Pour l'ellïpse. Données , lés deuqp axés

Les deux proôédcs suivans reposent sur la propriété que nous avons faSt connaître au n*. 219, et qu'il faut revoir.

1®. Ayant décrit sur le grand ax€ A1B ^^ fig. 87, et sur le petit axe DL/ s pris pour diamètres , deux cercles concentriques , si Von mène cfifférentcs ordonnées MP au grand cerclé, et iUfférens rayons CM^ et qu^ depuis ies points n , oi!i ces rayons couperont le petit cercle , on mène les pai-aRèles jT^n au grand axe, les points m, où ces parallèles rencontreront les ordou"^ fiées I appartiendi^ont à lelUpse demandée; car on aura toujoui*s:

niP : MF ::nC : MC^ où y : Y :: c' : c.

2^ De différent points N^ fig. 88-, pris sur le petit axe ou sur son prolongement , à une distance taoindre du grand axe que la difiërence c — </ des deux demi^axes , et avec un tayoïi égal à cette différence , on cfécrîra des arcs qui couperont ^B aux diftérens points E ; on mènera ensuite les droites NEM^ que l'on fera égales àc, alors les points J/ appartiendront à Tellipse : car si avec les rayons NM^ et depuis les points iVpour centres , on décrit les arcs ML , qu'on mène jes cordes MJL perpendiculaires sur AB^ et les droites -AIQ^ parallèles à cette ligne, on aura toujours :

MP.MQr.ME.MN, ou y\Y\:c':c.

Au reste la ligne NM pourrait être une règle égale à r , sur laquelle on aurait marqué la distance NE . égale à e — t/ ., et que Ton ferait mouvoir de manière que son extrémité N glissât le lon^ du petit axe , et que le point E restât toujours sur le grand axe ; son autre extrémité M décrirait ia courbe.

N. B. Les deux procédés que ndus venons de voir dépendent de la description du cercle ^ qui est. touj«!iirs facile ; si on voulait les appliquer A

ITîyperbole ,

HElATirS AUX 38CfZt>NS COKIfiUES. 217

Hiyperbole, il fiùidrait partir de Thyperbole éqiiilatère , qui n'est pas plus facile à décrire que Thyperbole ordinaire (n\ 219).

276. Pour i^'HYPiaBOLE. Données 9 les asymptotes et un point de la courbe. Le procédé suivant est fondé sur la propriété q& nous avons développée

au n^. 266,

Par le point donné L^ûg.ii, ajant mené des droites terminées aux asymp* totes, on trouvera sur chacune de ces di'oltes un nouveau point de la courbe , en portant chaque RL en SN.

Si fon avait pour données les deux axes , on aurait donc aussi un point de. la courbe , savoir l'extrémité du premier axe , et l'on pourrait faire usage de la construction précédente , en commençant par déterminer la position des asymptotes. Pour cela , il suffirait de mener par le centre deux indéfinies parallèles aux droites qui joignent les extrémités des axes , fig. 81 ; elles seraient les asj^mptotés mêmes (n^. 266).

Avant xes courbes, trouver leurs diamètres, xeurs axes, leurs

asymptotes.

277. Pour l'ellipse et l'hyperbole. Connaissant les cuves , trouver deux 'diamètres conjugués qui fassent entr'eux un angle donné.

Les diamètres conjugués ne se rencontrent jamais à angles droits (n**. 263) ^t par conséquent ils font toujours entr'eux un angle aigu et un angle obtus supplémens l'un de l'autre ; donner un de ces angles c'est donc aussi donner 4'autre.

De plus les diamètres conjugués sont toujours parallèles aux cordes supplémentaires que Ton peut mener des extrémités de chaque axe dans l'ellipse , et seulement des extrémités du premier axe dans l'hyperbole ( n^^ 244 253).

