CM

Soit fx le point où la droite om" perce le plan mobile ^ dont le point m'' est le pôle; et soit oa le demi-diamètre de la surface^ dirigé suivant cette droite; on a comme on sait^

// oa am = —

O/Lt

D'où

oa om

OfjL m'p' |/L^ H- M^ H- N'

Cette équation exprime les relations géométriques qui ont lieu entre le point directeur m* {x* , y', z') et le plan mobile.

On en tire

Ofc sss oa. — ^. const.

om

Ce qui donne lieu à ce théorème :

Si du centre dune surface du second degré on mène un rayon à chaque point dune figure proposée A' , et qu^on prenne sur ce rayon y à partir du centre de la surface, un segment qui soit à ce rayon divisé par la distance du point de la figure à un plan fiae, et multiplié par le carré du deminliamètre de la surface compris sur ce rayon, dans une raison constante, le plan mené par t extrémité de ce segment, parallèlement au plan diamétral conjugué à la direction du rayon, enveloppera une autre figure A qui sera corre- LATiTE de la proposée.

(123) Si le plan fixe est à l'infini^ cette figure A sera précisément la polaire réciproque de la proposée.

Car^ dans ce cas^ on a L = o, M = o^ N =^ o^ et l'équation du plan mobile se réduit à

Ax's H- By'y -♦- Cm'm = l ,

qui est l'équation du plan polaire du point {x', y', z',), par rapport à la surface du second degré.

Et la formule géométrique prend alors la forme connue

oa Ofi^ — ; om

Ainsi le mode de transformation exprimé par le théorème ci-dessus comprend^ comme cas particulier^ celui que donne la théorie des polaires réciproques.

(124) Ce mode de transformation jouit de la propriété suiyante;

qui est l'une des plus utiles dans les applications de cette théorie y savoir^ que

Le plan corrélatif dun point est parallèle au plan diamétral de la surface auxiliaire , qui est conjugué à la droite qui va du centre de cette surface à ce point.

Sous ce premier rapport^ le mode général de transformation offre donc les mêmes facilités dans ses applications^ que celui des polaires réciproques.

(125) Mais^ sous un autre rapport^ il offire un grand avantage que n'a pas cette théorie. C'est que^ à un même point de l'espace considéré comme appartenant successivement aux deux figures^ ne correspond pas^ dans les deux figures^ un même plan^ comme cela a lieu dans la théorie des polaires. Ainsi par exemple^ au point pris pour centre de la surface auxiliaire^ considéré comme appartenant à la figure A'^ correspond F infini dans la surface A; et à e^ point, considéré comme appartenant à la figure A, cort^espond le plan fixe dans la figure A'.

Cette différence rend notre mode de transformation immédiatement applicable à plusieurs relations métriques auxquelles la théorie des polaires réciproques n'est pas propre.

Quelques exemples éclairciront cela.

(126) Mais disons d'abord que le mode de transformation se simplifie quand la surface du second degré est une sphère. Alors les plans de la figure A sont perpendiculaires aux rayons menés du centre de la sphère aux points correspondans de la figure A'; et la formule de transformation est, en comprenant le rayon de la sphère dans le coefficient

constant ,

my

Ofi, =: A. — p.

Et si l'on vient à supposer que le plan fixe P, sur lequel sont abaissées les perpendiculaires m'p' , soit à l'infini^ la formule se réduira à

OfL= ;.

(127) Il faudra se rappeler toiijours^ dans les applications de la formule générale^ que^ au point o considéré dans la figure A^ corretpond le plan fixe dans la figure h! .

D'où il suit que :

1^ A un plan M mené par le point o^ et considéré comme appartenant à la figure A^ correspond^ dans la figure A' , im point situé dans le plan fixe P;

Ce point est sur la perpendiculaire au plan M^ menée par le point o (126).

2^ A une droite L^ menée par le point o^ et considérée comme appartenant à la figure A^ correspond^ dAtitis la figuré A% une droite située dans le plan P;

Cette droite est l'intersection de ce plan par le plan mené par le point o perpendiculairement à la droite L.

