ÉLÉMENTS D'ARITHMÉTIQUE

Notions gékéraieiê sur les nombres.

appelb, en génji9l> qua^lUU tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution.

2. Les mathématiques ont pour objet les qiiantitcs de toute espèce. Biais la partie de cette science qu'on appelle arithméti^m^ ne considère les quantités qu'en tant qudks sont eiqprimées par des nombres; aqssi l'antHm Kuijomf définie la des nombres,

3» XiC nombre est la collection ou l'assemblage de plusieurs unités, et \ unité est une quantité à laquelle on compare toutes les quantités d'une même espèce. Ainsi qwmd je* dis : Cet -im vaut ciaq £ntuc9; le' /hma m Funité à laquelle ^ rapportât toutes les quiintit^ de francs possibles.

4. Un nombre est dit abstrait quand on ne détermine pas l£| nature de ses unités, comme, par exemple, quand je dis qwi^e ou quatre fois; parce qu'alors je 6ia néalVment absM^n d^ toute efisc^' d'unité >

et que je n exprime qu*uh nombre en général donc on prendrait quatre fois l'unité. Mais /mit réaux, viiigt piastres sont des nombres concrets ^ parce que l'unité, qui est un réal, une piastre, y est détei:- • minée. "

s. Le nombre se divise en nombre enHér» nombre rompu ou fraction , et nombre mixte, »

Le nombre entier est celui qui ne renferme que des. unités entières^ le nombre rompu ou fraction est celui qtû n'exprime que des parties de Funité , et le nombre mixte est celui qui est composé d'unités entières et de parties de Tunité. Ainsi , dmx est un nombre entier j deux tiers ^ une fraction j deux et deux tiers y un nombre mixte.

De la immércttion.

6. Les caractères ou chiffres dont on se sert dans la numération, çt qui sont connus de tout le monde , ^ont les suivants': '

lérOf tm^ àmm^ tndt, quatre^ isiaqy.iix^ sept, huit, -neuf, o, I, a, 3, 4, 5, 6; 7, 8, ^.

C'est avec ces dix caractères , dont l'invention est généralement attribuée ata Arabes, qu'on «est parvenu expritner tous ks nombres imaginables, à

laide des conventions suivantes : '

On est convenu que de dix unités simples, on en , ferait une seide que Ton appellerait dizaine ^ et que l'on compterait par dizaines comme Ton compte par unités, en disant une dizaine, deux dizaines et ainsi de suite, jusqu'à -nettf inélusivement. Mais, pour ne pas confondre ces unités d'un nouvel ordre avec les unités simples, on les écrit à la gauche de celles-ci.

Ainsi y pour exprimer, le nombre quaranU<inq qui* se compose de quatre dizaines et de cinq unités , j'écrirai pour écrire quarante qui ne se com-

pose que de quatre dizaines, je mettrai un zéro à la suite du 4 pour tenir lieu des unités simples qui manquent, et lui iaire marquer les dizaines, coiïune * d -après I 4o*

On est oônvenii également que de dix dizaines on en ferait une seule unité qu'on appellerait centaine ^ et que l'on compterait par centaines comme par dizaines, en disant une centaine, deux centaines, etc, jusqu*à neuf inclusivement, et que Ion placerait ces unités du troisième ordre à la gauche des disaines. '

Ainsi , pour exprimer le nombre cinq cent trente^ quatre y qui se compose de cinq centaines, trois dizaines et quatre unités, j'écrirai 534; et poui' exprimer cinq cent quatre qui ne renferme que des' centaines et des unités simples , je placerai un zéro de la maniéré suivante [5o4] entre le 5 et le 4 ? pour tenir lieu des dizaines qui manquent, et faire marquer des centaines au chiffre 5 qui précède ce zéro.

De dix centaines on est convenu encore de n en fiiire qu'une seule unité qu'on appellerait -mi/^,' et de compter par miUe comme par centaines, etc. , etc. , én ayant soin de placer ces nouvelles unités du quatrième ordre à la gauche des centaines.

Par un procédé semblable, on compose tant qu'on * veut de nouvelles unités , toujours décuples de celles qui les précèdent immédiatement, et que, pour cette inison , on place à leUr gauche. Ces nouveaux ordres ' d'unités s'appellent dizaines de mille ^ centaines de mille ^ millions^ dizaines de millions^ etc, selon que les chif fres qui les représentent occupeut le cinquième , le sixième, le septième,* le huitième riing, etc., en . partant toiijoûrs de la droite à la gauâie. ,

Pour exprimer le nombre quatre miUe cinq cent iquarante^hïtii^ on écrira iH'^î pour ^«oUv miilejutiif on écrira 4oo8, et pour quatre mille, 4ooo. Dans le second cas, les deux zéro tiennent lieu des centaines et des dizaines qui manquent; et dans le dernier, ils tiennent également lieu des trois premiers ordires d'unités qui manquent aussi.

7* Ainsi le zéro, fui na auqune yaleur par même , est destiné à remplacer les unités qui manquent dans le rang qu'il occupe, et sert en même temps à donner une valeur dix fois plus grande aux chiffres qui le précèdent.

8. C'est d après ces conventions , nous le répétons^ qit'est fpn4ée la méthode atissi simple qu'ingénieuse d'exprimer toun les nmnhres imaginables, avec lea dix caractères dont nous avons déjà dpnué le nom et la figure.

g» Pour aider l'imagination , Ipraquil s'agit d*énon* oer un nombre exprimé par beauooiip de çlpfi^» on le partage de 'droite k gauche en tranches ^ trois

chif&es chacune, qu on nomme wàtés, mille, millions ^ billions, trillions ,.etc,; et on énonce chaque tranche ^ comme si elle était seule ; mais en ayant soin de piQ> noncer à lit fin de efaiii;ane le nom de s^s unités relatÎTes, Ainii, pour énoncer 1^ aopihre suivant,

^riliiontf billions. , millions , mille , unités,

ûSj 4Ba, 673, a84, 35a.

On Ura vmf^^dnq trUlioj^ y quatre cent quatre-vingts deux millions, tiae ^e^ sçixantertreiza milUçns^ 4^ux cent quatre-vingt^ufftf^, ^le, troi^ cent einquantfi^

(feua: unités,

10. Puisque, d'après notre système de numération développé d^s le i^^ 6, les unités dopt U|| iW^^

qncksonqiie se èompose sont de cUz en dix fois plus glandes à mesure qa*on imnce de droite à gtuche,

il en résulte qi\e chaqué diiflre a tonjovurs deux yaleurs; l'une absolue ou intrinsèque, et l'autre conventionnelle, c'est-à-dire relative à la place qu'il occupe. Nous devons tirer de là les deiix conséquences suivantes :