sin. 2 A cos. 2 A

— 2 sin. A cos. A = 2 sin. A 9in. (90° — A)

— co9.'A — sin.’A ~ 2 cos.’A — 1 = 1 — 2 sin.1 A

tang. 2 A

cotang. 2 A sin. 3 A cos. 3 A

= { (cotang. A — tang. A)

= 3 sin. A — 4 sin.1 A = 4 co».’ A — 3 cos. A

3 tang. A — 'tang.* A

1 — 3 tang.1 A »io.(m 4- 1) A = 2 cos. A sin. m A — sin. (m cos.(m 4- 1)A = 2 cos. A cos.m A — cos.(m

tang. 3 A ='

sin. J A = ; 2sin.*{A = l — cos.A

cos. }A = "t~c°a. A . 2 cos.1} A = 1 4-C09.A

tang. î A = - .! ~ cog- A - I /* ~ c09'A

1 4* cos.A sin. A v 1 4" cos.A

, , * sin.A 1 4- cos. A

1 A - f- cos.A ~ SHÎ7À ■ = coséc.A + cotang.A

co«.-iA^1+cos-A 1

1 — cos.A tang.’îA

sin.A + sin.B = 2 sin. J (A + B) cos. J (A — B) sin.A — sin.B = 2 cos. i (A -f- B) sin. i (A — B) cos.A + cos.B= 2 cos. i (A + B) cos. i (A — B) cos.B — cos.A = 2 sin. J (A + B) sin. J (A — B)

tang.A + tang.B iang.A — tang.B col. A -}- cot.B col. A — cot.B —

sin. (A -}- B) sin.A cos.B -j- sin.B cos.A

cos.A cos.B cos.A cos.B

sin. (A — B) sin.Acos.B — sin.Bcos.A

cos.A cos.B cos.A cos.B

sin. (A + B) sin.A sin.B

sin. (A — B) sin. (B — A)

sin.A sin.B sin.A sin.B

tang.A ± cot.B “

± cos. (A B) cos.A sin.B

cot.A ± tang.B =

cos. (A B) sin.A cos.B

sin.A -j- sin.B tang. J (A 4- B)

sm.A~— sin.B ~tâïïg.+(A — B) = ,ang- i + B> C0,anS- 1 (A - B)

sin.A -f sin.B cos.B — cos.A

cos.A -j- cos.B ( "t" ) sin.A — sin.B

sin.A + sin.B . ..

cosTA — cos.B ~ COt' * ^A

sin.A — sin.B ...

c~3rÂ4-cos.B=lang-{(A-D) sin.A — sin.B

= - cot. J (A+B)

»‘n-A — sin.B , ,,

cos.B— cos.A — cot- f (A + B)

cos.A + cos.B coi. i(A+Bj séc.A + séc.B

cos.A — cos. B tang. i (A — B séc.A— séc.A

= — cot. } (A + B) col. 5 (A— B)

géométrie et trigonométrie (N).

tang.A + tang.B tang.A — lang.B sin. (A -f- B')

sin.A + sin. (A -f- B)

sin.A — sin. B

«in.(A4-Bl cot.B + col. A

sin. (A -^B) ~ col. B - col. A

cos. i (A + B ' cos. 1 (A — B)

sin. KA+B)

“ sin. \ ( A — B)

(N). Résolution des triangles rectilignes.

1 Principes, et formules générales. — Dans tout triangle rectiligne quelcomiue, 1° les sinus des angles sont comme les côtés opposés à ces angles; o° le mon des tables étant supposé = 1, le carré d’un côte quelconque du triancle éaale la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit dé ces mômes côtés par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent; !1" la somme de deux côtés quelconques est h leur différence comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés est à la tangente de

la demi-différence de ces mêmes angles.

Si le triangle est rectangle, et si l’on fait le rayon des tables = 1, 1» un i a* l'onnin iipnii pst lo or «xi u i t (1 P. PhvDolheniise nar le cosinus

autre cote par la lancerne uc » MU

Ces théorèmes suffisent à la résolution de tous les triangles rectilignes, et les formules qui suivent en sont la traduction algébrique

2. Triangles rectangles. Soient donc en général b la base, h la hauteur, Il liypolhénuse d’un triangle rectangle, et B, H, L les angles respectivement opposés a ces cotes , on a

l — séc. B = 6 séc. H

6 = L cos. H = h cotang.H z=.\S l' — h' — h tang.B ). — b tang.H = L sin. H = L cos. B — V I' — * = V (1 + &)

