CANEVAS DR LA PLANIMÉTKIE

angles du même triangle. On effectuera alors, dans la troisième colonne , le calcul logarithmique du côté opposé en fonction de la base, d’après les proportions établies entre les côtés d’un triangle et les sinus de ses angles. Et, dès que l’on connaîtra la longueur de la base, on écrira, dans la quatrième colonne , les valeurs numériques des côtés, en regard des angles opposé».

322. L'angle conclu d'un triangle renfermant la somme algébrique des erreurs d'observation des deux autres angles; il faudra obtenir ces derniers avec une chance d’erreur moitié moindre que celle, d’abord , regardée comme négligeable.

Les points conclus d’un canevas sont ceux oâ l’on n’a pas stationné. Il convient de comprendre ces points dans deux triangles au moins, pour éviter ou constater les erreurs de pointé, occasionnées par un signalement imparfait de ces ■somnSets, et que l’on peut quelquefois reconnaître par une combinaison des angles observés, avant même de les avoir réduits au centre et à l’horizon, § 81 page 41.

Lorsque les trois angles d’un triangle auront été mesurés : l’erreur d’observation, fournie par la différence de deux droits à la somme de ces angles réduits au centre et à l'horizon, se répartira, par tiers, sur chacun desdits angles, pour les faire appartenir au même triangle.-

323. Si, enfln, le canevas avait un enchaînement considérable, et qu'on n’eùt pu choisir pour base un côté central de cet enchaînement; il serait utile de mesurer deux bases aux extrémités les plus éloignéesdu canevas : pour que l’uuc de ces bases, vérifiant les calculs qui s’appuient sur l’autre, ajoute à la confiance des opérations.

324. On pourrait, avec la longueur des côté» calculés, construire, par triangles, les positions des sommets du canevas sur une ou plusieurs feuilles; mais, cette opération graphique occasionnant souvent de graves erreurs . il sera préférable de distribuer immédiatement les sommets sur leurs feuilles, au moyen des coordonnées rectangulaires de cc.«

TOPOGRAPHIE REGl'LIERE.

points de repère, lesquelles se concluent des résultats trigonométriqucs du canevas général, § 8ô page kk.

Ainsi, en traçant, sur le canevas provisoire du § 318 {fiff. 120), les axes ox, oy: d'après raziniuth , arbitraire uu désigné, d’un côté sp, et au moyen d’un point e, atiqn<‘l on donne ordinairement des coordonnées x', y', telles que la plupart des sommets soient compris dans un seul angle des axes, et , quelquefois aussi, four que la carte contienne le moins de feuilles possible; on conclura, d’abord, les azimuths de tous les côtés du canevas, et, successivement, les coordonnées de chacun de scs points que l'on réunira en tableau.

En sorte qu'il suffira de diviser, par des parallèles aux axes, le canevas provisoire [fg. 120] en feuilles rectangulaires de dimensions voulues, et de numéroter ces feuilles: pour écrire dans le tableau précédent, vis-à-vis de chaque sommet, le numéro de lu feuille qui contiendra ce point, on raison de ses coordonnées. Ce qui conduira au relevé des sommets appartenant à chaque feuille , dont la préparation planimétrique, exigeant deux sommets, ou bien un point extérieur à une direction repérée, § 80 page 41, imposera, à la reconnaissance préliminaire des § 317, 318, pages 183, 184, la condition de fournir, à chacune de ses feuilles, des points qui, naturellement ou artificiellement signalés, repèrent une base, et même plusieurs bases quand le terrain correspondant à cette feuille aura paru assez chargé pour réclamer cet avantage.

326. Si la carte devait être exécutée par zônes particulières : on conduirait la reconnaissance sur la région correspondante du terrain, § 317, et l'on marquerait les contours de ces zônes sur le canevas provisoire § 318, pour choisir les triangles qui, couvrant lesdites zônes, fourniraient les sommets utiles à la partie devant être décrite sur chaque feuille.

CANEVAS DO NIVELLEMENT

Canevas du Nivellement.

326. Le plan horizontal , auquel on rapportera les points (lu terrain, sera désigné par le choix de sa distance à l’un desdits points; et l’on connaitra, ensuite, la distance de tout autre point au plan de repère : au moyen de la dilTérence de celte distance à celle priniilivemenl adoptée.

Plusieurs points sont de niveau : quand ils sont situés du inèine côté et à égale distance du plan du repère. La différence de niveau de deux points est la distance entre les horizons de ces points, c’est-à-dire, la différence des verticales qui les séparent du plan de repère ; et la cote de niveau d’un point est le nombre des unités de hauteur contenues dans sa distance audit repère.

