CHAPITRE y. — APPLICATIONS DES THÉOBIES PRÉCÉDENTES

coniquey elles formeront entre elles le même angle que les deux rayons r, t' .

2*> Lorsque deux éléments du triangle formé par les deux rayons vecteurs et la distance focale de la première conique sont respectivement égaux à deux des éléments correspondants du triangle formé par les rabattements des distances d'un point aux deux foyers de la seconde sur les tangentes menées de ce point à cette conique et la ligne qui joint les extrémités de ces distances rabattues, les deux triangles seront égaux chacun à chacun, pourvu que parmi ces éléments il y ait un côté.

3** Si deux courbes planes E, E' sont rapportées chacune à deux foyers dont les distances focales ne sont pas les mêmes, et qu* elles jouissent V une et Vautre de la même propriété par rapport à leurs rayons vecteurs et aux mêmes paramètres a, «I, . . . , toute relation exprimant une propriété de la première courbe par rapport à ses rayons vecteurs, à l'angle de ses rayons et à la distance focale, exprimera la même propriété de la seconde courbe par rapport aux rayons vecteurs de cette courbe à r angle des deux tangentes menées de ce point à une conique ayant les mêmes foyers que cette seconde courbe, pourvu que cette seconde conique ait un grand axe égal à la distance focale de la première courbe.

4** Les mêmes choses étant données que dans le théorème 3®, si f{z,z';a,ai,...) = o et jf ( r, ri ; «, a„ . . . ) = o ^ont les équations des deux courbes E et E', il suffira qu*en deux points correspondants une seule des coordonnées de l'une de ces courbes soit égale à la coordonnée correspondante de l'autre pour que* les deux triangles, qui ont leurs sommets en ces points et qui sont formés le premier avec les deux rayons vecteurs z et x' et le côté 2po, et le second avec l'angle des tangentes à la conique 2pt et les rayons vecteurs r, r,, soient égaux.

Remarque. — Ces divers théorèmes s'appliquent à un réseau quelconque de coordonnées elliptiques homofocales, parce que la distance focale du réseau est indéterminée.

4l4 UYRE III. — COURBES RAPPORTÉES A DBS COORDONNÉES^ ETC.

232« applications, — Appliquons ces théorèmes à quelques exemples :

I" Soil la droite EM rapportée aux deux foyers F, F, et parallèle à la droite FFi; elle exprime que le triangle formé par les deux rayons vecteurs t et t' a une aire constante 2a^ Si Ton

Fig. 80.

construit une conique ayant FF, pour grand axe et une distance focale AAi quelconque, la courbe E' qui aura^ par rapport à ses rayons vecteurs r et a et au paramètre a la même équation que la première par rapport à t, t' et âc Jouira de cette propriété que Taire triangulaire des deux rayons r, n, rabattus sur les tangentes menées d'un de ses points à la conique sera constante. On aura donc, pour l'équation de la seconde courbe.

Si on la rapporte à deux axes rectangulaires menés du milieu de FF,, Tun suivant cette droite et l'autre normalement, on aura Téquation

plr' -+- ipl - ^')^' -^ pi {^' - pi) ~^* = o,

qui représente une conique. Cette équation ne dififçre de celle de la conique de la question qui a pour axe 2po et pour distance focale 2c que par le terme constant a*. Ces deux coniques sont donc semblables.

2" Le lieu des sommets d'un angle droit circonscrit aux deux points F et F, est un cercle dont l'équation est

le lieu des sommets d'un angle droit circonscrit à la conique