Enfin les cordes supplémentaires du grand axe dans l'ellipse font en« tr'elles un angle obtus , celles du petit axé un angle aigu ; mais dans l'h/per^ bole elles ne font jamais cntr'elles qu'un angle aigu ( n^ 245 )•

D'après toutes ces considérations, le problème précédent peut s'énoncer ainsi: étant donnés les axes, trouver deux diamètres coryugués qui /assent enttfeux un angle aigu donné.

Ee

Sur le petit axe de Tellipse, ou sur le premier axe de rhypërbolé, on décrira un segn^nt de cerde capable de l'angle aigu donné ( Géom. Append^ Frob. XXni )y et le centre de ce cercle sera au-^dessus de l'axe en question ; par un des points où cet arc- coupera la courbe V on mènera des cordes supplémentaires aux extrémités de ce même axe ; enfin par le centre on ferai passer des parallèles à ces cordes; ces parallèles seront les diamètres 'de-^ mandés : il ne restera plus qu'à termmer convenablement le second dia-^ mètre , dans le cas de l'hjperbole ( n®, 256^ X

Il &ut remarquer que le problème sera toujours possible dans Vbyper*bole y qarce que l'angle des. cordes supplémentaires , dans cette courbe ^ parcourt tous les degrés de grandeur, depuis lûO'' jusqu'à 0^. U n'en e&t pas de même dans l'ellipse où cet angle n'augmente ou ne diminue que ju»^ qu'à un certain point ( n^. 245 ). Si dans ce cas l'angle donné sortait de ce^ limites^ l'arc de cercle ne rencontrerait point Tellipse allleurs> qu'aui^ extrémités de l'axe.

Il faut remarquer encore que si pour l'ellipse on donnait un angle obtus ^ on n'aurait pas besoin de chercher son supplément , parce qu'on pourraît faire la construction précédente sur le grand axe , au lieu de la. faire sur le petit. Dans ce cas le centre de Tare de cercle serait au-dessous de cet axe.

278. Si Ton demandait de trouver les diamètres conjugués égaux de l'el- Upse, il est évident (ï^. 266) qu*il suflSrait de mener par le centre des parallèles aux cordes supplémentaires qui joignent une des extrémités d'ua axe avec les deux extrémités de l'autre.

279. PoDB l'ellipse et l'hyperbole. Etant donné le centre , sans les axes y trouver deux diamètres conjugués faisant entr'eux un angle donné.

Si l'angle donné est droit , cette recherche sera celle des axes ; mais c^ 91'est qu'un cas particulier ; voyons la chose d une manière plus générale.

Si Tangle donné n'est pas da*oit y on pourra ramener le problème au car de l'angle aigu.

Cejft posé y comme on a lie centre ^ il sera facile de mener par ce point nn diamètre quelconque qui rencontre la courbe ; et puisque les propriélé% des cordes supplémentaires aboutissant à ce diamètre sont les mêmes que celles des cordes supplémentaires aboutissant à un axe (n^ 257), nons pourrons opérer ici comme au n\ 277.

Ayant donc mené par fe centre un diamètre quelconque , mais qui abou-^ tisse à la courbe > on décrira sur ce diamètre un arc de cercle capable dt^

]Pàngle donné ; depuis le point où cet arc rencontrera la courbe , on mè* hera des corde» supplénientaires aux extrémités du diamètre en question ; puis par le centre on mènera des parallèles à ces cordes ; ces parallèles seront les diamètres demandés , sur quoi Ton fera dts observations analogues à celles du n*. 277.

On opérer^ de même pour trouver les axes, si l'angle donné est droit ; mais dans ce cas le^ centre du cercle décrit ne sera autre chose que celui même de la courbe, ce qui rendra la solution plus simple.

280, Pour l'htperbole. Etcmt donné le centre et non les nxes^ trouver ks asymptotes.

On commencera par cherchei? les axes, par le n^ précédent, et Toi^ déterminera ensuite les asymptotes par le procédé indiqué au n^ 276.

AfAKT tBS COUaSBS, tSUR MfiK&a B£S TANGEKtEff»

Procédé général; les foyers étant cowius^

â8î. 1\ Le point donné est sur la coiîrbe.