327. La délcrniinalion des cotes de niveau des points d’un terrain, ou le nivelleuienl de ce terrain, revient à trouver l( s différences de niveau de tous ces points deux-à-deux; et la différence de niveau de deux points c et v (/îy. 128), c’esl-à-dirc, la différence des verticales ex, vu s’obtiendra : 1." au moyen de leur distance cn et de l’inclinaison zéni-

cn

thaïe zcv de cv, pour avoir (vu — cr)= ; ou 2.® en

^ ‘ tgzcv’

^ comparant immédiatement les longueurs de ces verticales.

Le premier procédé, permettant que l’une des verticales soit inaccessible, conviendra aux nivellements étendus; tandis que le second moyen , exigeant l’apposition d’une verticale sur l’autre, ne pourra servir qu’aux nivelleinents-dedétail très circonscrits.

328. La différence de niveau (vu — ex) [fg. 128), entre le centre c d’un éclimétre et le point de mire inaccessible v,

étant égale à , aura le signe positif ou négatif: selon

tgxcv

que l’inclinaison zénithale sev sera plus petite ou plus grande que l’angle droit, c’est-à-dire que le point de mire •era au-dessus v ou au-dessous v' de l’horizon de c. Et ,

TOPOORAPUIB RÉGULIÈRE.

si on désigne par n la distance horizontale cn des poin(.s s et T, par v la longueur de la verticale vu , par » celle de la verticale st, et par t la hauteur es de l'éclimétre, tandis que- S représentera l’inclinaison zénithale zcv observée

par le § 305 page 177: on aura v — (*-f-t)= ;

tg ô

et ( V — <) = < H sera l'expression générale de la dif-

tg s

férence de niveau d’im lieu de station s à un point de

mire v.

Les valeurs de tgS se déduiront, avec une exactitude suffisante, de la table du § 309, page 180, qui contient les quintuples des tangentes naturelles.

329. L’inclinaison zénithale observée S, avant d’entrer dans la formule précédente, devra subir des corrections ayant pour causes ; 1° l’excentricité horizontale de l’éclimélre par rapport au point de station; 2." le mirage de la réfraction atmosphérique; 3." la courbure du Globe terrestre; à moins qu’on n’ait reconnu Vinutilité de ces corrections , d’après les limites dont elles sont susceptibles.

Ainsi, lesdites corrections angulaires étant respectivement désignées par c, />' et a' ; leur somme algébrique (e' 4- /»' + “') = *' composera l’erreur propre à l’inclinaison zénithale apparente 8, qu’on remplacera, alors, par l’inclinaison zénithale réelle (S — k') ^

330. Pour trouver l’erreur t', qui alTccte une inclinaison zénithale 3, à cause de la position horizontalement excentrique de l’éclimétre par rapport au sommet de station; Soient : s la place de l’éclimétre dans l’observation de l’angle zénithal zsg, ou 8, [fig. 19); c la trace de la verticale du repère de station sur l’horizon de s; ZCG , ou (8 — f'), l’inclinaison zénithale de CG, qu’on supposera amenée dans le plan vertical zsg par dc'=dc; la correclioa

s'=SGc' résultera de =— — K 60 page 29, ou

cos S CG ^ ‘

CANEVAS DU NIVELLEMENT

zénilhalo S difTéruia peu d’uD droit ; 2.° lorsque l’excentricilé (cD — SD) sera très petite relativement au côté cg = d; et 3.° à plus forte raison , quand ces deux circonstances existeront en même temps, comme on le reconnaît, presque toujours, dans les observations géodésiques.

331. La réfraction atmosphérique, en exhaussant chaque point de mire v snr sa véritable position v' [fig. 129), occasionne la différence \cv' — p', entre l’inclinaison zénithale observée zcv=S et l'inclinaison zénithale réelle 2Cv' = S-|-p'.

Or, quoique l’angle de réfraction p' varie avec la diversité des causes qui le produisent, on a pu, cependant, lui assigner une valeur moyenne , comme il suitt

v'oc étant la courbe de réfraction de v' en c, l’objet v' paraîtra en v suivant la direction cv tangente à cette courbe; et, pendant le mime moment, un autre observateur, placé en v', verrait le point c suivant la tangente v'c'. p' désignant l’angle de réfraction vcv', et S l’inclinaison zénithale apparente zc\, r l’angle de réfraction c'v'c, a rindinaison zénithale apparente z'v'c', et t' l'angle des verticales zr, z't; on aura ;

p' =2‘‘ — 5 — v'cT ^ d’où r = t' a** (5 -|- a)

r =a‘>— A— cv't J p: -l-r’ — (S-j- A)