. „ h cos.B = sin, U = -y

cos.ll = sin. B = lang.B=colang.H = ,

/ — 6=/i lang. V H

I— h = b tang. i B

On pourra s'exercer à résoudre ces triangles à l’aide des valeurs numéri ques qui suivent.

i = 56m.925 jog. I = 1.7553030 L=9ü°

b = 45m.5iO log. 6 = 1.6583930 B = 53«,7,,48,'i

h = Si10.! 54 log. h = 1.5334543 Il = 36“, 52’, 11", 6

log. (sin.B rzcos.H) 9.9030900 log. (cos.B = sin.H) log. (lang.B = cot.H)

3. Triangles obliquanglet. Désignant par A, B, C les angles de l’un de ces triangles, et para, b, c les côtés respectivement opposés à ces angles, on a directement, en partant des principes 1 et 2,

o= l/ÿ+'qt-gflrens A - A = csin.A r sin.B sin.C

b ~ l/' a* -f-c* — 2/ic cos.B — .‘LHüj — csin.B * ' sin.A sin.C

c~ i /a‘+ b' — 2aôeos.C. — gjmji — 6ginC V sin.A — sin.B

*" •* 2* ca*- c“ éq“»‘ions résoudront en général les cas où l’on connaît soit deux angles et un côté, soit deux côtés et l’angle opposé h l’un d’eux toutefois, pour ce dernier cas, comme l’un des angles cherchés pourra n ciré détermine que par un sinus, et comme un sinus correspond à deux arcs supplémentaires, .1 y aura deux solutions, à moins que l’énoncé ou les conditions de la question rendent l'une d elles inadmissible.

3* cas. Si l’on ne connaît que deux côtés et l’angle qu’ils comprennent lation* ^ar exem^ e’ e lro,sieme principe donnera immédiatement la re-

Wng.J (C B) =: — ^ tang.I (C + B)= cotang.JA (*)

or

- } A = j somme = J <

et faisant — 2~ = } différence = \ d, il vient

C = i*+id

et

B=is-îd

4 cas. Enfin, si 1 on ne connaissait que les trois côtés a b c, on trouverait

« ?.qiUe C0Dqi!.e’ A- paf e*em,P,e' Par ''emploi de la formule suivante ou se déduit du second principe, et dans laquelle on fait le périmètre a -f b +?£

C) On peut remarquer que l’on aurait encore (M.— 47)

sin. C — sin. B = ~^b (sin. C + sin. B)

l‘1"C’Cnm^nfra1’ dans .triangle rectiligne, la somme de doux côtés est à leur d.ffé- Mnu!' Wmme * f0n’mc des sinus drs angles opposés à cos côtés est à la différence de ecs

tang.î A — J/ p;i)a)

On aurait encore, en remarquant que les deux segments x et y de la base * sont déterminées par

x + y = b et *-ÿ = ' ~b

cos. A = - ; cos. C = £ ; B= 180° - (A+ C)

Soient, pour l’application numérique de ce dernier cas,

on a 2 p = 58074".9O5

p — 29037“’.4525 . . log. p = 4.4629585 (p u) = 10906”. 8235 . . log. (p— a) = 4.0376983

log. R* = 20.0000000 compl. log. b . . 5.6128772 compl. log. c . . 5.8080106

log. cos.1 JA . . 19.9215446 i A = 23°, 59’, 15" log. cos. JA.. 9,9607723

On pourra s’exercer sur tous les autres cas, en supposant alternativement connues trois des données suivantes, et en cherchant les autres. Ce tnaugle d’épreuve appartient 5 la Gcodétie de Francœur.

Triangle obliquangle d’epreuve.

Côtés a = 57.770 log. 1.7617024 log. p =2.0357459

*=71.577 log. 1.8647735 log. (p— a) = 1.7059406

c =87.811 log. 1.9435489 log. (p — *) = 1. 5682252

log. (p — c) = 1.3173947

Angle». log- sin. log. cos. log. tang.

