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Chacune de ces sept équations comporte les six autres , et constitue seule l'involution des cinq points A, A', B, B', et 0. La propriété caractéristique de ce point 0 est que son conjugué se trouve à l'infini. Nous l'appellerous le point central des deux systèmes A, A' et B, B'.

La position de ce point central est déterminée par chacune des sept équations précédentes. La première exprime que le produit de* distances de ce point aux deux première pointe conjuguée, est égal au produit de eee dietancee aux deux autre* point* conjugué* ; celte relation va nous conduire a une propriété remarquable de l'involution de six points.

(t2) Soient A, A'; B, B'; et C, C ces six points; et soit 0 le point central relatif aux quatre premiers, de sorte qu'on ait OA^OA' = OB.OB'. Appelons un instant 0' son conjugué, lequel est à l'infini. Les six points A, A', B, B' et 0, O' forment une involution. Il résulte donc du théorème (8) que les deux systèmes C, C et O, 0', et un quelconque des deux autres, le premier A, A', par exemple, forment une involution. C'est-à-dire que le point 0 est le point central des deux systèmes A , A' et C, C. Ainsi l'on a OA.OA' = OC.OC . Mais on a déjà OA.OA' = OB.OB' ; on conclut donc delà le théorème général :

Quand troi* eytème* de deux point* forment une involution , il exitte toujour* un certain point tel que le produit de te* dittancet aux deux pointe de chaque système e*t conttant.

Réciproquement, quand tur une trantvereale on prend , à partir d'un point fixe O, deux point* tel* que le produit de leur* dittancet au point O toit égal à une quantité constante , troit système* de deux points ainsi déterminée seront en in volution.

Quand les deux premiers points seront pris du même côté par rapport au point O, il en devra être de même des deux points de chacun des deux autres systèmes , pour que le» pro-

NOTES

duils aient le même signe; et pareillement quand les deux premiers points seront pris de cotés opposés par rapport à un point O.

(13) Le théorème précédent, qui, je crois, n'a point encore assez fixé l'attention des personnes qui ont écrit sur celte matière, me parait être la propriété la plus simple de 1 uiu.liittt.il de six points, et celle par laquelle se manifestera , le plus souvent, dans les spéculations géométriques, cette involution.

Nous dirons que le point O, considéré dans une involution de six points , est le point central de l'involution.

(14) Ce point central conduit naturellement aux points double*, dont nous avons déjà parlé, et fait voir que ces points peuvent être imaginaires.

En flic t. soient A, A'; B, B', les quatre premiers points d'une involution. Il- suffisent pour déterminer le point central O. Si les deux points A, A' sont d'un même côté par rapport à ce point O, il en sera de même des deux points B, B', et des deux autres points C, G' qui doivent compléter l'involution. On peut donc supposer que ces deux derniers se réunissent en un seul, que nous appelons Ë; et l'on aura , pour déterminer ce point, l'équation

oa.oa' = on.oir -.= 7»r.

Ce point E peut être pris arbitrairement d'un côté ou de l'autre du point O; de sorte qu'il y aurn deux points E.

Ainsi les quatre premiers points A, A' et B, B' étant donnés, l'involution pourra être complétée de deux mauiercs par un cinquième point qui sera considéré comme double.

Mais si l'on suppose que les deux premiers points A, A' soient placés de cotés différera, par rapport au point O, il en sera de même des deux B, B', et des deux C, G' qui doivent compléter l'involution; ces deux derniers ne pourront donc jamais se confondre. Ainsi dans ce cas il n'y aura pas de points double»; l'analyse donnerait pour leur construction une expression imaginaire.

(15) Soient six points en involution A, A'; B, B' et G, C. Que les deux premiers soient du même côté du point central O; on pourra prendre, des deux côtés de ce point, deux points E, F, tels que