2‘‘’ = <'-|-v'ct-}-cv't\ t' t'

Mais un grand nombre d’observations siniultanénient réciproques, faites dans plusieurs lieux et en différentes sai-

sons, ont donné au rapport f — - — \ — la même valeur pour

chaque saison; savoir: o,i5 en été; o, i6 en automne et au printemps, et o,i8 en hiver. On a déduit, aussi, l’égalité des angles de réfraction p' et r appartenant à deux observations réciproques, c’est-à-dire,

ensorte que p' = f — —

Cela posé, u étant la distance de l’observateur au centre

TOPOGRAPHIE BÉGDLIÈRE.

(lu Globe, et d la distance des lieux c et v : l’angle — —

coiiiprendra un nombre de centigrades représenté par ^ d’où p= — ^ — ; qui, à cause des valeurs ap-

.(RSIin 2HSIUI , ,

lu'oximativcs : R=(i377 küom., sini

64oo

et

devient p = — .

ia5oo"

332. Quant à l'influence de la courbure du Globe terrestre sur les inclinaisons zénithales; un la reconnaîtra d’abord: en montrant que l'étendue, où l’on peut Confondre, dans le sens vertical , l’horizon avec une calotte de sphère concentrique au Globe, est beaucoup moins considérable que celle où il sera indilTérent de prendre cette calotte ou sa base, pour repère de projection, § 314 page 182.

Soient : en {fg. 130) l’arc de niveau vrai appartenant à la surface d’une sphère concentrique au Globe , et t' l’angle des verticales vt, ct ; la longueur n«, qui mesure verticalement le défaut de coïncidence de l’horizontale cn du niveau apparent avec l'arc cn du niveau vrai, égalera quantité bien plus grande que np, puisque l’angle au

sin t

centre t' est toujours très petit. La partie verticale Nn ne sera donc pas à négliger, par cela même qu’on pourra ne tenir aucun compte de la différence vp, entre la longueur de l'arc terrestre et celle de sa tangente.

Ainsi, Tn sera la vraie différence de niveau de v à c; et l’angle vcz, à employer dans la formule du § 328, partira de cz perpendiculaire à la corde de niveau vrai cn, tandis que l’inclinaison zénithale observée zcv, ou S, s'appuyait sur cz perpendiculaire à la ligne de niveau apparent CN. L’angle zez, équivalent à l’abaissement angulaire Ncn ou a du niveau vrai cn sous le niveau apparent cn, sera donc la correction à retrancher de zcv pour former zcv.

Or, Ncn = -Î- et t= — ^ — ;, n étant la distance cn et a a Rsmi

CAMKTAS DU NIVELLEMENT. 193

le rayon du Globe; par conséquent,

OC ■ - ■ — ■ "* . . . ..il . .1. -

iRsini' 6377 X 2000 “ 3000“

‘333. Examinons, maintenant, ruttVtttf et les limites des corrections à imposer aux observations verticales.

Nous avons déjà vu , § 330, que l'erreur i' d’excentricité horizontale était ordinairement négligée.

La correction p' = 1 — ^ > que la réfraction fait \J25 oo“/

ajouter à une inclinaison zénithale apparente, § 331, n’atteignant un centigrade qu’à la distance ia5oo“ : on prévoit beaucoup de circonstances où cette correction peut être omise en géodésie.

L’angle *' = f ^ — J , qui, en vertu de la courbure ter- \ 2000 ’*/

restre, doit être retranchi d’une observation zénithale, § 332, est assez considérable pour y avoir égard à des distances excédant 21100 '".

Mais, ces deux erreurs p' et «' accompagnant toutes les

observations verticales, leur réunion («’ — p')=k '=( — ^ )

V24oo“/

composera la correction à soustraire de chaque angle zénithal apparent S, pour en faire l'inclinaison zénithale réelle (S — k'] : lorsque cette correction k' dépassera l’inexactitude f permise dans la mesure des angles, § 83 page 43.

334. La formule des différences de niveau étant devenue c — ( s i) = - — — — ; si , à cause de l’expression (Q) du

ttr k'

§ 54, page 26, et de la fraction négligeable , on écrit

tgî

V — («-|-t)=-^ — |-Dlg4': on aura mis en évidence la tg 8

quantité d tgà', que l'on devra ajouter à chaque différence de niveau apparent pour la rendre différence de niveau vrai.

TOPOfiBAPBIE RÉGULIÈRE.

