LEE) LT M EE À

La suite de signes qui répond à la limite a est

(GABANR CEE AUS Pat + mt et la suite (D) est

(b) TRAME SEE LÉ si la série des indices a donc pour ses trois derniers termes

et l'arc est celui que représente la figure 13. Si par le point m qui répond à la moindre limite & on mène la tangente m4, on trouvera une sous-tangente & 4 qui, étant ajoutée à l’abscisse o a, donnera une nouvelle abscisse o + nécessairement plus grande que l’abscisse ox du point d'intersection. Ayant mené la tangente 76 par l'extrémité » de l’ordonnée qui répond à la plus grande limite b, si par le point 77 on fait passer une droite m a’ parallèle à cette tangente, l'interceptée « a’ étant ajoutée à l’abscisse o a, donnera une nouvelle abscisse o a” nécessairement moindre que l’abscisse ox du point d’intersection. Par conséquent la racine est comprise entre: o& et Ou: 1l faut donc ajouter à la partie déja connue a la valeur

AR a de Œa ul est Je ) U —————, et la somme surpassera certaine- : P

ment la racine æ. Mais si l'on ajoute à la partie connue a la valeur de l'interceptée aa’, la somme sera certainement moindre que la

10) lets, : le nu-

racine. Or la ligne a a’ a pour expression ++, OU FO? Une

mérateur a" — À est le reste R donné par l'opération arithmétique qui a fait connaître une première partie de la racine. On en conclut la proposition suivante : si l’on divise le reste R par 2 fois la puissance 72— 1%" de la partie & déja écrite à la racine, le quotient surpassera ce qu'il faut ajouter pour compléter la racine; mais si lon augmente d’une unité le dernier chiffre écrit à la racine, ce qui

donne par hypothèse une valeur à plus grande que cette racine, et si l’on divise le mème reste R par zx fois la puissance m — 1°" de b, le quotient sera plus petit que ce qu'il faut ajouter à & pour com- R

——— diffèrent assez ra A"

. À R pléter la racine. Les deux quotients ———, 3 mr «a

au commencement de l'opération pour que la comparaison de ces quotients ne serve point d'abord à faciliter le calcul de la racine; mais lorsqu'on est parvenu à connaître un plus grand nombre de

à . R CL) A chiffres exacts, le deux quotients ES ARE diffèrent extrême-

ment peu; et eomime on est assuré que les chiffres communs aux deux limites appartiennent à la racine cherchée, il s'ensuit que chaque opération fait connaître un certain nombre de chiffres exacts , et qu'il ne peut y avoir aucune incertitude sur le terme où l'on doit s'arrêter dans la division numérique.

I est facile de déterminer suivant quelle lof augmente le nombre des chiffres exacts que fournit chaque division numérique , et l'on a fait depuis long-temps des remarques de ce genre au sujet des opérations qui servent à extraire les racines carrées et cubiques. Mais ces conséquences ne sont point bornées à des cas aussi simples : nous prouverons bientôt qu’elles conviennent aux racines de toutes les équations algébriaues, quel que soit le nombre des termes. Ces propriétés sont même beaucoup plus générales ; elles ne dépendent point de la nature de l'équation déterminée dont on cherche la racine; elles dérivent du caractère de l’approximation Jinéaire.

(19) On voit par l’article précédent que les règles élémentaires qui servent à extraire les racines numériques ne sont autre chose que des applications très-particulières d’une méthode générale qui embrasse les équations de tous les degrés. C'est sous ce point de vue que Viete, Harriot, Ougthred, Newton et Wallis ont d’abord considéré la question de la résolution des équations. Is pensaient qu'il devait exister une opération exégétique générale, propre à donner successivement toutes les parties d'une racine quelconque d’une équation affectée. Ils désignaient par cette dernière expression. l'équation afgébrique qui contient outre la puissance x" de l’in--

connue et le dernier terme connu A, différents autres: termes formés des produits de coefficients donnés et des puissances inférieures de linconnue.:Newton découvrit la partie de cette méthode générale qui s'applique aux équations littérales à une seule inconnue, et 1l en à fait un usage très-étendu dans l’analyse des séries. Long-temps auparavant François Viete avait proposé les mêmes vues ; mais les théories mathématiques étaient trop imparfaites pour que l’on püt former à cette époque une méthode aussi étendue. Le cas tres-simple des équations à deux termes:avait été facilement résolu parce que la nature des racines est manifeste, et que l'on n'avait besoin d'aucune règle pour en déterminer les limites. Mais si l’on suppose un nombre de termes et de coefficients quelconque, la distinction des racines réelles ou imaginaires, et la recherche de deux limites pour chaque racine réelle, nécessitent un examen trèsapprofondi : c'est cette question que nous avons traitée dans notre premier livre.

