V0TES
plus petits; ce sont ceux qui ont pour côté», le premier 5, 12, 13, et le second 9,12, 15.
Plaçant nés deux triangles de manière que leurs deux côtés égaux se confondent et que les autres côtés des angles droits soient daus le prolongement l'un de l'autre, on forme le triangle scaléne qui a sa base égale a 14, et ses» deux autres côtés égaux a 13 et 15. C'est ainsi que différons géomètres, chacun de son côté, auront pu être conduits au triangle exprimé par les trois nombres 13, 14 et 15. Cependant nous devons dire qu'avec les deux triangles rectangles dont nous nous sommes servi pour former celui-là, on en peut former un autre encore plus simple. Pour cela il faut superposer leurs deux côtés 0 et 5 ; il en résulte le triangle qui a pour base 4 , et pour côtés 13 et 15. Sa hauteur est 12 , comme pour le premier. Mais ce triangle est oblusanglc ; sa perpendiculaire tombe en dehors de sa base; et, bien que ce cas puisse se présenter aussi souvent que celui d'un triangle acu tangle,on le regarde généralement comme étant moins propre à servir d'exemple. Ainsi, naturellement , on aura choisi le triangle dont les côtés sont 13, 14 et 15.
Ces considérations montrent que l'on ne doit pas conclure , de ce que les Indiens ont employé les trois nombres, 13, 14 et 15, de même que Héron l'ancien, dans leurs applications de la formule de l'aire du triangle, qu'ils ont rcyu cette formule du géomètre d'Alexandrie. Mais 1 eussent-ils reçue, les droits de Brahmcgupta au titre de géomètre habile n'en recevraient aucune atteinte, puisque son ouvrage contient une formule beaucoup plus importante et des questions plus difficiles, dont nous ne trouvons pas de traces chez, les Grecs.
Le § 28 de Brahmcgupta donne les expressions des diagonales d'un quadrilatère inscrit au cercle, en fonction des côtés. Ce sont les formules connues. Elles résolvent le problème où il s'agit de construire avec quatre cotés donnés , un uuudrilutère inn • riplible au cercle. De sorte que le géomètre indien a connu la solution de ce problème. Cette circonstance n'est pas indifférente. Car ce problème, agité chex les Modernes, y a eu pendant un temps quelque célébrité ; et tous n'y ont pas réussi.
Nous dounerons une courte notice des géomètres qui s'en sont occupés , dans nos observations sur le § 38, qui est une suite de ce premier problème.
Pour ne pas trop alonger cette Note, nous omettrons les observations auxquelles peuvent donner lieu les propositions des § 23, 25, 20, 30-31 et 32. Nous dirons seulement que la seconde partie du § 30-31 énonce une proposition assci remarquable. Brahmegupta montre comment on calculera la perpendiculaire abaissée du point d'intersection des deux diagonales du trapèze sur sa base, et donne (sans indiquer le moyen de la calculer), l'expression du prolongement de celte perpendiculaire, jusqu'à la base supérieure. De cette expression nous concluons immédiatement que cette perpendiculaire passe par le point milieu de la base supérieure. Proposition facile à démontrer, mais qui mérite d'être signalée dans l'ouvrage de Brahmegupta. Elle fait bien voir qu'il est question d'un quadrilatère qui satisfait aux deux conditions d'être inscriptiblc dans le cercle et d'avoir ses diagonales à angle droit.
Nous allons rapporter les énoncés des quatre propositions comprises sous les $ 35 ,
NOTES
3fi, 37 et 38, qui nous ont paru résoudre la question de construire un quadrilatère inscriptible dans le cercle, et dont toutes les parties fussent rationnelles.
§ 35. Le côté est pris arbitrairement ; ton carré et t divisé par une quantité quelconque; du quotient on retranche cette quantité; la moitié du rette est la catkète de l'oblong; et ti l'on y ajoute la quantité, on aura la diagonale.
Ainsi soit a le côté de l'oblong, b la quantité prise arbitrairement,
j b / sera la cathète, et f f £ - b j + b = i '■ + hj sera la diagonale. En effet on a
D'après ce que nous avons déjà dit de cette formule, appliquée à la construction du triangle rectangle, on ne peut douter qu'il ne s'agisse ici de la construction d'un oblong dont les diagonales soient exprimées, comme les côtés, en nombres rationnels.
L'aire de l'oblong sera rationnelle aussi ; et il en sera de même du diamètre du cercle circonscrit à l'oblong, puisque ce diamètre est égal aux diagonales.
§ 30. Que let diagonalet d'un oblong toient let flanct d'un tétragone ; que te carré du coté de l'oblong toit divisé par une quantité prite arbitrairement , et que le quotient toit retranché de cette quantité; le reste divisé par deux , augmenté de la cathète de C oblong , tera la bate , et diminué de la cathète tera la corautte.
Soient a et b le côté cl la cathète de l'oblong, et c une quantité prise arbitrairement. Les deux flancs du tétragone seront égaux aux diagonales de l'oblong; sa base sera égale à
1 ^c — Î-J -4- b , et sa corauste à { — jr-\ — b.
§ 37. Let troit câtét égaux d'un tétragone , qui a troit câtét égaux , ont pour valeur le carré de la diagonale d'un oblong. On trouve le quatrième coté en retranchant le carré de la cathète de trois fois le carré du coté de l'oblong.