4. Voici quelques formules générales, au moins curieuses, données par M. Noël, eu 1822 :

Dans tout triangle rectiligne, on a :

tang. A + tang. B+ tang. C = tang. A lang.B tang. C tang. 2 A + tang. 2B + tang. 2 C = tang. 2 A tang. 2 B tang. 2 C

tang. 5 A -J-laug. JB — coi.tC =— tang.î A tang. î B col. i C

GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE (O), cot. i A + col. I B + cot. î C = col. } A col. j B cot. J C sin. A -f- sin. B -|- sin. C ■=» 4 cos. î A cos. \ B cos. J C sin. 2 A + sin. 2 B -f- sin . 2 C = 4 siu. A sin. B sin. C sin. 2 A -}- sin. 2 B — sin. 2 C = 4 cos. A cos. B cos. C

(O.) Résolution des triangles sphériques.

1. Dans le triangle sphérique ABC, les angles plans du Iriédre S sont mesurés par les côtés a, b, c, du triangle et les inclinaisons des faces sont mesurées par les angles respectifs A, B,C de ce triangle.

2. Un ne considère en général que les triangles sphériques formés par des arcs de grands cercles moindres chacun que la demi-circonférence ; on a donc

chaque côté< 180° et chaque angle < 2 droits ,

et partant de cette convention, les sinus, tangentes, cosinus, etc. ne peuvent appartenir qu’hdes arcs< 180°.

3. La somme a -f- b -f- e des trois côtés de tout triangle sphérique est < 360° ou < la circonférence d’un grand cercle.

4. La somme A + B-f- C des trois angles est toujours comprise entre deux et six angles droits.

5. Un côté quelconque d’un triangle sphérique est plus ^etit que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence ; et a c est toujours > qu’un côté quelconque.

6. Dans tout triangle sphérique, le plus grand angle est opposé au plus grand côté, l’angle moyen au côté moyen, le plus petit angle au plus petit côté.

7. Deux triangles sphériques, tracés sur une même sphère, sont égaux : 1° lorsque les trois angles sont égaux ; 2° lorsque les trois côtes sont égaux ; 3° lorsqu’ils ont deux côtés et l’angle compris égaux chacun h chacun ; 4° lorsqu’ils ont deux augles et le côté adjacent égaux chacun à chacun.

8. Deux triangles sphériques, tracés sur des sphères de différents rayons, sont semblables : 1° lorsqu'ils sont équiangles ; 2° quand ils ont les côtés homologues semblables ; 3° lorsqu’ils ont un augle égal compris entre côtés homologues semblables.

9. On a entre les côtés et les angles d’un triangle sphérique les relations suivantes :

10. Equations fondamentales (le rayon de la sphère étant 1), on a

roi.asseo«.6co».c>f-co9.A sin. 6 sm.c ;

coi. 6=eo«.acos.c -}-co».B «in. a sin.c;

coj. c = cos,ttcos.6 -f- cos. G «in. a sin. 6;

co». À =

COS. B Isa

cos.C *=

cos. a — co». 6 cos.c sin. 6 sin. e co» 6 — cos.a cos.c «in. a sin.c cos.c — cos. a cos 6 s in. a» in. 6

co».a = cos. 6 = co».c =■

co» . À -f- co» . B COi, C sin. B »in.C cos B-f- cos. A cos.C sin. A sin.C cos.C -}- cos. A co*. B sin. A sin. B

Ces équations permettent de résoudre un triangle sphérique dont on connaît trois parties (plus le rayon de la sphère). On remarque que le sinus et l§ cosinus se déduisant l’un de l’autre ne doivent être considérés que comme une donnée.

11. On déduit de ces équations fondamentales ce qu'on nomme la régie ou proportion des quatre sinus, savoir :

sin. A : sin. B r sin. C : '. sin. a ; sin. b : sin. e.

sin.A sin. a sin. A sin. a sin. B sin. 6

sin. B sin. 6’ sin.C sin.c’ sin.C sin.c

relation qui enseigne que les sinus des angles d'un triangle sphérique sont proportionnels aux sinus des côtés qui sont opposés à ces angles.

12. Formules des triangles rectangles. Soit C l’angle droit, on a

cos.C = 0, sin.C «=> I,

d’où résulte cos. c — cos. a, cos. b,

qui substituée dans les deux autres donne

cos. A

sin. b cos. a sin. c

et

cos. B

sin. a cos. h sin.c

sin. c sin. a sin. b 1 ~ sin.A ~ sin. B

13. En combinant ces diverses valeurs entre elles et y faisant les substitutions connues, on obtient les formules suivantes qui donnent la résolution des triangles sphériques rectangles.

Triangle sphérique rectangle en C.

On emploiera les dernières formules lorsque les arcs seront très-petits et exprimés par des cosinus, ou voisins de 90" et exprimés par des sinus.