(128) La formule

ne donne directement que les points m' de la figure A' corréspondans aux plans de la figure A^ et non les plans de la figure A' correqiondans aux points de la figure A. Mais il est facile d'en tirer la mani^ne de construire ces plans. Pour cela^ étant donné un point ê de la figure A^ on conceTra mené par ce point un plan perpendiculaire à la droite m; on prendra dans la surface A' le point correspondant à ce plan^ et la droite correspondante à la droite os / le plan mené par ce point et par cette droite' sera le plan cherché.

D'où l'on conclut que :

Pour construire le plan S' de la figure A'^ correspondant à un point 8 de la figure A, on tirera la droite o%^ sur laquelle on prendra le point s' déterminé par la formule

sy

" = '• oS'

Par le point o on mènera un plan perpendiculaire à la droite m; ce plan coupera le plan fixe P suivant une droite ; le plan mené par cette

droite et par le point s' sera le plan cherché^ qui correspond dans la figure A^ an point a de la figure A.

(129) Première application. Soit une sphère A ayant son centre en o. Menons -lui un plan tangent; la distance o/a de ce plan au point o sera égale au rayon R de la sphère; on aura donc

A. — -• = R ; doù -7-,ss=const.

om my

Ce qui prouve que la figure A' est une surface du second degré de révolution^ qui a un foyer en o^ et le plan P pour plan directeur correspondant à ce foyer.

Nous aurions pu dire à priori que la surface A' serait de révolution, parce que la sphère proposée A est placé symétriquement par rapport au plan P; et alors l'équation ^ = consL aurait démontré la propriété du foyer et du plan directeur.

(130) Considérons trois plans diamétraux rectangulaires dans la sphère A; il leur correspondra^ dans la surface de révolution A^, trois points situés dans le plan P, qui seront tels que le plan polaire de chacun de ces points, par rapport à la surface de révolution, passera par les deux autres points. Ces trois points seront, par construction, sur les perpendiculaires aux trois plans diamétraux de la sphère, menées par le point o. Ces trois droites sont trois aa^es conjugués^ de la surface de révolution relatifs au point o, parce que ce point est le pôle du plan fixe, par rapport à cette surface; on conclut de là que :

Dans une surface du second degré de révolution^ trois axes conjugués relatifs à un foyer sont rectangulaires.

(131) Supposons maintenant que la figure A soit une sphère ayant son centre en un point quelconque s. La surface A^ sera du second degré, et l'on aura un plan S, correspondant au point s, qui sera le plan polaire du point o par rapport à cette surface A' ^.

' Foir § IX , art. S8 la définition des axeê conjugués relaHfs à un point.

2 Car, en général , le plan correspondant au point $ est le plan polaire, par rapport à la surface A' , du point qui correspond à Vinfinî de la première figure (27)', et ici ce point est le centre de la surface auxiliaire , c'estrà-dire le point o (12B).

A trois plans diamétraux rectangulaires de la sphère ^ correspondront trois points situés dans le plan S, qui seront tels que le plan polaire de chacun d'eux^ par rapport à la surface A'^ passera par les deux autres. Les droites menées du point o à ces trois points seront rectangulaires, comme étante par construction^ perpendiculaires respectiyement aux trois plans diamétraux de la sphère j et ces trois droites seront trois axes conjugés relatifs au point o^ puisque ce point est le pôle du plan S^ par rapport à la suriace A'. Ainsi trois axes conjugués relatifs au point o^ sont rectangulaires^ ce qui prouve que la surface A' est de révolution, et quelle a le point o pour foyer, et le plan S pour plan directeur correspondant.

Cette surface est située d'une manière quelconque par rapport an plan P^ puisque la direction de son plan directeur S dépend de la position du centre s de la sphère proposée^ et que ce centre est pris arbitrairement dans l'espace.

Si la sphère enveloppe le point o, la surface A^ ne coupera pas le plan P; parce que si elle le coupait^ à la courbe d'intersection correspondrait un cône circonscrit à la sphère^ et ayant le point o pour sommet.

Et si^ au contraire , le point o se trouve au dehors de la sphère Â^ le plan P coupera la surface Af.

(132) C'est un théorème de géométrie élémentaire ^ facile à démontrer^ que <( si autour d'un point fixe on fait tourner une trans- » versale qui rencontre une sphère en deux points^ et qu'on mène » les plans tangens en ces points^ la somme ou la différence des va- » leurs inverses des distances de ces plans au point fixe sera con- » stante. » Ce sera la somme quand le point fixe sera pris au dedans de la sphère^ et la différence quand il sera pris au dehors.

Prenons pour le point fixe le point o, et appliquons ce théorème à la sphère. A chaque transversale menée par le point o, correspondra ^ dans la seconde figure^ une droite comprise dans le plan P; aux points où la transversale rencontre la sphère, correspondront les plans tangens à la surface A% menés par cette droite; et aux

plans tangens' à la sphère correspondront les points de contact des plans tangens à la surface k' : on conclut donc du théorème énoncé, d'après la formule

ou

OfL

om' '

ow

=ss

Ofl

cette propriété générale des surfaces du second degré de révolution à foyers :

Étant mené un plan transversal dHune manière quelconque par rapport à une surface du second degré de révolution^ si par une droite quelconque, prise dans ce plan, on mène deux plans tangens à la surface^ et qu'on prenne pour chacun des deux points de contact le rapport de ses distantes à un foyer de la surface et au plan fixe , la somme de ces deux rapports y si le plan fixe ne rencontre pas la surface, ou leur différence, si le plan fixe rencontre la surface, sera une quantité constante.

(133) Si le plan fixe est situé à Tinfini^ les points de contact des deux plans tangens sont les extrémités d'un diamètre de la surface ; la distance d'un de ces points à un foyer est égale à la distance de l'autre point au second foyer; d'où Ton conclut que :

Dans une surface du second degré de révolution, la somme ou la différence des distances de chaque point de la surface aux deux foyers est constante \

(134) Pour mieux montrer sous quel rapport le théorème précédent est une généralisation de cette propriété des foyers^ nous remarquerons que la droite qui joint les points de contact des deux plans tangens à la surface, passe par le pôle du plan fixe; et que par conséquent le théorème peut être énoncé ainsi :

1 Nous verrons dans la seconde partie de cet écrit ( § XXI) , que ces propriétés, qui semblent être particulières aux surfaces du second degré de révolution , peuvent dériver d'une propriété générale des surfaces géométriques d'un degré quelconque.

ToM. XI. 85

Si autour (fun point fixe on fait tourner une transversale qui rencontre une surface du second degré de révolution en deuw points, la somme ou la différence des distances de ces points à un foyer de la surface, divisées par les distances des mêmes points au plan polaire du point fixe, sera constante.

Ce sera la somme si le point fixe est situé dans l'intérieur de la surface^ et la différence s'il est situé au dehors de la surface.

Nous pourrions^ par la même méthode de transformation ^ démontrer diverses autres propriétés nouvelles des foyers des surfaces de révolution, mais elles se présenteront dans nos applications du principe d'homographie.

(135) Seconde application. Soit un polygone régulier de m côtés circonscrit à un cercle^ et soit n un nombre plus petit que m; la somme des puissances n des perpendiculaires abaissées d'un point fixe o sur les côtés du polygone, sera constante, quelle que soit la position du polygone par rapport à. ce point. Cela résulte d'un théorème de Stewart, qui donne l'expression de la somme de ces puissances n, en fonction du rayon du cercle, du nombre m et de la distance du point o au centre du cercle *.

Appliquant à ce théorème la formule

mp

OfJL ass> A.

om

on en conclut le suivant :

Si, autour du foyer dune conique, on fait tourner une rose des vents de m rayons ^

n étant un nombre plus petit que m ;

La somme des puissances n des distances des m points où ces rayons rencontreront la conique , à une droite fixe , divisées respectivement par les puissances n des distances de ces points au foyer de la courbe, sera constante.