Si ce quatrième côté est le plus grand , il sera la base du tétragone, s'il ett le plut petit il sera la corauste.
Ainsi soient a le côté de l'oblong, et b sa cathète; a- + b2 sera le carré de sa diagonale. Nous supposons qu'il est formé suivant la règle du § 35; de sorte que sa diagonale, |/5* + b' , sera un nombre rationnel.
On prendra (a*-t-4') pour la valeur des trois côtés égaux du tétragone, et (3a1 — b ) sera l'expression du quatrième côté.
§ 38. Let côtés et let cathètet de deux triangles rectangles , multipliés réciproque-
?sOTES.
ment par les hypoténuses , sont les quatre côtés inégaux d'un trapèze Le plu» grand têt la bate , le plue petit la cor au* te et les deux autres sont les flancs.
Soient a, A, c, le côté, la calhéte, et l'hypoténuse du premier triangle, et a', b', c' , le côté, la calhéte et l'hypoténuse du second triangle '. Les quatre côtés du trapèze seront ae', bc', a'c, b'c.
L'ordre dans lequel ces côtés seront placés est indiqué par l'auteur, puisque les deux extrêmes seront les bases et les deux moyens les flancs.
Les propositions que présentent ces quatre paragraphes sont évidemment incomplètes, puisque chacune se réduit à donner une construction particulière des quatre côtés d'un tétragone. Or, d'une part, ces côtés ne suffisent point, excepté dans la première où il s'agit de l'ohlong, pour la construction du tétragone; et ensuite le tétragone étant construit, il n'est rien dit des propriétés dont il jouira , et qui ont dû faire l'objet de ces propositions. On doit donc penser que la construction des côtés, donnée par Brahmegupta, répond à une question qui avait été énoncée primitivement dans le litre de l'ouvrage et qui en a disparu dans quelqu'un des manuscrits qui se sont succédé. 11 fallait retrouver quelle avait été celte question; sans quoi l'on n'aurait point connu et l'on n'aurait su apprécier l'ouvrage de Brahmegupta. Le scoliastc Ghaturveda , dans l'application numérique qu'il fait des quatre propositions, parait avoir ignoré complètement leur destinalion; et ne nous fournit aucune donnée ni aucune lumière à ce sujet.
Mais ayant reconnu qu'il est question, dans la plupart des autres propositions dont nous avons déjà parlé, du tétragone inscrit au cercle, nous avons pensé d'abord qu'il en était de même des quatre propositions dont il s'agit. Ensuite, la première de ces quatre propositions, exprimée algébriquement, nous présentant la formule qui sert pour la construction d'un rectangle dont les côtés et les diagonales soient des nombres rationnels, et celle-ci, d'ailleurs, faisant suite dans l'ouvrage aux deux propositions qui nous ont déjà paru avoir incontestablement pour objet, de construire un triangle dans lequel les perpendiculaires et conséquemment l'aire et le diamètre du cercle circonscrit, fussent exprimés en nombres rationnels, nous avons été conduit naturellement à supposer que c'était une question analogue que Brahmegupta avait résolue pour le tétragone inscrit.
En effet, en formant avec les quatre côtés dont l'expression est donnée par chacune des quatre propositions, un tétragone inscriptible au cercle, et en appliquant à celte figure les différentes formules que contiennent les autres paragraphes de l'ouvrage pour le calcul de l'aire du tétragone, de ses diagonales, de ses perpendiculaires, du diamètre du cercle circonscrit, cl des segmens que différentes lignes font les unes sur les autres, nous avons trouvé que toutes ces formules donnent des expressions rationnelles. Nous avons dû en conclure que tel avait été l'objet des quatre propositions de Brahmegupta.
La proposition du § 38 nous donne lieu à plusieurs observations.
Les quatre côtés du tétragone ont pour expressions oc', bc , a'c et A'c. L'auteur a prescrit l'ordre dans lequel ils seront placés; les deux extrêmes seront opposés. D'après cette
1 Hout dë.igneron» plui loin ce» deux triangle* »om le nom de triinglei gènèratsurs.
NOTES
règle, on reconnaît aisément qu'ils proviendront de la multiplication des deux côtés d'un même triangle par l'hypoténuse de l'autre; et les deux moyens de la multiplication des deux côtés de celui-ci par l'hypoténuse du 1er. Car la somme des carrés des deux côtés ac', bc'} est égale à la somme des carrés des deux autres côtés a'c, bc; celle somme étant ce". Ce qui prouve que si ac est le plus grand côté, bc' sera le plus petit ; conséqueminent ac' et bc' , qui proviennent de la multiplication des côtés d'un même triangle par l'hypoténuse de l'autre, seront opposés entre eux, dans la construction du télragonc.
Nous concluons de là que la somme des carrés des deux côtés opposés est égale à la somme des carrés des deux autres côtés; et le quadrilatère étant supposé inscriptibledans le cercle, il résulte de celle égalité des sommes des carrés des côtés opposés, que le$ deux diagoiath $ du quadrilatère sont à angle droit. Ainsi il est démontré géométriquement que dans le § 38 , le mot trapèze s'applique exclusivement au quadrilatère qui a ses diagonales à angle droit.