Or, en négligeant l’erreur »' d’excentricité horizontale, § 330, h' se réduira à {a — p'), lgA:'=tg(a' — p'); et,

comme tg «'= — > vaudra — (' f)

aR

PtgV=(i — f)—(qa’on trouverait immédiatement au

moyen de vv'= cv'tg vcv'=ntg

/ils— =f —

(/iÿ. 129), et de Nn = ntgricn= ntg — = — (/îÿ- 130),

fournissant ensemble wn — vv'=— (i — /^ =n tgÉ'J. En

adoptant donc f=o,i6, r = 6377 kilomètres, § 331, il

viendra : d tg («'— p’)=^ — — ^ X l"-

Ainsi, on obtiendra la vraie différence de niveau v — (*+t) entre deux points v et c , § 328 page 189, soit : 1.® en retranchant, de l’inclinaison zénithale observée en c, l’angle

k' = f - ° - 1 dû aux influences terrestres , pour calculer • Va4oo-y

” ou 2.® en cherchant immédiatement la diffétg (*—*')’ ^

rence de niveau apparent — - , à laquelle on ajouter^ la cor-

IgS

rection ntgfc' = ] X i» provenant de la réfraction

° VSgoo"/

atmosphérique et de l’abaissement du niveau vrai sous le niveau apparent.

335. Pour faciliter, dans le nivellement, la transformation des résultats apparents en résultats réels: on a

calculé une table des valeurs de k' =

DtgAW-^Vx S 356 page 217, depuis D = 4oom ® ^3900"/

jusqu’à D=iîooo- que l’on excède rarement en topographie. Et, comme l’une et l’autre des corrections k' et ntgA:’

sont négligeables quand nlgà' ou ^ X >“ est plus

CANEVAS DU NIVELLEMENT

petit que — — , § 7 page 2 , c’est-à-dire , d < 3 g“ on SC dispensera de ces corrections pour les distances infé-

rieures à 4 oo“, lorsque l'échelle sera comprise de — à

on les négligera au-dessous de uoo“, aux échelles de ; et, enfin, on n'en tiendra compte qii’au-des-

sus de 4 eoo" si l’échelle est de — î — à — ! ,

u'ooo 20000

C'est pourquoi, les colonnes de la tahle sont respectivement affectées à chacune de ces limites, § 356 page 217.

La correction k' ou ntgà' ne sera, d’ailleurs, utile que si elle dépasse l’incertitude d’ohservation des inclinaisons zénithales; et on la négligera toujours, quand les repères verticaux auront été préalablement distribués en raison de l’erreur que comporte l’éciimétre employé, § 372.

336. Lorsque , en vne station , on apercevra des objets dont on connaîtra les distances à cette station : on trouvera les différences de niveau entre tous ces points, considérés comme inaccessibles.

En effet, supposons que, de la station p {fig. 120, 131), on aperçoive les points de mire n, p, a, e, 0, u, l, dont on représentera les coordonnées verticales par n, f, a, e, q, u, l; p étant la coordonnée verticale de p, et t la distance de l’éclimétre à l’horizon de ce point. Soient d,, d,, d, les distances horizontales pn, pp, pa,..., ; 8 , , 5 , ,.... les incli-

naisons zénithales, observées et corrigées, sur n, p, a,...; nous aurons, d’après ce qui précède :

lg8.

f — iP + i)

Ig 3,

ft'm\ • f — „—

Igî,

Ig

t'ir

Ig

196 TOPOGBAPBIB RÉGULIÈBE.

et, en assignant une valeur à l’une des verticales y, n, f. a, «, q, l, pour fixer le plan de repère , § 326 page 189, on conclura les longueurs des autres.

337. Au lieu de déterminer les différences de niveau entre les points qui correspondent visuellement à une seule station de l’éclimétie: on pourra coordonner verticalement plusieurs stations, en les rattachant isolément au même point de mire qui peut être inaccessible.

Car, le sommet e servant de point de mire aux stations v,‘g, j (fig. 120), dont v,g,j représentent les coordonnées verticales: et, i", mesurant les distances verticales du centre de l’éclimètre aux repères de ces stations; d', d", d'", les distances horizontales correspondantes; 3', J", 8"' les inclinaisons zénithales réelles de ve,ge, je;

on aura :

en M«+i' )=.pr ^ ^

eno, I»'':

.H J ^ '^tg8'" tg3"

en J, «—(;+» )— {pr,;

338. La coordonnée verticale e du point e , étant commune aux résultats des deux § précédents, lie ces résultats et rapporte au même plan de repère les verticales des points de mire a, e, f, l, n, q, u, ainsi que celles des lieux de station g, j, p, v de la figure 120.

