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i3o II* CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

gativement, et m fois la somme des quantités AX-, AX',..., c*est-à-dire

— [(//i- i)(Ar-|-Ar'...)4-w(AX--f-AX-'...)]AC . Pareillement celui de la partie négative sera

4-[(/w-2)(Ar-|-Ar'...)4-(w-3)(AX-f-AX'...)ÂC*""*. Donc le second terme du développement total que nous avons re-

— — ïJn-4

présenté par — M (AC) prendra la forme

.îm-4 J«-*

-M(AC) = -[Ar-f.Ar'-l-...-f-3(AX- + AX'...)]AC et par conséquent on a

M = Ar-h Ar'-4-. . .+ 3 (AX-4- AX'. . .). Or P = Ar-f-Ar'-f-. . .-f-AX -f- AX',. . .,

donc aussi Téquation ci -dessus, a.A»4-M— aP = o, deviendra a. Ao -f- A X -h AX'4- . . . — A r — Ar' — , . . = o ;

d'où Ao = -(Ar4-Ar'4-Ar''4-... — AX— AX'— ...),

valeur égale à la demi-somme de tous les segments Ar,. . . , AX- [Jig, 85), formés sur la sécante Ar devenue parallèle à la tangente P/?, mais en ayant soin de prendre les segments AX% AX',... d'un signe contraire à celui qu'ils devraient naturellement recevoir.

Première conséquence. — L'origine A étant arbitraire, si, par hasard, on l'avait prise au point o lui-môme, resté fixe, la distance Ko devrait être telle qu'on eût

or-f-^r'-j-or"-!-... — oX- — oX'.,.=o;

ce point deviendrait alors le centre de moyenne distance des points r, r', r*,. . ., et d'autres points symétriques à X, X',. . ., par rapport à l'origine accidentelle o. On peut remarquer aussi que, dans le déplacement de cette origine, les points r, r\ r",..., restent naturellement fixes, mais qu'il n'en est pas ainsi des points symétriques à X-, X'. . .; de sorte que le point o n'est pas le véritable centre des moyennes distances pour un état quelconque du système ou relativement à toute autre origine.

Enfin on peut s'assurer, d'une manière directe, que le point o, déterminé par ce qui précède, est indépendant de la position particulière de l'origine A.

APPUQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i3i

En efTetf pour une autre origine â', située au delà de CA, on aurait

or A'o = Ao + AA', A'r= Ar-f-AiV\..., A'/ = A/ -f- AA'. . ., d'où Ton tire, en substituant pour avoir Ao,

Ao4-AA'=-!-(w.AA'4-Àr-hAr'-l-...-(m-a)..U;-AX-AX'-..).

Ao = i(Ar-hAr'4-...-A/-AX'),

comme par la première formule , chose presque évidente à priori.

Diamètre de fosculatrice conjugué à la tangente, — Sans nous attacher à la recherche des diverses propriétés du point o, terminons en prouvant que la droite qu'il parcourt dans les difTérentes positions des trans^ versales ah^ a'b\„.y quand le pôle C passe à l'infini^ renferme le point P de contact de la tangente Vp à laquelle ces sécantes rr" sont parallèles.

En effet, on a pour la position particulière P^ de la sécante [fig, 85),

Ar = AP, Ar' = AP, Xr^^Xp, AX=A/^..., et Ao=i(Ar4-Ar'4-Ar''-l-...— A/-AX'...)

= i(AP-+-AP4-Ayp-l-A;> -A/>-A//...) = AP

De tout ce qui précède il résulte :

« Que pour déterminer à priori le diamètre d'une section conique oscu- D lalrice en un |K)int P (Jfg, 86) d*une courbe géométrique donnée sur

Fig. 86.