Soit ABCD le trapèze ; on aura
AB = ac' , BC = a'c , CD = bc' , c l AI) = b'c . Les formules du § 28 donnent pour ses diagonales:
AC = «.i' ■+- ba', BU =oa' +
On peut calculer l'aire du trapèze par la formule du § 21 ; mais il est plus simple de remarquer que les diagonales étant à angle droit , celte aire est égale au demi-produit de ces deux lignes ; ainsi son expression est | (ab' ■+■ ba') (aa' + bb').
Le diamètre du cercle circonscrit est égal , suivant la seconde partie du $ 20 , a la racine carrée de la somme des carrés des deux côtés opposés , qui est ici :
Wc'1 -+- b'c" = ïVi' -+- b = ce*.
Les perpendiculaires BE , CF abaissées des deux sommets B, C. sur la base AD, calculée* dans les deux triangles ABD, ACD, par la règle du § 22, ainsi qu'il est dit par Brabmegupta .au § 20, sont :
DE = i («o' bb ) , CF = - {ab' + ba )
NOTES
que ces perpendiculaires font sur la base AD ,sont :
AE = - (ab' — ba') , DE = - (aa' 46*) , c c
I)K=- (44'— oo'), AF-= - (aô' + 4«').
Les segmens faits sur les deux diagonales, à leur point d'intersection, calculées par la règle du § 30-31 , sont :
AO = ab' , CO = a'b , BO = aa' , DO = 44'.
La perpendiculaire 01, dans le triangle AOD , calculée, comme il est dit au § 30-31 , (ou par une proposition résultante de la similitude des deux triangles EBD , IOD), est 01 = î^-; et son prolongement OL, jusqu'à la base supérieure, est égal , suivant la régie du même paragraphe, k la demi-somme des deux perpendiculaires BE, CF, moins 01; d'où OL = i a c.
Enfin nous n'avons pas besoin do donner les expressions des segmens faits sur les diagonales et les perpendiculaires, par leur intersection, non plus que sur les côtés opposés ; parce que tous ces segmens, dans un quadrilatère quelconque , sont exprimés rationnellement en fonction des côtés, des diagonales et des perpendiculaires.
Ainsi toutes les parties de la figure sont rationnelles.
Nous pouvons donc regarder la proposition du § 38 comme ayant eu pour objet de former un tétragone ayant ses quatre côtés inégaux, qui fut inscriptible au cercle, et dans lequel toutes les expressions que Brahmegupla a appris à calculer par ses autres proposi-
Ces expressions ne sont point calculées dans l'ouvrage indien. On ne doit pas en être étonné , puisque Brahmegupla se borne toujours au simple énoncé , le plus succinct possible, de ses propositions , sans en donner aucune démonstration, ni aucune vérification à posteriori.
Nous faisons cette observation parce que Bhascara donne, comme formant une proposition nouvelle qu'il s'attribue, les expressions des diagonales AC, BD, et reproche aux écrivains qui l'ont précédé, particulièrement à Brahmegupla, d'avoir omis celte régie, beaucoup plus courte , dit-il , que la formule du § 28 qu'ils ont donnée.
Les valeurs assignées aux côtés du quadrilatère par l'énoncé de la proposition § 38 , et les valeurs que nous avons trouvées pour les segmens OA , OB , OC , OD , font voir que les côtés de chacun des quatre triangles AOB , BOC,COD, DOA, qui sont rectangles en 0 et qui composent le quadrilatère, proviennent respectivement de la multiplication des trois côlés de chaque triangle générateur , par un côté de l'autre triangle. Ainsi les trois côtés du triangle AOB sont ac' , ab' , aa' ; ils proviennent de la multiplication des côtés c' , b' , a , du second triangle générateur pur le côté a du premier.
On peut donc, non-seulement déterminer les quatre côtés du quadrilatère, au moyen des deux triangles générateurs, mais aussi effectuer la construction du quadrilatère. Car
MO
NOTES
il suffit de former, comme nous venons de le dire, les quatre triangles rectangles AOB, BOG, COD, DOA , et de les réunir ensemble. C'est ainsi que les scoliasles, particulièrement Ganesa, dans ses notes sur l'ouvrage de Bhascara, ont compris la construction du quadrilatère: et ont suppléé de la sorte à la condition d'inscriptibilité au cercle, que nous supposons avoir été dans les intentions de Brahmegupta. On conçoit dès lors comment Chaturvcda a pu faire des applications numériques des règles de Brahmegupta, en ignorant cette condition d'inscriptibilité.
Avec les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit au cercle, on peut former deux autres quadrilatères qui seront inscrits dans le même cercle. Ainsi a, €, y, étant les quatre cotés, pris consécutivement, du quadrilatère, on peut les placer dans l'ordre a, £, à, y, ou bien dans l'ordre a,y,£,â. Ces trois quadrilatères ont, deux à deux, une même diagonale ; de sorte que de leurs six diagonolcs il n'y en a que trois différentes; les trois autres étant égales respectivement à ces trois premières '.
Si l'on applique cette remarque à la figure de Brahmegupta, les deux nouveaux quadrilatères ne seront plus des trapèze*, c'est-à-dire, qu'ils n'auront plus leurs diagonales à angle droit. Mais ces lignes seront encore rationnelles; ainsi que toutes les autres parties du quadrilatère que nous avons calculées pour le trapèze. De sorte que les deux nouveaux quadrilatères satisfont à la question générale que nous supposons que l'auteur hindou s'est proposée ; aussi aurait-il pu comprendre ces deux quadrilatères dans sa solution.
