AB > AB AB
La très simple solution graphique consistera à décrire , sur ^/ le segment capable de l'angle observé azb; lequel segment bzk ta coupera la ligne donnée uz, au point cherché z Et, si la direction tracée vz" rencontrait le prolongement de bai le segment bzktq la couperait en deux points t, z, dont l'un z serait facilement choisi pour correspondre à r.
77. Quand, pour rattacher un point accessible z à deux points inaccessibles n, g (fig. 24, 25), on pourra appuyer la base auxiliaire sur un troisième point a, lié à d et 6 : la station z , où Ton observera les angles dza , gza, suffira pour conclure les angles gaz, zad , et conséquemment , pour calculer ou construire la position de cette station.
. . T - • 1 r ..AD sinpzA Solution numérique. Le trianglis adz fournil: — =-:
^ AZ sm ADZ
, . . , • AG sin GZA
le Inangie agz — = ■- .
AZ sm AGZ
,, , „ ', sin AGZ ADsinGZA - ,
d'où l'on tire : = : ; et, comme les
sm ADZ AG sm DZA
angles dza, orA ont été mesurés, que d'ailleurs — résulte
de la liaison supposée entre les points a, d et G, oa pourra
. . sin AGZ , ..
écrire -r— = »> et par suite :
sm ADZ
/AGZ + AIttN
sin AGZ -}- sin adz n + ^ \ 2 / .„.
^"n — 1 . /AGÎ — ADZ\ ^ '
sîn AGZ — sin adz
TRIGONOMKTBIB. 39
or, dans le triaogle ag2 , on a : agi + gza -f* gax == 2 droiU,
le triangle adz adz -(- dza + zad=2 droiU,
en ajoutant ces deux équations, il vient :
(aoz -|- Anz) + ( GZA + dza) = m — (gaz + zad) (K)
Maintenant, dans la figure 24, où le point a esl intérieur au triangle «>z , on a :
GAZ -f: ZAD =4** — OAD = 2** + (adg + ^^^) qui transforme Téquation (K) en :
(AGZ 4- ADZ\ /GZA + DZA\ . . /ADG + AGDN
Dans la figure 25, où le' point a est extérieur au triangle gdz, on a :
GAZ -f- ZAD =: GAD = 2'' -^ (ADG + AGD)..« (*), .
qui , substitué dans l'équation (K), donne :
/ AGZ + ADZ \ / GZA + DZA ^ - j ' /ADG + AGD ^
On connaîtra donc [ ^ y, dans tous les cas; et alors,
Téquation (E) déterminera f j. On évaluera , par
conséquent, les angles agz, adz, ainsi que gaz, zad, dgz et gdz ; ce qiv[periqettra de résoudre le triangle gdz , pour conclure la position du point z.
Solution graphique. Sur da représentant da {fig, 25), on décrira le segment vv'v" capable de l'angle dza, et , sur ag représentant ag , le segment rrV capable de l'angle azg : le point de rencontre z^ le seul que les arcs tracés puissent avoir de commun, outre le point a , sans se confondre, sera* la position graphique de z.
On pourrait encore, pour obtenir le point z, marquer les . angles gza, azd, sur une feuille auxiliaire qu'on placerait de
(i) Les angles du triangle am résaltent de la formule
aco8lj=:----^ — -• -T-aa$do p. 27, au moyen des rapports—, —
qui coordonnent le» points a, d et g.
manière à faire passer les directions zd, za, zg simultanément par les points réspieclifs d, a^ g , et décalquer ensuite le point z en jz.
Ce problème, dont nous avons fait un cas particulier de la question générale du § 69^ donne le moyen de rattacher immédiatement une station â deux bases ^ ou à trois points connus et visibles de cette station.
78. Cependant , si la station z' se trouvait sur la circonférence définie par les trois points d, a, g ifig 25), on même prés de cette circonférence: les segments décrits sur a^ et ag se confondraient» ou se couperaient assez obliquement pour laisser le point z' indéterminé. Il faudrait, alors, stationner en up autre lieu z^ ayantageusement pris dans la direction Az'; et ce nouveau point, éloigné de la circonférence dag, se placerait 1res nettement en z et procurerait, en même temps, le point z' homologue à z\
. 79. Les segments capables, auxquels nous venons de recourir § 76, 77, 78 , peuvent se tracer d*un mouvement continu , ou par points.
Un' segment capable se trace d'un mouvement continu: en en déterminant le centre, soit au moyen de la ligné gr {fyf. 26), considérée comme tangente faisant 4ivec la corde
gd l'angle donné z; ou bien en calculant la longueur du rayon gd
Les deux positions symétriques dgr, dgr' de l'angle z,rela< tivement à gd, fournissent deux segments dxg\ dyg qui appartiennent respectivement aux constructions en-deçà et an* delà de gd.
Pour décrire, par points, le segment capable d'un angle nzG {fig. 25) et passant par g et d, en-deçà de gdi on mène dans cet espace, par le point rf, les droites dt^ dt' rf/"...., et l'on conduit ensuite, par le point g^ des lignes formant avec celles-ci les angles dtg^dt'g dt"g..*., égaux â dzg.