Le calcul de Ia valeur numérique de chaque racine est fondé, comme on l'a vu dans les articles 16 et 17, sur la comparaison de deux limites de plus en plus approchées entre lesquelles cette racine est nécessairement comprise. Les propositions que nous avons démontrées suffiraient à la rigueur pour l'exactitude du calcul: mais il importe beaucoup de donner à cette méthode un nouveau degré de perfection, afin d’en rendre l'application usuelle et très-facile, En général on ne doit pas regarder cette recherche comme terminée tant que l’on n’est point parvenu à réduire l'opération aux seuls calculs qu’il est indispensable d'effectuer. Il ne s’agit pas seulement d'arriver avec certitude à la connaissance de la racine, il faut donner à la méthode toute la simplicité qu'elle peut admettre sans cesser d’être générale. Pour atteindre ce but nous avons à résoudre trois questions différentes dont on va faire connaître l'objet.

La première est purement arithmétique : elle consiste à ordonner l'opération qui sert à diviser un nombre par un autre , en sorte qu'on ne fasse concourir chaque chiffre du diviseur à la détermination du quotient que lorsqu'il est devenu nécessaire d'appeler ce chiffre

du diviseur pour qu'il n'y ait point d'incertitude sur celui que l’on va écrire au quotient.

La seconde question a pour objet d'effectuer tes substitutions successives nécessaires au caleul de la racine dans un tel ordre qu'aucune partie dé l'opération ne soit répétée, et que l’on poursuive le calcul en ajoutant seulement aux opérations précédentes le résultat correspondant à la nouvelle partie de la racine.

La troisième question consiste à assigner la mesure exacte de la convergence de l’approximation , afin que l’on connaisse sans aucune incertitude combien chaque division numérique donne de chiffres qui doivent être conservés comme faisant partie de la racine.

(20) Si l’on examine la première question, on reconnaît d’abord que la règle commune pour la division des nombres donnerait lieu ici à des calculs superflus, En effet, pour déterminer les limites

a et d, on doit calculer les valeurs de quotients tels que PE ) et le dénominateur f'(a) provenant de la substitution de la partie déja connne a dans la fonction f(x), peut contenir plusieurs chiffres décimaux, et contient en effet un grand nombre de chiffres si l’opération est déja très-avancée. Or les derniers de ces chiffres du diviseur placés à la droite ne contribuent point à former les

quil s'agit de connaître. Il faut donc n’employer que les chiffres du diviseur qu'on ne peut pas se dispenser d'introduire dans le calcul.

premiers chiffres du quotient et ce sont ces premiers chiffres

L'auteur dutraité intitulé Ærtis | analycæ praxis, Oughtred ; à laissé une règle de ce genre pour la multiplication des nombres ; et l'on connaît aussi un procédé analogue pour simplifier le ki de la division numérique lorsqu'on veut seulement connaître un certain nombre de chiffres du quotient. Mais nous devons satisfaire ici à une autre considération : elle consiste à n’appeler que successivement les chiffres du diviseur, afin de pouvoir continuer

l'opération à volonté; et surtout il faut reconnaître avec certitude que le chiffre écrit au quotient est exact. Voici la règle que lon doit suivre dans tous les cas pour effectuer cette division ordonnée.

On marquera dans le diviseur quelques-uns des premiers chiffres seulement, par exemple les deux premiers, ou les trois premiers , ou les quatre premiers; nous appelons diviseur désigné celui qui est ainsi formé des chiffres que l’on a marqués. Cela étant, on divisera le dividende proposé par le diviseur désigné, en effectuant cette opération selon une règle qui ne diffère de la règle commune qu'en un seul point. Voici en quoi cette différence consiste : toutes les fois qu'on abaisse un chiffre du dividende à la suite du reste donné par une opération précédente, et que l'on forme ainsi un dividende partiel, il faut corriger ce dernier dividende en en retranchant une certaine quantité ; on obtient ainsi un dividende partel corrigé. Alors on cherche combien de fois ce dernier dividende contient le diviseur désigné, et l’on écrit au quotient le chiffre qui exprime ce nombre de fois. On multiplie donc le diviseur désigné par le chiffre écrit au quotient, et l’on retranche le produit du dividende partiel corrigé. On abaisse à la suite du reste un nouveau chiffre du dividende, et l'on continue l'opération suivant la même règle. )

Pour trouver la correction qui doit être faite à un diwidende partiel, c'est-à-dire la quantité qu'on en doit retrancher, il faut comparer comme il suit tous les 7 chiffres déja écrits au quotient avec un pareil nombre m de chiffres pris à la suite du diviseur désigné. On suppose que les » chiffres du quotient sont écrits dans l'ordre inverse , et placés respectivement au-dessous des » chiffres pris à la suite du diviseur désigné. On multi plie chacun de ces chiffres par celui qui est placé au-dessous de lui, et ajoutant les 7 produits, on connaît ce qui doit être retranché du dividende partiel, et l’on effectue la correction.

Au les fois qu'en suivant cette régle on doit abaisser un chiffre du dividende à la suite d’un reste donné par l'opération précédente, on examine si ce reste surpasse, ou du moins égale la somme

des chiffres déja écrits au quotient, et que l’on ajoute ensemble comme s'ils exprimaient des unités. Lorsque cette condition a lieu, on est assuré que le chiffre qui a été écrit précédemment au quotient est exact.

(21) Si l’on n'a marqué pour former le diviseur désigné qu’un chiffre, ou deux, ou en général un trop petit nombre de chiffres, il arrivera que la condition ci-dessus énoncée n'aura pas lieu; c’està-dire que le reste d'une opération précédente sera moindre que la somme des chiffres déja écrits au quotient: alors le dernier de ces chiffres est encore incertain, et l’on est averti qu'on n’a pas marqué un assez grand nombre de chiffres pour former le diviseur désigné. Dans ce cas, on continuera d'abord d'appliquer la règle précédente, en abaïssant un chiffre du dividende et en effectuant la correction prescrite. Si elle ne pouvait être faite on en conclurait que le chiffre écrit au quotient est trop fort : il faudrait donc le diminuer d’une unité. Mais si la correction peut être faite, on abaisse à la suite du résultat de cette dernière soustraction un nouveau chiffre du dividende, ce qui donnera un nouveau dividende partiel. En même temps on marquera un chiffre de plus à la suite du diviseur déja désigné, ce qui donnera un nouveau diviseur désigné. On procédera, selon la règle énoncée, à la correction du nouveau dividende partiel, c’est-à-dire que l’on comparera les m chiffres déja écrits au quotient à un pareil nombre #» de chiffres pris à la suite du nouveau diviseur désigné. Ayant formé par cette correction le nouveau dividende partiel corrigé, on continuera lapplication de la présente régle en faisant usage du nouveau diviseur désigné. On pourrait aussi revenir au premier diviseur désigné : en général on peut, dans le cours de l'opération, augmenter ou diminuer à volonté le nombre des chiffres que l’on désigne au diviseur, il suffit d'augmenter en même temps ou de diminuer le nombre des corrections; ces détails se présentent d'eux-mêmes.

On reconnaîtra par la pratique combien l'opération que nous venons de décrire est facile lorsqu'elle est faite avec ordre. On peut former à la seule inspection des nombres le résultat de chaque cor-

rection. En effet si, après avoir écrit sur une feuille séparée, et dans l’ordre inverse, les m chiffres du quotient, on les présente aux 2 chiffres pris à la droite du diviseur désigné, en sorte qu'ils se correspondent chacun à chacun, ilest facile de compter la somme des produits des chiffres correspondants, sans qu'il soit nécessaire d'écrire ces produits partiels. Car il suffit d'ajouter ensemble les seuls chiffres des unités de ces produits en comptant de la droite à la gauche: on ajoute ensuite en revenant vers la droite les seuls chiffres de ces produits qui expriment les dixaines.

Cette remarque conduit à une conclusion singulière, savoir que l’on peut effectuer à vue la multiplication de deux facteurs proposés, quel que soit le nombre des chiffres qui forment chaque facteur. Par exemple si les facteurs proposés sont 234567 et 8909876, et si on les écrit sur deux feuilles séparées, on pourra, à la seule inspection de ces deux nombres, dicter successivement les chiffres de leur produit 208962883692 sans écrire aucun des produits partiels, comme l’exigerait la règle commune.

Le procédé de la division ordonnée, tel qu'il est décrit article 20, fait connaître avec certitude les chiffres exacts da quotient, et l’on n'a employé de nouveaux chiffres du diviseur que lorsqu'il est nécessaire de les introduire pour trouver de nouvelles parties du quotient. Cette règle a l'avantage de prévenir tous les calculs superflus, et surtout de pouvoir être prolongée autant qu'il est nécessaire jusqu'à ce que l'on ait trouvé le nombre de chiffres exacts que l’on veut obtenir. On doit en faire usage toutes les fois que le diviseur contenant un grand nombre de chiffres, il s’agit de déterminer seulement quelques-uns des premiers chiffres du quotient.

Nous pourrions indiquer des appheations très-utiles de la règle de la division ordonnée, mais notre objet principal est ici de perfectionner le calcul des racines des équations numériques. Je ne rapporterai pas la démonstration de cette règle : 1l est facile de la suppléer. Elle consiste à remarquer avec soin l'ordre des divers produits. Chaque correction a pour objet de retrancher du dividende la somme des produits dont l’ordre est le même que celui du chiffre du dividende qui vient d’être abaissé.