(136) On peut remplacer, dans ce théorème, la distance de cha-

' Some gênerai theorems of considerahh use in the higher parts of mathematics ; prop. 40.

qne point de la courbe au foyer ^ par la distance de ce point à la directrice. On donnera ainsi au théorème un autre énoncé. Mainte* nant^ si l'on observe que le rapport des distances d'un point de la courbe à la droite fixe et à la directrice.^ est au rapport des distances de la tangente en ce point au pôle de la droite fixe et au foyer, dans une raison constante (voir la Note, § XXVI), on conclut du théorème ci-dessus le suivant :

Si, autour du foyer dune conique y on fait tourner une rose des vents de m rayons; et que par les m points où ils rencontrent la courbe, on lui mène se^ tangentes;

n étant un nombre plus petit que m, la somme des puissances n des distances de ces tangentes à un point fisce, divisées par les puissances n de leurs distances au foyer, sera une quantité constante*

(137) Ce théorème et le précédent sont susceptibles d'une foule de conséquences, que nous ne pouvons examiner ici. Mais eux-mêmes ne sont que des cas particuliers de propriétés des coniques très-générales et où n'entre pas nécessairement la considération de leurs foyers. Une partie, par exemple, sont relatives aux diamètres des coniques, et sont une généralisation des propriétés des diamètres conjugués. Nous reviendrons, dans un autre moment, sur cette théorie, qui nous parait nouvelle, et qui comprendra un très-grand nombres de théorèmes.

(138) Troisième application. Si, autour de deux points fixes, pris sur une circonférence de cercle, on fait tourner deux droites, dont le point d'intersection soit toujours sur la circonférence, les distances de ces deux droites à un point fixe pris arbitrairement sur la circonférence, seront entre elles dans un rapport constant.

Qu'on prenne ce point fixe pour le point o, et qu'on applique à ce théorème la formule de transformation

Of^ = A. — ;- ; om

on obtient cette propriété générale des coniques :

Étant menées trois tangentes fixes à une conique y si Von mène une quatrième tangente quelconque^ elle rencontrera les deux premières en deux points, qui seront tels que le rapport de leurs distances à la troisième tangente sera au rapport de leurs distances à un foyer de la courbe, dans une raison constante.

(139) Si la conique est une parabole , on pourra prendre pour la troisième tangente fixe sa tangente située à l'infini^ et l'on aura cette propriété de la parabole :

Étant menées deux tangentes fixes à une parabole, une troisième tangente quelconque les rencontre en deux points dont le rapport des distances au foyer de la courbe est constant.

(140) En considérant^ dans le théorème général^ deux positions de la tangente mobile^ qui feront^ avec les premières tangentes fixes ^ un quadrilatère^ on en conclura ce théorème :

Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, le produit des distances dune cinquième tangente quelconque à deux sommets opposés du quadrilatère est au produit des distances de la même tangente aux deux autres sommets, dans un rapport constant;

Et ce rapport est égal au produit des distances dun foyer de la conique aux deux premiers sommets du quadrilatère, divisé par le produit des distances du même foyer aux deux autres sommets ^

On 7oit que chacun des deux foyers joue, en quelque sorte, le même rôle, par rapport aux quatre sommets du quadrilatère, que chacune des tangentes à la courbe.

(141) La seconde partie de ce théorème donne une relation entre les quatre sommets d'un quadrilatère circonscrit à une conique et les deux foyers de la courbe , qui est exprimée par le théorème sui* vaut :

^ La première partie de ce théorème donne immédiatement , en vertu du théorème de l'article 159 (§ XXVI ) , le suivant :

Quand un qtMdrilatère est inscrit dans une conique^ h produit des distances d^un point quelconque de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du même point aux deux autres côtés^ dans une raison constante.

C'est le théorème ad très aut quatuor lineas des Anciens.

Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique y le produit des distances dun foyer à deux sommets opposés, est au produit des distances du même foyer aux deux autres sommets y dans une raison qui reste la même, quel que soit celui des deux foyers qu^on a pris \

(142) Quatrième application. Soit le théorème de Cotes sur la ^ division du cercle en parties égales. Donnons-lui ^ pour en faciliter la transformation^ cet énoncé : a Un polygone régulier de 2m côtés )> étant circonscrit à un cercle^ si d'un point O^ pris sur la droite » indéfinie menée par le centre du cercle et par le point de contact )> du premier côté du polygone^ on mène des droites aux points de )> contact de tous les autres côtés;

» 1^ Le produit des droites menées aux points de contact des côtés » de rang impair sera égal à OC — R*" ;

» 2"" Le produit des droites menées aux points de contact des côtés » de rang pair sera égal à OC"" — R*" ;

» R étant le rayon du cercle, et le point C son centre. »

Faisons la transformation. Au cercle correspondra une conique ayant son foyer en O (131); aux côtés du polygone correspondront des points de la courbe, situés sur des rayons qui diviseront l'espace angulaire autour de ce foyer en 2m parties égales; aux points de contact des côtés du polygone , correspondront les tangentes à la conique menées par les points pris sur elle. Ces tangentes se construiront comme nous Pavons dit (128). On obtiendra ainsi un théorème ^

1 Si l'un des foyers est à Finfîni , cette raison sera égale à l'unité , d'où il suit que :

Quand un quadrilatère est circonscrit à une parabole , le produit des distances du foyer de iacoufi)e à deux sommets opposés du quadrilatère y est égal au produit des distances de ce foyer aux deux autres sommets»

Si l'on suppose que les deux premiers sommets du quadrilatère soient deux points de la courbe , les deux autres sommets se confondront avec le point de concours des tangentes en ces deux points ; et il en résultera ce théorème :

Quand un angle est circonscrit à une parabole y le produit des distances des points de contact de ses deux côtés au foyer de la courbe ^ est égal au carré de la distance de son sommet à ce foyer.

Ce théorème est un de ceux dont Lambert s'est servi dans ses Insigniores orbitœ cometarum propriOates. (Section 1^, lemme S.)

correspondant^ dans une conique quelconque^ au théorème de Cotes.

L'expression de ce théorème est un peu compliquée. Pour la simplifier nous supposerons que la droite qui^ dans la nouyelle figure y est corrélative du point O de la première figure, soit située à l'infini. Alors on a le théorème suivant :

Si Von divise t espace angulaire autour du foyer dune conique en 2m parties égales^ en menant 2m rayons , dont le premier coïncide avec le grand asce; et qu^aux points où ces rayons rencontrent la courbe, on lui mène ses tangentes;

Le produit des distances des tangentes de rang impair, au foyer, sera égal à ^;^^;

Et le produit des distances des tangentes de rang pair, au /byer,

^ eth étant les deux demi-axes principaux, et c TexcentricUé de la conique.

Si la conique est une parabole , on a ce théorème : Si ton divise Pespace angulaire, autour du foyer d^une parabole, en imparties égales, par 2ra rayons, dont le premier coincide avec Taxe de la parabole, et qu^on mène les tangentes à la courbe aux m points où les rayons de rang pair la rencontrent, le produit des perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tangentes sera égal à la puissance la de la distance du foyer à la directrice.

§ XXIV. Autres modes de construction des figures corrélatives : — Par le déplacement fini, ou infiniment petit , cPun corps solide libre dans F espace. — Par la considération d'un système de forces appliquées à un corps solide libre.

(143) Quand on a un corps solide placé d'une manière quelconque par rapport à trois axes coordonnés, que nous supposerons rectangulaires, on sait que si l'on fait éprouver à ce corps un mou-

yement infiniment petit, les variations des coordonnées de chacun de ses points seront données par les formules suivantes^ dues à Euler;

^X' o= <f/ yVN -4- SVM ,

cTy' = i^m — ijVL -4- a?VN , «^y = <m — j?VM ^ y VL ,

OÙ les coefficiens H y 9m, in, dL, *M, (?N sont constans pour tous les points du corps. (Voir les Mém. de V Académie de Berlin, ann. 1750, pag. 185 — 217, ou la Mécanique analytique de Lagrange, tom, I^r, pag. 169,)

L'équation du plan mené par un point {x'^ yf , z'), perpendiculairement à l'élément rectiligne décrit par ce point, pendant le mouvement infiniment petit du corps, est

(« — y) cTar' -♦. (y— y') ^y' -^ (*—«') ^*=o,

xj'x' -4- ycTy' -f- sJ^z' = a?Va?' -4- y^Jy' -4- jsVjs'.

Mais le second membre est égal, d'après les formules ci-dessus, à x'il + y^fm + z^in ; l'équation du plan est donc

x^xf -4- y^ -+- zéz' c=a x'H -+- yVwi -4- JsVn.

^4?', (Jy', Sz^ sont des fonctions linéaires des coordonnées x^, y', ^'; de sorte que l'équation du plan ne contient ces coordonnées qu'au premier degré. On a donc, d'après le théorème 1 (§ II), cette propriété générale du mouvement d'un corps solide :

Quand un corps solide éprouve un mouvement infiniment petite les plans normaux aux trajectoires des points du corps situés dans un même plan, passent tous par un même point;

Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une même droite, passent tous par une même droite ;

Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une surface du second degré, sont tous tangens à une autre surface du second degré ;

Et, en général, les plans normaux auœ trajectoires des points dune surface du degré m, envoloppent une seconde surface géométrique à laquelle on peut mener m plans tangens par une même droite.

(144) Ainsi ^ quand une figure de forme quelconque^ éprouve un déplacement infiniment petite les plans normaux aux trajectoires de ses points enveloppent une seconde figure qui est corrélative de la première.

Yoilà donc une manière très-simple de concevoir la description des figures corrélatives.

(145) Cette méthode offre des avantages dans la géométrie spéculative^ parce que les figures y ont une dépendance particulière^ qui n'a pas lieu dans la théorie des polaires ; c'est que chaque plan de la nouvelle figure passe par le point correspondant de la figure proposée. Cela fait que la seconde partie du principe de corrélation, c'està-dire le théorème IV, n'a plus besoin de démonstration; il est une conséquence immédiate de la construction des figures.

(146) Mais il y a entre les deux figures un rapport de relations métriques beaucoup plus simple, qui repose sur ce théorème :

// existe dans le corps un certain axe qui n^a de mouvement que dans sa propre direction ;

Les plans normaux aux trajectoires de deux points quelconques a, b du corps rencontrent cet axe en deux points a, f, qui sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur lui, des points a, b;

De sorte que Ton a toujours

aC = db» COS. (ab, X) ;

X désignant la direction de l'axe en question.

Ainsi l'on aura, entre les distances des points de la figure pro^ posée et les segmens que les plans correspondans, dans la figure corrélative, intercepteront sur l'axe X, des équations de cette; forme. Ces équations serviront à convertir les relations métriques de la figure donnée en relations appartenant à la nouvelle figure.

Nous nous bornons 9 pour le moment^ à énoncer cette proposition^ pour ne pas surcharger cet écrit de détails étrangers à son but principal; nous nous proposons de revenir sur ce sujets pour établir^ par de simples considérations de géométrie^ les propriétés générales du mouvement d'un corps solide; lesquelles propriétés sont nombreuses et intéressantes^ et sont susceptibles , quoique purement géométriques^ d'apporter quelque lumière dans plusieurs questions de « mécanique.

(147) Le déplacement fini quelconque d^un corps solide dans l'espace peut donner lieu aussi à la construction de figures corrélatives. Cette construction est fondée sur le théorème suivant :

Si Von a dans V espace deux figures parfaitement égales, et placées dune manière quelconque tune par rapport à t autre;

Que F on joigne par des. droites les points de la première figure aux points correspondans de la seconde; et que par le milieu de chacune de ces droites on lui mène un plan normal^

Tous ces plans envelopperont une figure qui sera corrélative de chacune des deux figures proposées, et corrélative, aussi, dune troisième figure formée par les points milieux des droites qui joignent les points homologues dans les deux premières.

Ainsi^ si la première figure est plane ^ la troisième sera plane aussi; et les plans menés par ses différens points passeront par un même point (ce point sera situé dans le plan de cette troisième figure).

Si la première figure est une surface du second degré ^ la troisième figure sera aussi une surface du second degré; et les plans menés par ses points envelopperont une autre surface du second degré.

Nous donnerons dans un autre écrit la démonstration de ces théorèmes^ qui peut se faire par de simples considérations de géométrie^ ou par l'analyse *.