L'existence de ces deux nouveaux quadrilatères a été connue de Bhascara, qui a donné l'expression de la troisième diagonale; mais qui n'a nullement aperçu quel était l'objet de la proposition de Brahmegupta, soit par rapport a l'inscriptibilité au cercle, soit par rapport à la rationalité des différentes parties de la figure.
Celte troisième diagonale est égale à ce'. C'est précisément la valeur du diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère. Ce qui prouve que le quadrilatère a deux angles droits qui sont opposés. Cette forme particulière du quadrilatère , qui mérite d'être remarquée, ne l'a pas été par Bhascara 2.
I Ce» (mis quadrilatère* ntil la même surface. Lear* troi* diagonale* ditTércntc* ont avec cette îurface et le diamètre du cercle circonscrit une relation qui consiste en ce que: Le produit des trois diagonales , divisé par le double du diamètre du eerele circonscrit, est égal à Caire de l'un des tjuadri/atères.
Cette proportion parait due à Albert Girard, qui l'a énoncée dan* «a Trigonométrie. Nom ne trouvons pa* qu'elle ait clé reproduite depui*.
3 Cette propriété du quadrilatère , d'avoir deux angle* droit», fait voir que la question de construire un quadrilatère in*criptible au cercle, dont le* coté* , l'aire , le* diagonale*, le» perpendiculaire* , ainsi que le diamètre du cercle, soient exprimé» en nombre rationnel», est susceptible d'une solution trél-*imple, ni consiste à prendre pour le diamètre du cercle un nombre rationnel quelconque, et à décomposer de deux manière» différente* le carré de ce nombre en deux autre* carré*. Le* racine* de cet nombre* carrés seront le* coté* du quadrilatère. On formera de cette manière le* même* quadrilatère* que par la méthode de Brahmegupta.
II est facile de noir que l'on peut encore opérer ainsi : Que l'on prenne un triangle tcalène quelconque ABC, de manière que *e» coté* et (a perpendiculaire «oient des nombres rationnel* ; et que par «et deux sommets B , C, on élève de* perpendiculaire* sur le* côtés AB, AC, respectivement. Ce* droite* »e couperont en un point D, et le quadrilatère ABDC »ati»fcra a la question. En changeant Tordre de ses côtés on formera le traite de Brahmegupta
NOTES
Reprenons les expressions de la perpendiculaire GF et du segment FD. On a
b b CF = - (ab' + bo'), FD = - (bb'—aa'). c c
Les deux lignes CF, FD, sont les côtés d'un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est CD = Ac'. Ces expressions ne contiennent pas explicitement la quantité c', ni par conséquent le côté CD, mais seulement les quantité a, b', dont la somme des carrés est égale au carré de c', ou CO — a'b et DO = b'b, dont la somme des carrés est égale au carré de CD. Ces expressions seraient donc encore rationnelles , quand bien même c', ou le côié CD, ne le serait pas. Par conséquent les lignes CF, FD donnent une solution géométrique de ce problème Décomposer un nombre donné (carré ou non) en deux nombres carrés, connaissant une première solution de la question.
Remplaçons c'', par A; on pourra exprimer ainsi, algébriquement, la question et sa solution ;
Pour résoudre l'équation x1 -+- y* = A , en nombres rationnels, quand on confiait un premier système de racines x', y', de cette équation, on prendra arbitrairement trois nombres carrés , a , b , c, teU que l'on ait a' •+- b' =c'; et les racines cherchées
bs'
by' - as'
Ces formules, auxquelles conduit naturellement la question géométrique de Brahmegupta, contiennent "virtuellement les formules générales pour la résolution de l'équation G** ± A=y' 1 , que l'on a trouvées, au grand étonnement des géomètres européens, dans l'algèbre de cet auteur hindou, et qui , dans le siècle dernier, avaient fait honneur au grand Euler, qui, le premier, y était parvenu parmi les Modernes.
1 En effet , dant l'équation a résoudre jr9 y3 = A , et dan* lea deux équation* de condition x'3 -+- y'a = A et «» = c», remplaçon» * par s\/C , *' par *'t/C", „ plr al/C; elle. «
Co* -+- fr» = c*;
et le* expre**ion* de* racine» * et y deviendront, par ce
a/ + bx'
Cax' — l\f
Ce .ont le* racine» de l'équation Cr> -4- y» = A.
Maintenant obtervon* que ce» racine» »ati»font k cette équation , quelle» que (oient le* valeur» de* deux
To«. XI. 56
NOTES
Les Indiens faisaient usage concurremment de l'Algèbre et de la Géométrie dans leurs spéculations mathématiques ; de l'algèbre pour abréger et faciliter la démonstration de leurs propositions géométriques, et de la Géométrie pour démontrer leurs régies d'algèbre et peindre aux yeux , par des Ogures , les résultats de l'analyse. Nous Terrons des exemples de celte manière d'opérer, dans plusieurs passages des ouvrages de Bhascara, et dans les ouvrages des Arabes, qui ont reçu des Indiens cette alliance de l'algèbre à la Géométrie. Il parait donc possible que les Indiens soient parvenus à leur solution des équations indéterminées du second degré , par des considérations géométriques puisées dans la question du § 38, et que ce soit là la raison primitive de la présence du morceau de Géométrie intercalé dans les Traité* d'arithmétique et d'algèbre de Brahmegupta. Ce qui viendrait à l'appui de celle conjecture, c'est qu'il paraît que les Arabes s'étaient aussi occupésdes équations indéterminées du second degré, et qu'ils les avaient résolues par des considérations géométriques; ce en quoi ils auraient été , probablement, les imitateurs des Indiens. Cela semble résulter d'un passage de Lucas de Burgo, qui , dans sa Summa de Arithmetica , Geometria, etc. (dùtinctio prima, tractatu* quartut) , parle du Traité de* nombres carré* de Léonard de Pise, où se trouvait résolue l'équation x- ■+■ y -' = A , par de* coniidération* et de* figure* géométrique*. Les formules de Léonard de Pise, que Lucas de Burgo rapporte ' , sont les
i C et A, qui par contéquent peutent être tuppoté» négatif». De »orte que l'équation peut prendre I. forme
Or» =t A = y3 ;
Hou» donnent le «igné postitif a la T»leur de y, parce que cette Tariable n'entrant qu'au carré dan» l'équation, ion ligne e§t indifférent.
Le» équation» de condition entre *' et y' d'une part, et a, b, e , de l'autre, «ont
C'e»t-a-dire que*' et y' »onl un »ytlème de racine» de l'équation proposée; et que - et | aont on ayttêtne de racine» de l'équation Cx3 -+- 1 = y3.
Le» formule» (1) qui résultent l'équation Cx 2 ± A —. y3 «ont précisément celle» que l'on tronTe dau» l'algèbre de Brahmegupta (section VII j pag. 364 et art. 63 de la traduction de H. Cnlebrooke.)
Ainsi ce» formule» générale» pouvaient »e déduire facilement de la »imple quettion de Géométrie traitée par l'auteur indieu.
1 Cardan dit auiti avoir emprunté de Léonard de Pise ce* même» formule», qu'il donna, tan» démonstration, dan» ta Practica Arithmetict (chap. 6fl, quettion 44). Vièle ett le premier qui let ait démontrée», au commencement du IV» livre de te» Zitèîiqvtê. Sa démonttration ett analytique. Peu de tempt aprèt, Alexandre Anderton s'est aussi occupé de celte question d'analyse indéterminée, et a démontré par de» contidération» géométrique» le» formule» de Dmnliante , qui »ont différente» de celle» de Léonard de Pi»e ( voir Extrritationum mathematicarum Decai prima. Parit, 1019, in-4»).
Dans le» notice* hittoriques »ur le» équation» indéterminée* du second degré , on ne fait remonter qu i
NOTES
mêmes que celles que nous ayons déduites de la question géométrique de Brahmegupta. Or, Léonard de Fisc avait rapporté ses connaissances mathématiques de l'Arabie. Nous devons donc attribuer ses formules, pour U résolution des équations indéterminées du second degré, aux Arabes -, et penser que ceux-ci les avaient reçues des Indiens.
Après avoir formé notre opinion sur les questions précises qui avaient été l'objet des §§ 21 à 38 de l'ouvrage de Brahmegupta, nous avons été curieux de savoir si, parmi les Modernes, et à quelle époque, les mêmes questions avaient été traitées; et si l'on pouvait établir une sorte de comparaison entre le travail des géomètres hindous et celui des géomètres européens.
Voici ce que nous avons trouvé à ce sujet :
J.-B. Bencdictis a résolu la question de conttruire avec quatre côte'* donné* un quadrilataire in*criptible dan* le cercle (voir son recueil intitulé : Divertarum epeculationum mathematicarum et phyticarum liber. Taurini , 1585 ; in-fol°). Ce problème lui avait été proposé par le prince Charles-Emmanuel de Savoie.
En 1504, le célèbre Joseph Scaliger en inséra une solution inexacte dans ses Cyclometrica élément* duo (Levde, in-fol. ). a, b, c, d, étant les quatre côtés donnés, on conclurait de cette solution que le diamètre du cercle dans lequel le quadrilatère formé avec ces quatre côtés serait inscrit, aurait pour expression V à- + b 2 Kc:4- d2. D'où il suivrait que le problème admettrait deux autres solutions, pour lesquelles les diamètres des cercles seraient Va2 -*- c2 -+- Vb2 -+-</-, et Va2 -*- d2 h- Vb2 c\ De sorte que Scaliger aurait, dans le fait, résolu avec la ligne droite et le cercle une question qui aurait dû dépendre, en analyse, d'une équation du troisième degré. Mais il est vrai que cette remarque, s'il l'a dite, ne pouvait l'arrêter; car on sait que sa grande réputation littéraire le portant à ambitionner aussi le premier ntag parmi les mathématiciens , il avait résolu non-seulement le problème de la quadrature du cercle, qui était l'objet de ses Cyclometrica elementa, mais aussi celui d'inscrire dans le cercle tout polygone régulier d'un nombre impair de côtés
Cet ouvrage fut réfuté aussitôt qu'il parut par Errard, de Bar-le-Duc, ingénieur du roi 2; et ensuite par Viétc3, Adrianus Romanus* et Clavius*.
Fermât l'origine de» travaux des géomètres modernes. On aurait dû citer, avant Fermât, Léonard de Pise , Lucas de Burgo , Cardan et Victe surtout , qui se sont servis des formules mêmes sur lesquelles repose et d'où peut se déduire la solution générale d'Euler. 1 E lementum pria*; prop» XV.
a Réfutation de quelques propositions du livre de M. De l'Eeeati , de la quadrature du cercle , par lui intitulé: Cyclometrica elementa duo. Lettre adressée au roi. Paris, septembre, 1904; che* Auray, rue S«-Jean-de-Beauvais, au Bcllérophon couronné.
Peu de mots suffisent à Errard pour montrer la fausseté des propositions 5e et 6* de Scaliger, qui disent, 1» Que le circuit du dodécagone inscrit au cercle peut plus que le circuit du cercle ; et 2» que le carré du circuit du cercle e*< décuple au carré du diamètre.
s Cette réfutation est l'objet du Pseudo-Mesolalum etalia queedam adjuncta capitula, qui parut en 1500.
4 Apologiapro Archimede, ad clariss. cirum Josephum Scaligerum. Esercitationet cgclices contra J. ScoJigerum, Onmtium finxum , et Haymarum Crsum , in decem dialogos distinctes. Wuceburgi, 1007, in-fol.
» Voir sa Géométrie pratique
NOTES
Viéte, à ce sujet, résolut la question du quadrilatère, et montra les paralogismcs qui avaient égaré Scaliger. Sa solution parut en 1 500 dans son Pteudo-Meiolahum.
Nous trouvons ensuite Prœlorins, qui consacra à celte question un livre intitulé: Problema , qtiod jtihet ex quatuor rectit lineis datit quadrilaterum fitri , quod til in circulo, aliqtiot modit explicatum ; à Johan. Pb^tomo Joaehimico. Norinbcrga?, 1598, in-4° (de 36 pages).
Cet ouvrage est précieux sous plusieurs rapports ; d'abord par quelques indications qu'il contient sur l'histoire du problème; et ensuite parce que, résolvant la même question que Brahmegupta , au sujet des conditions de rationalité de quelques parties de la figure, il nous fournit un point de comparaison entre les Indiens et nous, dans une question particulière et originale chez l'auteur hindou, comme chez l'auteur européen.
Prœtorius nous apprend qu'anciennement ce problème avait été traité , et que l'on avait cherché le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère, et l'aire de cette figure; qu'ensuite Rcgiomonlaniis avait aussi proposé ces questions ; puis , que Simon Jacob avait calculé les diagonales du quadrilatère et le diamètre du cercle. Enfin il cite la solution de Viéte, et ajoute que, plus récemment encore, d'autres solutions en ont été données; mais qu'il ne les connaît pas.
Après ce préambule historique, PraMorius résout le problème en cherchant les expressions des diagonales, et montre comment on calculera le diamètre.
Ensuite il se propose de déterminer quatre nombres qui , étant pris pour les côtés du quadrilatère, donnent pour les diagonales, ainsi que pour le diamètre du cercle, des valeurs rationnelles. Et il résout celte question de différentes manières. Dans l'une, il trouve pour les côtes du quadrilatère les quatre mêmes nombres 60, 52, 25 et 30, qu'emploie Brahmegupta. Mais il ne les place pas dans le même ordre, et il forme ainsi un quadrilatère différent de celui du géomètre indien Dans l'exemple suivant, il remarque qu'on peut changer deux côtés de place, et il forme avec d'autres nombres , qui sont 52 , 56, 39 et 33, un autre quadrilatère inscriptible. Nous avons reconnu que ce quadrilatère a ses diagonales rectangulaires comme celui de Brahmegupta ; ce que Practorius n'a pas observé. Ce géomètre n'a pas remarqué non plus que différentes parties du quadrilatère, que Brahmegupta a calculées, étaient aussi exprimées en nombre rationnels, comme les diagonales et le diamètre du cercle. De sorte que l'on peut dire que Brahmegupta
1 Praeloriu* prend on triangle quelconque ABC , ayant «et côté» rationnel» et tel* que m perpendiculaire •oit atuii rationnelle. Il le construit nu moyen de deux triangle» rectangle*, comme nou» Pavot» dit au «ujet du J 34 de Brahmegupta. Deux coté» do ce triangle AB, AC, »ont pria pour deux côté» rontécutift du quadrilatère cherché , et le troisième BC, pour la diagonale qui lea aoutend. Il reate à contraire le* deux autre* coté* du quadrilatère; Prteloriu» détermine leur* longueur* en menant quelque* ligne*, et en fai.anl deux proportion».
Celte solution peut être *ingulièrcment abrégée; car nou* «ton» reconnu qu'il «uflit de mener par le* point* B, C, deux droite* perpendiculaire* aux côté» AB et AC, rcipeclivetnent. Ce* droite» »ont le* deux côté» cherché».
Cette con»tructon fait voir que le quadrilatère de Prtrlnria» a deux angle» droit» , et que *a aoconde diagonale e*t préci»ément le diamètre du cercle circon»crit; ce que ce géomètre n'a peut-être poa aperçu.
a plus approfondi cette question, et l'a traitée plus complètement que les Modernes.
Dans sa dernière solution, Prœtorius prend pour les cotes consécutifs du quadrilatère* les nombres 33 , 25, 1 G et 00, et il dit que « ce sont ceux que Simon Jacob a proposés, sans montrer la voie qui l'avait conduit à cette solution. » Cela nous fait supposer que Simon Jacob avait résolu aussi, outre la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, avec quatre côtés donnés, relie de trouver, en nombre rationnels, quatre cotés pour lesquels les diagonales du quadrilatère et le diamètre du cercle fussent rationnels
Nous ne connaissons que l'ouvrage de Prslorius où , depuis Simon Jacob, on ait traité celte seconde question; quoique le problème de construire le quadrilatère inscriptible, avec quatre côtés donnés, ait continué d'occuper quelques géomètres. Ludolph Van Ceulcn l'a résolu dans ses Probhmata mitcellanea ; ainsi que Snellius, dans les notes dont il a enrichi sa traduction, du hollandais en latin, de cet ouvrage de Ludolph. Quoique Snellius y cite l'ouvrage de Prœtorius, il n'a point fait mention des nouvelles questions que celui-ci avait résolues.
Eut m nous citerons J. De Billy ( 1 002-1079), géomètre d'un grand mérite, qui, cependant, s'est mépris dans la construction du quadrilatère inscriptible avec quatre côtés; parce qu'il a pensé que le problème était indéterminé, et que l'on pouvait prendre une condition de plus, telle qu'une relation entre les deux diagonales. Il crut le résoudre en se donnant le rapport des diagonales, puis leur somme , et enfin leur différence 2.
Nous avons cité, au sujet du § 21 , les géomètres qui se sont occupés particulièrement de l'élégante formule pour l'aire du quadrilatère.
1 Simon Jacob o'eit cité par aocun hittorien de* mathématique* , et parait être aujourd'hui tout-a-fait inconnu j cependant nom trouvon* dan» le premier volume de la Bibliothèque mathématique de Hurhard , qu'il e*t auteur de deux ouvrages allemand» qui ont eu un grand nombre d'édition». Le premier, intitulé Recherches sur let ligue* {Rechnung auf der Linie ; Francfort, in-- ; a paru eu l .">•*> 7, et a été réimprimé en 1089, 1590, 1609, 1607, 1608, 1610 et 1613. Letccond, Wonveau traité élémentaire du calcul des lignes et des nombres, suivant la pratique italienne ( Ein neu und Kohlgegrûndet Rechenluch auf der Unie und Zxffem , saint der Wslschtn fractic, etc., in~4°), parut en 1660 et a été réimprimé en 1565, 1601) cl 1612.
Mou» troufon* encore dant la Bibliothèque mathématique de Hurhard , quo Simon Jacob, profe»»eur de mathématique» a Francfort-.ur-lcin , a revu et fait paraître, en 1564, une édition d'un ouvrage de Pierre Apian ( 1600-1563), tur le» calcul» relatif» au commerce.
Sobooten cite Simon Jacob dan» deux pa»»age» de le» Scctiants mitcellanea , et l'appelle celebris arithmeiicus (voy. Extrcitationes malhematùaj . pag. 404 et 41" . On y voit que ce géomètre avait imaginé pluticur* progrea»ion» telle», que chacun de leur» terme» étant exprimé en fraction, le numérateur et le dénominateur étaient le» coté» de 1 angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypothénuie était rationnelle
a Diophanlus geemetra , sive opus contextum ex arithmeticâ et gttmetrid simul, etc. Pari», 1660, .n-4 . p. 188 et 189.
Jacque* de Billy , que Jfeilbronncr et Kontucla citent a peine , fut un trèt-tavant algébritte , estimé det plu» célèbre* mathématicien* de «on temp», en particulier de Fermât et de lia lut de Héxiriac. On trouve dan* le* Mémoires eU Xiciron ,i. 40, la litte det nombreux outragea qu'il a mit au jour, et de ceux, en plut grand nombre, qui tont rené* manu*erit*; ceux-ci faiiaient partie do la bibliothèque de» jé*uite* de Dijon : il parait qu'il» n'ont pa» pané dan* celle de la ville , car noua n'en trouvons aucun daua le* catalogue» de Baenel.
S'il, exi.teot encore, il .ermit bien a détirer qu'on fit connaître au moina une analyte ou une table de. matière, traitée* dant cet manutcriU, qui étaient as nombre d'une vingtaine.
XOTES.
La théorie du quadrilatère inscrit n'offre plus aujourd'hui aucune difficulté , et a passé dans les ouvrages élémentaires où l'on donne le théorème de Ptolémée sur le produit des deux diagonales, et un second théorème sur le rapport de ces lignes ; de ces deux propositions se déduisent les valeurs des deux diagonales. M. Lcgcndre a complété cette théorie en donnant dans les Notes jointes o ses tUêment de Géométrie, la démonstration, par le calcul, des formules pour l'aire du quadrilatère et le diamètre du cercle circonscrit. Mais je ne sache pas que l'on ait jamais , depuis Prastorius , résolu la question de construire un quadrilatère inscriplible, dont les parties fussent rationnelles; ni même que l'on ait fait attention à l'ouvrage de ce géomètre. L'apparition de cette question dans le traité de Brahmcgupta semble donner une sorte d'à propos, et un nouveau mérite à celui de Praetorius
Nous terminerons ici nos observations sur les dix-huit premiers paragraphes de la partie géométrique de Brahmcgupta. Les autres paragraphes offrent peu d'intérêt. Nous y remarquerons seulement le rapport de la circoufércticc au diamètre, exprimé par la proposition du § 40 , lequel serait égal à |/10. Il paraît , d'après le texte anglais s, que Brahmegupla a regardé celte expression comme étant le rapport exact de la circonférence au diamètre. Ghaturvcda, dans ses notes, semble le croire ainsi. Gela ne nous étonne point de la part de ce scoliaslc; mais il est difficile de penser qu'un géomètre qui a été capable d'écrire sur la théorie du quadrilatère inscrit au cercle, et de résoudre les questions que nous avons trouvées dans l'ouvrage de Brahmegupta , ait commis celte faute. Il est vrai que la quadrature du cercle a été aussi l'écueil d'un grand nombre de géomètres modernes, qu'elle a entraînés dans des erreurs semblables; quoique plusieurs d'entre eux eussent donné des preuves d'un véritable et profond savoir en mathématiques. Il nous suffira de citer Oronce Finée et Grégoire de S1- Vincent.
