A'"BC

Pour mieux apercevoir les rapports qu'ont entre elles les expressions de p', q', p, o, représentons par les lettres a, b, e,d; a, b' , c' , etc., les difTérens polynômes qui sont les coefliciens de ces expressions; de manière que l'on ait :

a = (B'C'D'"), b = — (CD" A'") , c = (D'A"B"'), d = (A'B"C") , «' = — (B"C"'D), 6' = (C"D"'A), c' = — (D"A'"B), <f = - (A"B"'C), a" = (B'"Ciy )", b" = - (C"'DA'), c" = (D"'AB' ) , d" = ( A'"BC ), a'" = ( BC'D" ) , b'" =s - ( CD'A" ) , c'" = ( DA'B" ).

D'après cela , les expressions de p', q',p, q seront

ax

ex

bx

es

ax'

es'

oV

Dans les formules de Monge, il y a une parfaite réciprocité entre les valeurs de x' ,y' , z', p , a', en fonction de x,y, z,p, a, et les valeurs de x,y, z, p, o en fonction dey,»/', z',p\q'\

NOTES

c'est-à-dire, qu'outre la même forme, ces valeurs ont les mêmes coefficiens. Cela a lieu pareillement dans les formules particulières que nous avons données après celles de JHonge. Mais une telle réciprocité parfaite n'a pas lieu dans les formules générales où les expressions de y', z', p, q', sont bien de même forme que celles de », y, z, p, q, mais ont des coeflicicns différens. Pour donner à ces formules générales la réciprocité parfaite dont il s'agit, il suffit de disposer de six des seize coefficiens arbitraires A,B, C,D; A , B', etc. ; et de faire

il en résultera

et les expressions de x', y', z', p', q', restant les mêmes, celles de x, y, z, p, q deviendront

A'" (p'x' •+- 9Y — V) + \" — \'H' - \p' D'" (p'x' + q'y' - s') + D" - lYq- -Dp''

W" (p'x' -4- g' y' — z') •+■ B" — Uq' — Kp D'" (p'x' + q'y' — 3') -+- I)" — D'q' — Dp '

y/" ( p'x1 h- g y — s') ■+■ C" ~ cy — Cp

])"' (p'x' -4- g' y' - s') -+- D" — D'q' - Dp '

ax' -f- q'y' -f. a"i — a'"