1 On peut vérifier aisément ces théorèmes, au moyen des formules suivantes relatives au déplacement fini d*un corps solide dans l'espace , en fonction des six coeificiens indépendans qui suffisent pour exprimer ce déplacement.

Soient x^ y^ s\e^ coordonnées d'un point du corps dans sa position primitive, et x' ^ y% z

ToM. XL 86

(148) Le mode de construction des figures corrélatives que nous a fourni le déplacement infiniment petit d'un corps solide^ peut être présenté d'une autre manière^ où n'entre pas l'idée de mouyement. Voici comment :

Soit une vis , placée dune manière quelconque dans V espace; concevons que par tous les points dune figure proposée passent des hélices de la vis;

1^ Les plans normaux à ces hélices y menés par les points de la figure, envelopperont une seconde figure qui sera corrélative de la première ;

2^ Le segment compris sur F axe de lavis, entre deux plans normaux y sera égal à la projection orthogonale de la droite qui joint les deux points correspondans.

De sorte que les relations métriques de la première figure seront faciles à transporter dans la seconde.

(149) Il résulte de là que si F on coupe la surface dune vis (à

les coordonnées du même point considéré après le déplacement; ces coordonnées ont des valeurs de la forme

x'=l ^-^l/l-(L^-f-M^^N')-^(»l5-.Ny)H-:î L^ M^^n'^^^^' L.(Lr+My-hNs),

où /, m, n^ L, M, N, sont six coefficiens indépendans.

Ces formules sont la généralisation de celles d'Euler, qui ne convenaient qu'à un déplacement infiniment petit du corps solide.

Elles peuvent servir aussi pour la transformation d*un système de coordonnées rectangulaires en un autre système de coordonnées rectangulaires. Et sous ce rapport elles satisfont à une question qui a occupé dans un temps les géomètres , savoir , de trouver de telles formules qui ne contiennent que les trois coefficiens indépendans nécessaires et suffîsans pour exprimer la position des nouveaux axes, et où ces coefficiens entrent d'une manière symétrique.

Les formules de Monge qui ont résolu cette question {Mémoires de Vacadémie de Turin; ann. 1784 et 1785) ont l'inconvénient de contenir six expressions radicales différentes. Les formules précédentes n'en contiennent qu'une.

filets triangulaires on rectangulaires^ indifféremment) par un plan quelconque, et que parles différens points de la courbe d^ intersection on mène les plans normaux ausc hélices qui passent par ces points y tous ces plans pousseront par un même point. Ce point sera situé dans le plan coupant.

Ces considérations 9 qui conduisent â diverses propriétés nouyelles de la vis, offrent des méthodes de géométrie descriptive pour le dessin des épures relatives à différentes questions qui se présentent dans les arts.

(150) Toici enfin un dernier mode de construction des figures corrélatives, que nous pouvons exposer sans calcul.

Qu'on conçoive un système de forces sollicitant un corps solide libre ^ on pourra les remplacer d'une infinité de manières par deux forces uniques F , F'. L'une de ces forces sera tout-à-fait arbitraire de direction ; c'est-à-dire qu'on pourra prendre une droite quelconque pour représenter la direction de cette force; la seconde force sera alors tout -à-fait déterminée en direction et en grandeur.

Si on cherche le plan an moment principal des forces du système, relatif à un point quelconque de la force F, ce plan passera par la force F'. Donc si on fait tourner la première force autour d'un point fixe, la seconde ne cessera pas d'être dans un même plan, qui sera le plan du moment principal du système de forces , relatif au point fixe. Et réciproquement, quelle que soit la position de l'une des deux forces dans ce plan, Tautre force passera par le point fixe; d'où il suit que les plans des momens principaux du système de forces, relatifs aux différens points du plan, passeront par le point fixe.

On conclut de là que :

Si Von conçoit dans V espace un système de forces , et que Von prenne les plans des momens principaux de ces forces , relatifs à tous les points dune figure , ces plans envelopperont une seconde figure qui sera corrélative de la première ,• c'est-à-dire que les plans relatifs à des. points situés sur un plan passeront par un même point; ceux relatifs à des points situés en ligne droite passeront par une

même droite; ceux relatifs à des points situés sur une surface du second degré envelopperont une seconde surface du second degré, etc.