I» un plan,' il suffira de tracer à volonté une transversale n" parallèle à

i32 W CAHIER. - MÉTHODli DES TRANSVERSM.ES

» la Umgentc au point P; puis, ayant délorminé sur cette sécante nn w point 0, comme il a été dit ci-dessus, de joindre ce point au point P » par une ligne droite PO qui sera le diamètre demandé. »

Réflexions à ce sujet. — 11 est bien évident que la droite PO étant un diamètre de la conique osculatricc en P, elle divise en deux parties égales les sécantes infiniment voisines menées dans la courbe, parallèlement à la tangente Pp au point P; c'est la recherche de l'angle formé par cette droite et cette tangente, que s'est proposée Carnot à la page 477 ^^ sa Géométrie de position; il en détermine la valeur par l'analyse différentielle, comme cela se fait pour le rayon même de courbure. Il propose aussi, en cet endroit, de prendre le rayon de courbure et l'angle dont il s'agit pour les coordonnées variables des lignes courbes indépendantes de toute constante auxiliaire. D'un autre côté, M. Ampère, dans un Mémoire présenté à l'Institut en décembre i8o3 (14' cahier du Journal de r École Polytechnique)^ propose do choisir pour coordonnées en chaque point, le paramètre et l'angle du diamètre avec la tangente de la parabole osculalrice du 3* ordre on ce point. On peut y voir avec quelle peine l'analyse algébrique arrive à des résultats si faciles pour la Géométrie : ainsi, notamment^ ce n'est que par des comparaisons délicates entre plusieurs expressions compliquées, qu'Ampère parvient à prouver que cette parabole pour un point quelconque d'une conique, a même diamètre et même paramètre (*). On verra ci-après, comment ces propriétés sont des conséquences nécessaires de ce qui a été exposé précédemment.

Revenons au sujet dont je me suis un instant écarté.

(*) Ampère et Carnot, snns le savoir, avaient été précédés dans cette intéressante étude relative aux éléments de la courbure du 3^ ordre des lignes courbes, par le fréométre anglais Maclaurin, dont l'ouvrage déjà cité, antérieur de près d'un demi'Siècle à ceux de ces illustres savants, contient la détermination de ce que Fauteur appelle la l'ariation de la courbure par la parabole osculatrice ; détermination dont Newton s'était également occupé sous un autre nom, dans son Énumération des lignes du 3' ordre. La détermination dont il s'agit repose sur des considérations géométriques tirées de la définition de la moyenne har~ moniijur, sur laquelle je reviendrai un peu plus 16in; or ces considérations offrent une grande analogie avec celles exposées ci-dessus, qui prennent uniquement pour point de départ le théorème de Carnot relatif au triangle transversal, et, comme on sait, ce dernier a pour fondement celui do Newton sur les produits des segments ou appliquées parallèles des courbes géométriques, théorème qui, à son tour, sert de point de départ aux recherches de Maclaurin.

Au surplus, le désir d'abréger et de ne pas grossir inutilement ce volume, me Tait supprimer une longue discussion relative ù la préférence qui doit être acoordoo niix é(|uations h deux termes de l'analyse des transversales, sur les modes de roprosentation des courbes proposés par Ampère et Carnot, ou tout nutr.*. mode où l'on prétondrnit bannir de leur équation les variables ou coor-

APPLIQUÉE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES. i33

Solution finale, — La direction du diamètre de la conique osculalrice du 3*^ ordre (mi un point donné d*unc courbe géométrique étant connue par ce qui précède, rien n*est plus facile que d'achever la solution du problème :

Par le point donné a de la courbe [fig* B7 ), on mènera la sécante arbitraire </C, et, d'après ce qui a été dit plus haut,

FiR 87.

on trouvera la position correspondante du point b, et la co-

doDoées élraogères à leur nature propre. Lorsque j'cinl)rassais ainsi en iSi6, avec une sorte d'enthousiasme et de prédilection exclusive, ridco de la supériorité de Panalyse des transversales sur ces divers systèmes de représentation des li(;nes courbes par les équations ou relations métriques quelconques, M. Lamé n'ovait point encore développé cette belle méthode des multiplicateurs indéterminés mentionnée à la fin du précédent volume, p. 4S9, et j'étais loin surtout d'ima- ^ncr le parti que, dix années plus tard, d'autres amateurs de la, Géométrie tireraient d'une application de l'analyse de Descartes, assez simple et d'apparence assez évidente pour qu'on se dispens&t, je le redis ici avec intention et regret, d'en indiquer la véritable et féconde origine.