Si donc , on suppose les points remarquables d'un terrain partagés en groupes, dont le nivellement s’appuiera sur autant du repères : il suffira de coordonner verticalement ces repères, pour conclure les distances des points proposés à un même horizon , qu’il sera avantageux de placer au-destous de tous ces points pour en rendre les cotes positives. Et, comme les sommets du cavenas de la planimétrie ont satisfait aux conditions les plus favorables à l’enchainement des observations, § 318 page 184 : on les choisira, aiissi, pour repères du nivellement. En sorte que le canevas de ce nivel-

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CANEVAS DU NIVELLEMENT

leineat sc rédigera eu un tableau des coordonnées verticales, qu’on 'réunira à celui des coordonnées horizontales des sommets composant le réseau trigonométrique de la planimétrie , § 324 page 188 et § 362 page 227.

339. £t, de même que les positions horizontales des points conclus ont dû se rattacher à plusieurs côtés, § 322 page 187 ; 3e même , les coordonnées verticales desdits points ne mériteront confîance que par l’accord des résultats s’appuyant sur plusieurs stations de nivellement.

340. Nous avons vu , § 336, de quelle manière les coordonnées verticales a, e, f, /,.... u ,des points de mire A, E, F, L,...u environnant la station P {fig. 120, 131) se rattachaient à la coordonnée (p-f-t) du centre de l’éclimétre; si on voulait que p appartint à un point particulier de la verticale de p , ce serait à ce point qu’on rapporterait la distance i de l’éclimétre , laquelle deviendrait négative quand l’observateur c serait au-dessous dudit point, comme dans la plupart des stations d’un canevas.

On pourra, cependant, rendre la formule des différences de niveau indépendante de la place c qu’occupe l’éclimétre sur la verticale de station xc {fig. 18), en remplaçant chaque angle zénithal zen observé en c. par l’inclinaison A = zsD ou. zZD, supposée prise en s ou en s : au moyen de la correction (3 — A) due à l’excentricité verticale es, ou cï, mesurée, pour cela, au § 319 page 185. Cette réduction est fournie par ^ , § 59 page 29 ,

qui aura le signe de t : positif quand l'éclimétre sera audessus du repère g, et négatif lorsque l’éclimétre sera audessous du repère 2. On trouvera d’ailleurs, très promptement, ladite correction au moyen d’une table des valeurs sin U . D ,

ayant pour arguments : — — et 1 angle ou 3.

— sin i* *

Ce transport d’une inclinaison zénithale, qui est facultatif dans le nivellement topographique, sert à rendre réciproques les observations zénithales du § 296 page 171 et celles du §331 page 191.

108 TOPOGRAPHIK RKGULIÉRE.

341 . Lorsque la région terrestre à décrire aura trop d’étendue, pour pouvoir être rapportée A un seul élément du Globe, § 314 page 182 : on la couvrira d’un canevas sphérique, dont chaque triangle limitera l’espace susceptible d’è* tre projeté sur un élément particulier de la Sphère terrestre.

Les angles de ces triangles rétulteront des angles observés et corrigés, comme ceux des triangles rectilignes; et les sommets du canevas sphérique se coordonneront par leurs LATITUDES , LONGITUDES et ALTITUDES résultant , aussi , des trois coordonnées d’un|$eulde ces points, et de l’azimuth d’un côté sphérique par rapport au méridien de l’une de ses extrémités.

S’il arrive que des obstacles insurmontables s’opposent & l’enchaînement des triangles, dans les contrées qu’on doit lier géographiquement : on sera obligé , pour en coordonner les projections sphériques, de déterminer la latitude et la longitude d’un lieu de chacune de ces contrées, et d’adopter la méridienne et la perpendiculaire de ce lieu pour axes principaux de la projection correspondante ; le niveau de l’Océan étant, d’ailleurs, choisi pour origine des altitudes ou coordonnées projetantes de chaque contrée.

Comme les observations et les calculs d’un canevas géodésique du premier ordre exigent des connaisances mathématiques bien supérieures â celles de cet ouvrage; nous nous bornons à indiquer les circonstances qui en nécessitent l'emploi et auxquelles les opérations topographiques, proprement dites, sont toujours étrangères.

Exemple de la diviiion d'vn Levé en feuillet de détail.

342. Nous allons appliquer la théorie précédente au terrain, sur lequel MM. les Élèves de l’École spéciale militaire sont exercés à la Topographie, tant régulière qu'irrégulière.

Ce terrain devait être distribué en huit parties, occupant simultanément autant de sections de quatre Élèves. Son étendue, subordonnée au peu de temps que l’Ecole destine à ce genre d’étude, était limitée: au Nord, par le village de