(151) Quant aux relations métriques de la nouyelle figure ^ on les conclura de celles de la figure proposée , au moyen de la proposition suivante, dont la démonstration est sans difficulté, mais serait ici sans intérêt :

Si Von prend un certain axe fixe , parallèle à la réêuUante de toutes les forces (Taxe que M. Poinsot a appelé Taxe central des momens * ), le segment intercepté sur cet axe par deux plans quelconques appartenant à F une des deux figures ^ sera égal à la pro^ jection orthogonale ^ sur cet axe , de la droite qui joint les deux points correspondans dans f autre figure, •

§ XXV. Caractères particuliers de divers modes de construction

des figures corrélatives.

(152) Nous avons vu que la théorie des polaires réciproques n'offre pas la construction la plus générale des figures corrélatives, parce qu^elle ne donne à disposer que de neuf constantes, au lieu de quinze. Il en est de même des autres modes que nous venons d'exposer dans le paragraphe précédent, dans chacun desquels on ne peut disposer que de six constantes. Dans ces dernières méthodes, les figures corrélatives ont un caractère particulier; c'est que les plans d'une figure passent par les points de l'autre figure auxquels ils correspondent. Mais ces méthodes ont un autre caractère propre, qui leur est commun avec celle des polaires réciproques , et qui ne se présente pas d'une manière aussi palpable ; c'est une réciprocité parfaite entre deux figures corrélatives; réciprocité qui consiste ' en ce que si, après avoir construit la figure corrélative A' d'une figure A, on voulait, par le même mode de construction, former

' Élémens de siaiique ; 6* édition , pag. 858.

la figure corrélative de A'^ on retrouverait la figure A. Cela a lieu^ comme on sait^ dans la théorie des polaires, parce que le point fixe par lequel passent tous les plans polaires des difiërens points d'un plan^ a précisément pour plan polaire ce plan (118). Il en est de même dans la construction des figures corrélatives par voie de mouyement infiniment petit; c'est-à-dire que si la figure qui est l'enveloppe des plans normaux aux trajectoires des points de la figure proposée^ éprouvait elle-même le même mouvement^ les plans normaux aux trajectoires de ses points envelopperaient la première figure; cela provient de ce que le point par lequel passent les plans normaux aux trajectoires de tous les points d'un plan a sa trajectoire normale à ce plan.

Il en est de même aussi dans le mode de construction fondé sur la considération d'un système de forces; c'est-à-dire que si après avoir construit la figure enveloppe des plans des momens principaux d'un système de forces, relatifs aux différens points d'une première figure, on construisait la figure enveloppe des plans des momens principaux des points de cette nouvelle figure, par rapport au même système de forces, on retrouverait la première figure; cela vient de ce que le point par lequel passent les plans des momens principaux des difiërens points d'un même plan a précisément son moment principal situé dans ce plan.

(153) Il est naturel de chercher s'il n'existerait pas d'autres systèmes de figures corrélatives où une pareille réciprocité aurait lieu.

Nous allons prendre la question d'un peu plus haut; et d'abord nous proposer la suivante :

Quand un point direcieuT parcourt une surface A^ le plan mobile enveloppe une surface A' {§ Jî, théorème I);

Si Von suppose qu^un nouveau point directeur parcoure cette surface A^ , quelle devra être V équation d'un nouveau plan mobile entrainé par ce nouveau point directeur^ pour qu^il enveloppe la première surface A 9

Soient a;', y' , z' les coordonnées du point directeur situé sur la

surface A^ et

Xy + Yy' H- Za' = U ,

Féquation du plan mobile ; ce plan enveloppe la surface A'. Soit

Lr -H My H- Na = 1 ,

L'équation d'un plan tangent à la snrface A en un point a. Si le point directeur parcourt ce plan^ le plan mobile tournera autour d'un point de la surface A' ^ dont les coordonnées sont données par les trois équations