Supposons pour^ un moment le problème résolu, et repi'ésentons-ttoui quon ait déjà mené par le point donné il/, fig. 89, 90, 91 , la tangente AfTy la normale MN, et les rayons vecteurs fM^ F'M^ on aura pour l'ellipse, fig. 90, fM/V=^F'MN; pour Thyperbole, fig. 9i^FMT—F'MT; et pour la parabole, fig. 89 , l^ine ou l'autre de ces égalités , suivant qu'on la considérera comme une ellipse ou une hjrperbole , et qu'on prendra le point F* vers la concavité de la courbe ou vers sa convexité ( tP. 242 )% De là Tiésulte ce procédés

Joignez le point M avec les deux foyers , et partagez Tangle des rayons vecteurs en deux parties égales , par une droite à laquelle vous mènerez une perpendiculaire au point M; upe de ces droites sera ia normale, et l'autre 8ex*a la tangente demandée < n*. 242 )*

2^. Le point donné G est extérieur ; et il s'agît de trouver le point de contact M.

Supposons que le problème soit résolu , et que Ton ait déjà la taugentç et la normale ; il est évident que si par le foyer F on mène une parallèle à

22Q PIOBLÈMBS eioMér&tsuES^

la normale , et qu*on la termine en jE à la rencontre du rayon vecteur dt Vautre foyer ou du prolongement de ce rayon , la tangente sera perpendiculaire sur le milieu de cette ligne FE y et l'on aura ME =;= MF et G£ = GF^ Ainsi le problème se réduit à trouver le poÎAt £ ; pui^q^ue le .point Af est sur la droite F'E ou sur son prolongement

. Or le point E est à une distance de F' égale à la somme ^ à fo difS^ rence d^es rayons vectem's., c'est-à-dire au premier axe ,. parce que . . . ^ ME = A/jF. Ce. point E est de plus à une distance du point donné G égale à GFy parce que GE =;= (?F, d'où résulte ce^te construction ;

Du fcyer F% pris pour centre, et d*un rayon égal au premier axe> décriyez un cercle entier; du point 6, pris pour centre, et d'un rayon égal à GFj décrivez un autre cercle entier ; menez enfin une droite par un des points d'intersection de ces cercles et par le loyer F\ elle déterminera sur la courbe Le point M cherché.

Pour appliquer cette construction à îa parabole, il faut observer : 1^ Qu'ua cercle décrit avec un rayon infiniment grand ,. n'est autre chose qu'une ligne droite. 2**^ Que puisque le centre de ce cercle est supposé être sur l'axe ,. la ligne d^'oite en question doit être perpendiculaire à cet ax.e. 3^. Que dans l'ellipse et l'hyperbole le sommet dfe la courbe se trouve à égales distances^ entre le foyer F et le cercle décrit depuis le foyer F! ;: et que par consé* quent dans la pi^abole le sommet doit è^re aussi placé à égales distances entre le foyer F et la. perpendiculaire à l'^e dont nous venons^ de parler. 4^. Que cette perpendiculaire se confond donc avec la. directrice. De tout cela il résulte qu!on» peut modifier ainsi. ^ pour cette, courbe y. la. construction précédente ::

Menez la direclarice , et du point G pris pour centre , et avec GjP pour ,xayoa, décrivez^ un cercle ;. enfin par un des points E où ce cercle coupera là directrice , faites passer une parallèle àr Taxe ; elle déterminera sur /a courbe le point d'e contact M ,

iV. B. Comme on peut toujours mener par un point extérieur* deux tan^ gentes. à une section conique (n^. 223) , il est évident que les cerclés dé^ crits des points F' et G auront deux points dfintersection ; ce ^e l'on pour-* sait du reste faire voir par des considérations géométriques. Tout comme on pourrait prouyer aussi , par les mêmes moyens , que la droite GT tt!a ^un point de comunu avec la courbe^

EBLATirS AUX SECTIONS CONIOITJIS. 221

Pour T ellipse et Vhyperbale ; le centre étant connu».