on cherche, essayez si un nombre quelconque a' mis à sa place dans l’équation peut la satisfaire; cela n’arrivera qu’autant que a' serait la véritable valeur de x; mais comme il n’en sera pas généralement ainsi, vous trouve-

724 FAUSSE POSITION ( Règle de).

rcz que ta substitution de a' fournit un résultat qui péchera par excès ou par défaut; soit dh «' l’erreur fournie par a1.

Cela fait, substituez dans l’équation un autre nombre quelconque a", opérez de la même manière et vous tomberez sur une autre erreur ± e";

2° Multipliez la différence des nombres (a1 — a") par la plus petite erreur, puis divisez ce produit, savoir : par la différence des erreurs si elles sont de môme sens, ou par leur somme si elles sont de sens contraire (faisant abstraction des signes) , vous aurez un quotient q, ou, ce qui revient au même, posez cette proportion :

La différence ou la somme des erreurs : la différence des deux nombres supposés :: la plus petite erreur : la correction (±ç);

3° Augmentez ou diminuez de q celui des deux nombres qui a fourni la plus petite erreur, suivant que cette erreur était négative ou positive; le résultat sera une valeur a'" plus approchée de x-,

4° Opérez de même avec a'" et celui des deux nombres primitifs a' ou a" qui a donné la plus petite erreur ou avec tout autre nombre encore plus rapproché et vous obtiendrez une nouvelle approximation a";

5° Continuez ainsi jusqu’à ce que vous obteniez le degré d’exactitude nécessaire; il conviendra, en général, de choisir pour a', a", a"' . . . des valeurs qui ne diffèrent que d’une unité du dernier ordre.

Exemples. On demande un nombre qui , ajouté à son carré et à son cube, donne 1 00; on a -}- x1 -f- x = 100. On voit facilement que la vraie valeur de x se trouve entre 4 et 5. Essayons ces deux nombres a' =4 o" = 5, il vient :

Sommes Si 155

(a" — a') = 1 ^jui, multiplié par la plus petite erreur, donne 16; les erreurs étant do sens différents on en prend la somme (abstraction faite du signe), on a 71 ; divisant, on a = 0.225 ; donc ;

x — à peu près 4 -j- 0.225 = 4.225 prenant A' = 4.2 et A" = 4.3 on trouvera

multipliant par (A" — A') = 0.1 la plus petite erreur 2.297 et divisant par 6.369 qui est la somme des erreurs qui sont en sens con-

FAUSSE POSITION {Règle de). 725

traire, fpi a 0.036 que l’on retranche de 4.3 qui est trop grand, il vient par approximation o" = 4.264.

Faisant de nouveau a '= 4.264 V' = 4.265 on trouve avec une très grande approximation x = 4.2644299.

Soit demandé de trouver l’are de cercle qui a même longueur que son cosinus, t étant la longueur de cet arc, on a l’équation

s = cos s

ou n» étant le nombre de degrés de cet are, on a

avec un peu d’attention on voit bientôt que cet arc doit avoir environ 45". Essayant cette valeur, il vient :

log 45 = 1.6532125

— log . . . 1.7581226 .... (eoy. Facteurs).

log arc 45» . . . 1.8950899 or log cos 45” est . . . ï. 8494850

il s’en faut de — 0.0456049

que le log. du cosinus atteigne celui de l’arc. Or, en prenant un arc plus grand que 45°, on aurait un cosinus qui s’éloignerait encore plus de la longueur de l’arc ; l’arc cherché est donc au-dessous de 45°. Essayons :

log 40° = 1.6020600

log ™ 1.7581226

log arc 40 o ï. 8439374

or log cos 40° . . . ï. 8842540

ici le log du cosinus dépasse de -J- 0.0403166 celui de l’arc.

Multipliant la différence des logarithmes des cosinus par la plus petite erreur et divisant par la somme des erreurs, on a environ 0.016 à retrancher du log cos 40°. Le résultat est le logarithme du cosinus d’un arc compris entre 42° et 43°. Essayant ces deux valeurs et opérant pour plus de facilité sur les différences des nombres, au

726 FAUSSE POSITION ( Règle de).

lieu d’opérer sur la différence des logarithmes, on aura la correction

à faire aux nombres; il vient :

n = 43 différence 1

logn 1.6232493

log arc de n». . ï.8651'267

or log cos n° est Ï.8710735

erreurs eu 0.0059468

On a donc environ 20'. 47" à ajouter à l’arc de 42»; l’arc cherché est donc compris entre 42°. 20' et 42°.21'. Essayons ces arcs après les avoir convertis en minutes, et(»oy. Facteurs) il vient :

log n< . . . 3.4048337 — 3.5362739

log arc n' . . . Ï.8685598

log cos n' . . . 1.8687851

Erreurs ...-)- 0.0002253

retranchant cette valeur de 42°. 21', on trouve pour la graduation approchée de l’arc cherché

42° 20' 47" 15'" et sa longueur = celle du cosinus = 0.7390847 On emploierait la même méthode pour résoudre les questions suivantes dont je me borne à indiquer la solution.

Trouver un secteur tel que sa corde le partage en un triangle et un segment qui soient équivalents?

L’équation est s = sin 2 *

et le secteur est celui de

108» 36' 13" 45'" 27lv 6T

Partager une surface de cercle en 8 parties équivalentes par des ordonnées perpendiculaires au diamètre horizontal? La question revient à trouver dans le quart de cercle un sinus qui le coupe en deux parties équivalentes, s étant l’arc correspondant à ce sinus, on a

S — 7 n = - sia 2 «

FAUSSE POSITION ( Règle de) s = 66° 10' 23" 37'" sio s = 0.9147711 ; cos s = 0.5960281.

De l’extrémité du diamètre d’un dcmi-ccrcle conduire une corde qui coupe le demi-cercle en deux parties équivalentes, s étant la longueur de l’arc qui satisfait au problème, on a

v s — sin s = - k

s a pour mesure 132° 20' 47" 14'" sa corde = 1.8295422.

D’un point quelconque d’une circonférence conduire deux cordes qui coupentle cercle en trois parties équivalentes :

a — sin s = - r.

les deux arcs extrêmes sont égaux et mesurés par un arc s dont la

graduation est 149°. 16'. 27"

l’arc intermédiaire a pour mesure 6t°.27'.6"

les deux cordes ont chacune en longueur . . . 1.9285340

Trouver sur une demi-circonférence un point tel que la somme do son abscisse et de son ordonnée soit égale à la longueur de l’arc comptée de l’origine qui est clic-même au sommet? a étant l’arc complémentaire, on a

r. — a zzz 2 cos — s I cos - s sin - s 1 a — 4t° 48' 7" l’arc cherché == 138° 11' 53"

x = 1.7454535; y = 0.6665578 ou par approximation x -f- y = 1 -}- ? + l/I

Trouver le secteur qui soit équivalent à la moitié du triangle formé par sa tangente, sa sécante et le rayon? s étant l’arc de ce secteur, on a

2 a = tang s; a — - tang s

s = 66° 46' 54" 14"’ tang a = 2.3311220

Trouver tous les arcs qui sont égaux à leurs tangentes? Ce sont ceux qui ont pour graduation, savoir: