CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

Rayon de courbure,— Soit ^ ce rayon de courbure; on trouve sans difficulté l'équation suivante :

I /cosv^a cos/^ cos^^ X

cos 2 ra5 cositds cos2ti as

qui donne une construction simple du rayon de courbure.

234. Conclusion, — Les exemples qui précèdent établissent surabondamment l'utilité de notre théorie des coordonnées curvilignes planes^ et la facilité avec laquelle les questions sont résolues dans le système de coordonnées propre à chacune d'elles. Cette théorie renferme, comme cas particuliers, les divers systèmes de coordonnées que nous avons étudiés de préférence dans les deux premiers Livres de cet Ouvrage, et dont nous avons fait de nombreuses applications. Pour faire rentrer ces divers systèmes dans l'ordonnance de nos formules générales, il sufGrait, dans ces divers cas, de mettre en évidence les paramètres différentiels du premier ordre H, Hi, G, relatifs aux arcs et à l'angle des lignes coordonnées.

Que si Ton compare les formules de notre Analyse des courbes planes avec les formules de notre Analyse des courbes tracées sur une surface, on reconnaît entre elles de nombreux points de contact. En effet les secondes se partagent en trois groupes : le premier, qui peut être affecté de la courbure des lignes coordonnées, mais nullement de la courbure de la surface; le second, affecté des courbures tangentielles des lignes coordonnées et de la courbure de la surface; enfin, le troisième, relatif aux courbures des arcs coordonnés normales à la surface. Or le premier groupe de formules a son analogue dans l'Analyse des courbes planes : de là résulte que toutes les questions qui dépendent des formules de ce groupe sont traitées, ou peuvent être traitées de la même manière dans les deux Analyses. Le second groupe a aussi son analogue dans t'Analyse des courbes pla^s; mais les formules sont simpli-

4l8 LITRI III. — COURBES RAPP0RTÉB8 A DIS GOORDONllRRSy BTC.

fiées par suite de la disparition du terme relatif à la courbure de la surface. Conséquemment les questions de Géométrie, plane qui dépendent des formules de ce groupe peuvent être traitées par un calcul analogue, mais plus simple. Le troisième groupe n'a pas d'analogue dans l'Analyse des courbes planes. Ces observations permettraient d'ajouter à notre théorie des coordonnées planes toutes les formules des deux premiers groupes que nous avons établies dans VAnalyse des courbes tracées sur une surface^ et toutes les applications que nous en avons faites dans le Livre II de l'Ouvrage cité; mais, pour éviter des répétitions, nous omettons ces formules et ces applications. Seulement il est de notre devoir de les mentionner, parce qu'elles forment le complément du présent Ouvrage.