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Or ces équations sont de mème forme que celles que M. Lamé prend pour point de départ dans son Mémoire sur les coordonnées curvilignes, et qu’on trouve à la page 318 du tome V du Journal de Mathématiques. Les lettres o, p1,p2, et
x, y, z, employées par M. Lamé, sont remplacées, pour nous, par x, f, 7,
2", 5’, y’, etles trois quantités qu’il nomme L, h,, h, par notre seule quantité h. ‘Ainsi, pour nous. h, = h, — h. I suit de là que les valeurs inverses 1 1 1 He He 0H:
etre à "7,
que M. Lamé emploie aussi, sont de mème, pour nous, toutes égales à A Cela t
posé, les équations marquées (16 bis), que M. Lamé donne à la page 328, nous fournissent de suite dh duh dh —. == Q —— = Q — —= Q, da dé ; dé d' ? dy da La premiere et la dermière de ces équations peuvent s'écrire ainsi :
dh a da da
d si
bin =
dr : ‘ et elles nous apprennent que 7; Me Contient ni G,ni y; la valeur de X ne peut dy ji f
donc être que de la forme la 14) + U,.
u étant une fonction de 6 et 7 seulement. Mais l'équation
dh d'u
RS RTS )
dédy dBdy
: du a £ AA montre ensuite que TG doit être une fonction de 2 seule. a Donc & est de la forme 9 (5) + 4 (7), et, par suite, x f \ h= f{e) +p(5) +4 (7).
D'un autre côté, les équations marquées (17), et données par M. Lamé à la ‘page 329, peuvent, pour nous, s’écrire ainsi : d'logh d? log À d log 20 dé? L'P TT RES
d'loghk d'logh qu :
de? dp Le k
d’log h d°log À VE ( d log k\° d'ÿ cu de? ES \t-da
De la dernière, on déduit sans peine que
AOERAOES MELLE Fa) +9(8)+3(7)
équation où f(x), 2 (5), ®"(5),.... représentent des fonctions dérivées. Le second membre ne contient pas &. Donc le premier aussi doit être indépendant de +. Les deux autres équations nous montreraient de mème que ce premier membre ne peut contenir non plus ni £, ni y; car elles nous le donneraient égal à f” (æ) +” (y) et à f(x) +9" (5). Donc ce premier membre doit se réduire à une simple constante. De là , réciproquement, il faut conclure que
te MEN EER MR TAESAE sont aussi des constantes, et même des constantes égales entre elles; 1l en est
donc de mème de f” {2}, 2"(B), L" (y), puisque l’on a, par exemple, ae DE CD : b
Fa) = 20" (a) +" ()]+ 50" (a) +9" (8) —2 Ce" (8) +" (7).
En désignant par k une constante, on peut poser, dès lors,
fiers 7 (re (BR Ë (8) = ET +6",
A,B,C,G,G7, G” étant des constantes. Mais, en mettant pour f (x), #(f),
d (7) ces valeurs dans
cette quantité devient
(a— A} +(6—B}):+(y—C) (a— A} +(B—B}+iy—C)+4(G+G +6G”)
IE
et pour qu'elle se réduise à une constante, comme cela doit être, il faut que l’on ait G + G + G/— 0.
La valeur la plus générale de f(a) +9 (£) + d(y7), c'est-à-dire de 4, est donc contenue dans la formule (a— AP+(B—B} + {y —C}
