CHAPITRE III. — DEUXI&ME SYSTÈME DE GOORDONKÉES, ETC. 8l

mules sont :

[ 0-, — (<7,) = r — (r) -+- [a — ((T)]cosa, ii) ) ^2 — (o'a) = r, — (rt) + [(T, — (o-,)]cosa,,

/Jajo/i rfe courbure. — On déduit de ces équations les propositions suivantes :

Théorème I. — Si Von prend la développée oblique sous l'angle a d^une courbe i et la développée oblique sous V angle ai de cette développée^ on trouve la même courbe que si l'on prend la développée oblique sous l'angle Ui de la courbe c et la développée oblique sous V angle a de cette développée.

En effet, si Ton prend la dérivée par rapport à e de Téqualion qui donne la valeur de Ri, et qu'on porte les valeurs de Ri» R'i dans Téquation qui donne la valeur de Rs, on obtient l'équation suivante :

(5) Rj =1 sina sina,R" + sin(« -h a,)R' + cosa cosûti R.

Cette équation étant symétrique par rapport à â, a,, et ne renfermant que le rayon de courbure de la courbe o-, on aurait trouvé le même résultat si Ton avait fait les opérations d'une manière Inverse; donc, etc. On déduit sans difficulté les théorèmes qui suivent :

Théorème II. — Si Von prend n développées obliques succès-sives d'une courbe o* sous les angles a, a,, as» ... , a^^if la développée oblique de Vordre n sera la même dans quelque ordre que l'on fasse intervenir les angles a, Ui, a^,. , ,, a^^i.

Théorème III. — Si Von prend les développées obliques de Vordre n d*une courbe a- en permutant de toutes les manières possibles les angles a, ^i, . . . , an^\y sous lesquels sont prises les développées obliques successives, l'ensemble des rayons de courbure oblique de ces différents systèmes formeront autant de lignes brisées dont les deux extrémités seront communes.

Corollaire I. — Les théorèmes précédents existent toujours

lorsque, parmi les développées obliques successives, certaines deviennent orthogonales. Car cela revient à poser certains des angles a, ai, a^,. . ., a^^i égaux à un angle droit.

D'après cela, on obtient les propositions suivantes :

Corollaire II. — La développée d'une développée oblique sous l'angle a d'une courbe q est la développée oblique sous l'angle a de la développée de la courbe tr, et ainsi de suite.

Construction du rayon de courbure, — Pour obtenir le centre . de courbure de la développée oblique de Tordre n sous les angles a, Ut, «2, . . ., a„, construisez les rayons de courbure de la courbe cr et de ses développées successives jusqu'à Tordre n; à la ligne brisée dont les côtés sont R, R', R",. . ., R^"^ circonscrivez une seconde ligne brisée à angles droits dont le premier côté forme Tangle a avec le côté R, et projetez les extrémités de la première ligne brisée sur les côtés extrêmes de la seconde; on détermine ainsi une ligne brisée qui a un côté de moins; opérez sur cette ligne brisée et sous Tangle a, comme on a opéré sur la première sous Tangle a, vous aurez une nouvelle ligne brisée qui aura un côté de moins, et ainsi de suite, jusqu'à ce que la ligne brisée obtenue se réduise à un seul côté; les extrémités de ce côté sont Tune le point de la développée de Tordre /i, l'autre le centre de courbure de cette développée.

Cette construction donne à la fois le point de la courbe, sa tangente et son rayon de courbure correspondants, et Ton voit que le résultat final ne dépend pas de Tordre dans lequel les angles a, a,, a,, . . . sont intervenus.

Rectification de la développée oblique de l'ordre n. — L'inspection des formules (4) conduit à la construction suivante de Tare de développée oblique de Tordre n :

Théorème I. — Développez l'arc [o* — - (<3")] sur la tangente à l'origine de cet arc; par l'origine du même arc, menez sous l'angle a le rayon (r); par l'extrémité de ce rayon, menez sous l'angle Ut par rapport à ce rayon une ligne égale à (r,), et ainsi de suite jusqu'au rayon (r„, ); par l'autre extrémité de l'arc [o" — (o-)] développé, menez sous l'angle a le rayon r, et