BA.UA
CB.CB'
CA'.CA
AC.AC
BC.BC
' " AB .AB
AB.AB'
' AC.AC
C'A.CA'
BC.BC
' ' AB .AB
CB.CB'
CA'.CA
De ces huit équations, les quatre dernières, numérotées 1', 2', 3', 4', se déduisent respectivement des quatre premières numérotées 1, 2, .3, 4, au moyen des équations (A).
fious donnerons plus loin (45), la démonstration de ces huit équations.
(3S) Voici une formule d'une autre forme, qui exprime l'involution de six points, par une équation à quatre termes, entre six segmens diHérens.
Soient a, ë, y, les points milieux des trois segmens A.V, BB , CC; supposons ces trois points placés dans l'ordre oc, 6, y, on aura la relation
«A .Cy — CB .xy -+- .aC = aZ.Cy.yx.
Cette équation est unique; c'est-à-dire qu'il n'en existe point une seconde qui ait la même forme.
Sa démonstration se déduira (40) d'une autre relation générale, que nous donneront ci-dessous.
(39) Quand les deux points C, C se confondent en un seul point E, la relation devient
7\\CE — CB'.aE = c£ «E. CE.
Si les deux points B, B' se confondent aussi en un seul F, il vient :
Toi. XI.
NOTES
C'est une des formules qui expriment que les points A , A' sont conjugués harmoniques par rapport aux deux E, F.
(40) On peut exprimer, comme on sait, la relation harmonique de quatre points, au moyen d'un cinquième point arbitraire, auquel on rapporte les quatre points proposé». Il est aussi une manière d'exprimer l'involution de six points en se serrant d'un point auxiliaire, auquel on rapporte !<•- six points proposés; et celte manière donne lieu à ud nombre infini d'équations, dont une seule suffit pour exprimer l'involution.
Soient A et A', B et B , C cl C les six points en involution, et m un septième point pris arbitrairement sur la droite sur laquelle sont situés les premiers; soient a, •/, les points milieux des segmens A A', BB', CC; supposant ces points placés dans l'ordre où nous les énonçons , on aura la relation
(F) mA.mA'.Cx — mh.mW.ay wC. mC. (Cb«,
Cette équation a lieu quelle que soit la position du point m.
En supposant que ce point se confonde successivement avec les points en involution, ou avec les points a, €, y, ou avec divers autres points détermiucs, on aura diverses relations qui exprimeront toutes l'involution de six points.
(41) La démonstration de l'équation (F) est facile. Nous allons faire Toir que si cette équation a lieu pour une position du point m, elle aura lieu aussi pour une autre position quelconque de ce point; c'est-à-dire qu'en appelant M celle nouvelle position du point m , on aura nécessairement
(F ) MA.B1A'. fy — BIB.MB'.ay -+- BIC.Mf.'.aC = o;
ensuite nous montrerons que l'équation (F) a effectivement lieu pour une certaine position du point m.
Pour déduire l'équation (F ) de l'équation (F), j'écris :
m A as MA — Mm , wA' = MA' — Mm , otA.otA' = MA. MA' — (MA h- BIA'jMm ÂTT ,
ou
«A.mA' = MA. MA' - ÎMa.Mm + Mm'.
Pareillement :
iwB.mB' = MB. MU - ÎMff.Mm + Mm' ,
et
mC.mC = MC.MC — îMy.Mw» -+- 3k.
L'équalion (F) devient donc :
MA.MA'.Cy — MB.MB'.ay -»- MC.MC'.*? l.Mw. (CyM* — ay.MC + «C.My) -+- (Cy— *y -+- xC) Mm" = o
NOTES. 323
Or, on a, entre les quatre points a, 6, y, M, la relation
Cy.SLt — ayMC -+- «C.My = o,
nod que noua l'avons démontré dans la Note IX ( pag. 305 ); on a aussi, entre les points o, S, y , la relation
Qy — ay -+- aC = o ;
l'équation ci-dessus se réduit donc à l'équation (F'), qu'il s'agissait de démontrer.
Il reste à faire roir que l'équation (F) a lieu pour une certaine position particulière du point m. Supposons que le point soit situé au point central de l'involution des six points; on aura m.V.mA' = mB.mB = mCmC ; et l'équation se réduira à
Cy — «y -4- aC = o .