80. Il résulte du § 72: que l'on pourra toujours considérer un point donné extérieurement* à une direction connue ,
TRIGO.NOMÉIRIG. 41
comme déterminant une dislance à laquelle on rallachera d'autres points, par des mesures d'angles.
En eff<*t y puisque, au moyen de J'incUnaison bza {fig, 27), une base zb se conclut des données indiquées; il n'y aura plus qu'à rattacher les points proposés à cette base.
Or, si la direction az est accessible en z , on y observera l'inclinaison BZA.
Mais, si J'aligtHfment Acest inaccessible: on sera obligé de choisir deux stations auxiliaires u, v» dû Ton mesurera les angles buv, zov, aut; bvu, zvu, atu, destinés à coordonner à la base vv, le point b et deux repères z, a de la direction donnée.
On a montré,. § 68 page 34, comment on parvenait n«tnériquemeni aux rapports de tous les côtés, deux«4*deux, de la figure bcvaz, et au. calcul de l'inclinaison bza, qui permet
de remplacer zb par -; et de conclure tous les côtés de
Sin BZA
la figure, en fonction de là distance donnée bp.
La solution graphique de ce problème consiste à décrire, avec les angles observés, la figure auxiliaire u'v'a'z'b' qu'on reporte, ensuite , sur la direction za"i soit par le décalque , soit en faisant z"a"= z'a', et pLiçant, au moyen d'arcs circulaires, les points b\ u\ t/ en b", u", v" ; après quoi, la figura uvazby semblable à ù"v"a"z"b" déterminera les positions graphiques de u, v, A, z, B.
81. On reconnaîtra, immédiatement, qu'un même point inaccessible z a été observé de trois stations a, d, g (fig. 25] : au moyen des angles qui rattachent ces stations entre elles.
En effet, on exprimera que z est sommet communaux deux triangles gdz, abz: en égalant les valeurs de zn tirées de l'un et l'autre triangle, c'est-à-dire :
Gi) sin DGZ AD sin daz gd sin gad
mais — =
sin (dgz -f- GD2) sin (oaz + abz) ad sin agd
j ■ , , , X sin GAD . , . .sin agd
donc i sin (daz -f- adzj -: = sm (dgz + gdz) —.
• sm DAZ ^ am dgz
sera la condition à vérifier approximatiVeoient, pour que z soit commun aux côtés dz, az et gz.
Cette épreuve est utile au § 322, Livre III.
82. Quand oh recourra à des bases auxiliaires, pour coordonner ensemble plusieurs points d'un plan: la disposition et les longueurs de ces bases devront être telles que leur liaison, par des mesures d*angles, se ressente le moins possible des erreurs d'observation de ces angles» Il faudra/donc, chercher quelle forme et quelle étendue conviendront le mieux à chacun des triangles , qui doivent fournir des bases auxiliaires ou le$ rattacher entre elles, pour obtenir la moindre accumulation d'erreurs dans les résultats.
Remarquons, à cet effet, que^ dans un triangle quelcoh>^ que ABC ifig, 28), rinexactitùde £fAB sur la mesure de l'angle GAB occasionne, au côté opposé gb, une erreur cfB dépendant principalement de la longueur du côté adjacent ab ; de sorte que Terreur numérique, qui en pj'o viendra dans la solution du triangle, sera le rapport -r-[ différence entre le résultat exact -- et le rapport — , que Ton substitue à —i fourni
AB '^'^ A.B ^ Ad
parla solution du triangle gac^I.
. Or, le triangle Jab donne — =-r --; et,àcause
AB Sin AtfB
que sin A(fB= sin (cfAB-{-CBAj, on aura« en représentant
angle dAB par 7, angle gba par b, erreur dB par e', ^t côté ab
e' sin ©. o- • 1/ 1// 1
par c : — = -: — ; — - — . Si ou nomme e , e'" les erreurs
c sin (b + y)
produites sur les côtes ag, ab par l'inexactitude f, que le
même instrument angulaire occasionnerait aux angles b et g;
on pourra écrire :
e' sin y e" sin f e"' sin y
c sin(B-f-î>/ a sîn(c-|-î>)' b sin (a -f y)'
Mais, la liaison des angles d'un triangle rend le.dénominateur de l'une de ces expressions d'autant plus grand que les dénomini|teurs des autres sont moindres; conséquenofment, plus
TlMOnOMÊTBlB. 43
Tune des erre*jrs numériques — , —, -* sera petite) plus les
deux autres deviendront considérables. Ces quantités auront donc simultanément les moindres valeurs possible , quand les angles a, b, c seront égaux. Ainsi, la forme équilatérale sera la meilleure à donner à un triangle, pôur-atténuer, dans sa solution. Terreur inhérente à la mesure des angles : on de* vra donc rechercher cette forme dans la disposition des bases auxiliaires.