L'expression V \0 est précisément le rapport que J. Scaliger disait avoir trouvé le premier, et croyait avoir démontré géométriquement: mais on connaissait depuis long-temps en Europe cette expression, qu'on savait n'être qu'approchée. On l'attribuait aux Arabes ou aux Indiens, cl l'on supposait que ces peuples l'avaient regardée comme étant exacte.
En effet, Purbach (1425-1401), dans son livre intilulé : Tractatm Georgii Peurbachii super propoeitiones Ptolemœi de einibus et chordis , s'exprime ainsi , Indi verô
1 J. Practorius (1A&7-1616), n'est cité, généralement, que comme inventeur de l'instrument géodesique appelé la planchette, qui pendant long-temps a eu le nom de Tabula Prcttoriana ; mai* il fut un géomètre tr*«habile et très-considéru dan* ton temps. Snellius . en citant ton ouvrage inr le quadrilatère, l'exprime ainti : Clarissimut J. Pnrtorius hnrutn ortium seientia nulli secundus , de quatuor lineis in cinulo integrum librum publicarit , in quo multis modis ingeniosè lani et aculi hoc idem problema eflici passe demonstravit.
Le célèbre profe»«eur de mathématiques Doppelmayer lui a consacré une notice dan» sa biographie des mathématicien! et artistes de Nuremberg. 1730, in-fol. (en allemand), où l'on Toit que Prastorius a imprimé peu d'ouvrages ; mais que plusieurs de ses manuscrits sont conservés a Altorf, où il a vécu dans la pins grande estime pendant quarante ans.
On trouve un extrait de celle notice dan» l'ouvrage de géodésie pratique de J -S. Xarinoni, intitulé :De rt ichnographied , cujut hodierna praxis exponitur , etc. Vienutr Anslria» , 1 7*1 , in-4».
9 The diameter and the square ef the gemidiamettr , being severally muttiptied bg thrte, art tke practical circumference andarea. Tht square-roots extraeted from ten limes the squares oftke sans are the neat values.
NOTES
va
dicunt , si quis $ civet radiées numerorum rectâ radiée carentium invenire, Me faciliter invertir/ it , quanta esset diameter retpectu circumferentia!. Et secundum eo» , ai diameter fuerit unitas , erit circumferentia radix de deeem: H duo , erit radix de quadraginta : si tria, erit radix de nonaginta : et exe de aliis, etc. Regiomontanus ( 1436-1470), au contraire, attribue le rapport VlO aux Arabes. Voici ses paroles : Ara le» olim circulum quadrare polliciti ubi circumferentia} suœ œqualem rectum descripsissent , hanc pronuntiavere sententiarn : si circuli diameter fuerit ut unum , circumferentia ejus erit ut radix de deeem. Quœ sententia cum sit erronea... Butéon (1492-1572), dans le second livre de son ouvrage De quadraturâ circuli, libri duo (Lyon , 1559, in-8°), où il fait l'histoire de ce problème, et réfute les paralogisme» qu'il avait déjà occasionés, énonce en ces termes la même opinion que Regiomontanus : Tktbagohismus secuhdcm Arabes. Omnis circuli perimetros ad diametrum décupla est
potentiâ Palet igitur hujusmodi tetragonismum secundum Arabes esse falsum , et
extra limites Archimedis.
Sur la Géométrie de Bhascara Acharya.
Les ouvrages de Bhascara sont , comme ceux de Brahmcgupta , un traité d'arithmétique, que l'auteur appelle Lilavati , et un traité d'algèbre qu'il appelle Bija-Ganita.
La Géométrie se trouve comprise dans le Lilavati, où elle forme les chapitres VI , VII, VIII , IX , X et XI, sous les §§ 133-247.
Le chapitre VI est le plus considérable ; il traite des figures planes : les autres sont peu de chose, et ont les mêmes titres, excavations , stocks , etc., que dans le traité de Brahmegupta.
Le Bija-Ganita contient aussi quelques questions de Géométrie , qui s'y trouvent comme applications des règles de l'algèbre, et qui sont résolues par le calcul. On remarque encore dans cet ouvrage quelques propositions algébriques qui y sont démontrées par des considérations géométriques. Nous ferons connaître ces propositions isolées , après que nous aurons examiné la partie géométrique proprement dite.
Nous diviserons celle-ci en cinq parties : les trois premières seront relatives au triangle en général, au triangle rectangle et au quadrilatère; la quatrième comprendra quelques propositions sur le cercle ; et dans la cinquième seront les règles pour la mesure des volumes, et le chapitre sur l'usage du gnomon.