équation identique.
Ainsi la formule (F') , ou (F) qui lui est semblable, est démontrée.
(42) On peut remplacer dans l'équation (F) les segmens crô, ay, 6y, par d'autres segmens entre les seuls points A, A', B, B , G et C : car on a
BC B'C AC + A'C' AB -♦- A'B' Cy= , ay = aC =
(43) Supposons que dans l'involution les deux points G , G', se confondent en un seul E , et que les deux points B, B', se confondent aussi en un seul F; l'équation deviendra
(G) mA.wiA'.EF — «F ctE ■+■ «ïfc'.aF mm o.
Cette équation exprime une relation entre quatre points A, A', E,F, dont les deux premiers sont conjugués harmoniques par rapport aux deux autres, et un cinquième point m pris arbitrairement.
En donnant à ce cinquième point différentes positions particulières, on aura diiTércntes expressions de la relation harmonique de quatre points.
(44) L'équation (F) nous parait être, jusqu'ici, l'expression la plus étendue et la plus féconde de l'involution de six points; car on en conclut toutes les différentes équations que nous avons données , et diverses autres qui donnent des expressions simples de plusieurs rapports de produits de segmens , que l'on a à considérer dans cette théorie.
Par exemple, en supposant que le point m se confonde avec le point A, on trouve cette ^pression très-simple du rapport de AC.AC' à AB.AB'
AC.AC' ay AC A'C AB.AB' ~ aC ~ AB A'B' "
L'expression de
est la même; d'où l'on conclut les équations (A).
(45) Supposant que le point m soit en B, il vient
nC.BC Cy BC B'C
BA.BA' cl = ~~ BA -+- B'A'
Ajoutant, membre à membre, cette équation à la précédente, et remarquant que l'on a x/ — ëy = aS, on obtient la première des huit équations (D).
(4fi) L'équation (E) se déduit aussi très-aisément de l'équation (F).
En effet, on a entre les trois points a, ë, •/, et un quatrième point quelconque m la relation suivante due à Mathieu Stewarl :
mx .Cy — mC .«y -+- my .aC = xC.Cy.yx. ' Retranchant de cette équation l'équation (F) , il vient
(«S? — M A. m A' ) Cy — (HTC — mB.mB' ) xy -♦- (m'y* — mC.mC' ) *C=*C.Cy.yx. Mais on a
m~* — 7Â' = ( mx + x\ ) ( mx — «A ) = «A.mA' ;
d'où
Pareillement
i^' — mli.mB' = CÏÏ', et mV — mC.mC' = yc'- L'équation ci-dessus devient donc
«A . Cy — CB . «y -♦- yC .«C « *C. Cy. y*.
(47) On conclut aussi de l'équation (F) la propriété du point central, qui a été connue de Pappus (18). Pour cela supposons le point G' situé à l'infini, de sorte que le point C deviendra le point centra/ 0; et écrivons l'équation (F) sous la forme
«lA.MA' — mB.mB'. — -+- mC.aC. ~1 = o.
Cy Cy
Le point y est aussi à l'infini, et l'on a
«y CC -+- CC.' mC mC 1
Cy=,îCy- 1 5 Cy ~ 3' ÂC h- CC ~ f£ ££'
mC + ».<:
I C'e*t letecond dei Some gênerai thtort nu , etc. {Voir quatrième Époque $ 88.)
NOTES
Or
CC CC mC
mc=o'e,*c=,;,,onc7r = â;
l'équation devient donc
mA.m.V — mB.mB' îx£ mO = o.
Remplaçant «6 par
AB + AU'
on a l'équation de Pappus.
(48) Si l'on suppose que les deux points B, B' se confondent en l'un des points doubles E , de l'involution, cette équation deviendra
(H) . mA.wA' — mK -i- SaE.mO = o.
(49) Si les deux points A, A', se confondent au deuxième point double F, il viendra
^p' + JEF.mO = o.
Cette équation exprime une relation entre trois points quelconques m, E, F, et le point milieu des deux derniers.
(50) La première des équations (D) et l'équation (II) donnent une démonstration du cas de maximum ou minimum démontré par Apollonius, dont nous avons parlé (17). Car, d'après la première de ces deux équatious , on voit que le rapport