Quant aux études de prédilection dont le commencement de ce Cahier con-' tient une ébauche sans doute fort imparfaite, quant à celle notamment qui concerne les lignes du 3" ordre, elles m'avaient particulièrement séduit ii cause de leur él^ante simplicité et de leur nouveauté; car, en ce moment, j'ignorais encore les belles propriétés que Maclaurin avait lui-même découvertes sur ces courbes, par la méthode des réciproques de segments; méthode très-dislincto d'ailleurs et d'une application moins facile que celle dont j'avais d'abord fait usage« mais qui peut lui servir d'utile et fécond couronnement.

135 U* CAHIER. — BfÉTHODE DES TRANSVERSALES

nique sera enlièremeni déterminée. Si Ton traç4iit aC parallèlement au diamètre PD, comme ac\ alors les points a et h' étant connus, si par le milieu i de la distance qui les sépare Ton mène une droite parallèle à la tangente PC, ce sera la direction du diamètre conjugué au premier PD, le centre A sera donc connu ainsi que le demi-diamèlre PA ; quant à Tautre AB, il s'obtiendra par cette proportion

PÂ':ÂB'::c'a.c'6':iv'

Si la courbe osculatrice, au lieu d'être en général une section conique passant par un point donné a quelconque, devait être en particulier une parabole, alors ce point a ne serait plus arbitraire; car son conjugué 6', devant être situé à Tinfîni, serait réellement donné, et l'on aurait ainsi, pour déterminer a, cette nouvelle équation déduite de Téquation générale (p. 126), en y faisant c'h' infini,

Or, c'a étant connue, l'ordonnée correspondante, dans la parabole osculatrice, le serait aussi, et, par suite, le paramètre de cette parabole ; <c donc on ne peut mener qu'une seule pa- D rabole osculatrice en un point donné d'une courbe géomé- D trique quelconque, d

Il est visible aussi que, en général, la conique osculatrice et la courbe géométrique correspondante ont le même rayon de courbure, puisque le cercle osculateur a trois points ou deux éléments consécutifs communs avec chacune d'elles, et pareillement que le cercle osculateur intercepte sur le diamètre PAD un segment égal au paramètre de la section conique osculatrice cherchée. Cette dernière propriété est évidemment une conséquence de l'autre.

Comme il existe une infinité de coniques osculatrices du Z* ordre en un point donné d'une courbe géométrique, on peut demander également que ce soit en particulier, une ♦»llipsc ou une hypcîrbole.

Nous savons (p. 127) que si, autour du point C, on fait tour-

APPUQUÉE AUX œURBES (JÉOMÉTRiyUES.

nerCrt, el qu'on prenne toujours

Co Cr ' (>

Ck C/r,

la suite des points o n'est autre chose que la corde de contact PT {Jig. 88) des deux tangentes issues du point C dans la section conique, c*es*.-à-dire la polaire de ce point. Or, on démontre aisément que si l'on menait une parallèle à PT, divi-

FiR. 88.

sant la distance Co en deux parties égales, cette parallèle ou sous-polaire couperait la section conique en deux points quand c'est une hyperbole, qu'elle lui serait simplement tangente si c'est une parabole, enfin qu'elle ne la rencontrerait pas quand c'est une ellipse. Si donc on veut que la section conique soit une hyperbole, il faudra se donner comme tangente une droite parallèle à la sous-polaire et située au delà; pour la parabole, on prendra la sous-polaire elle-même, enfin pour rellipse, une parallèle quelconque au-dessous de la souspolaire. On cherchera ensuite le point de contact a' sur cette tangente représentée ici par Ca\ C étant la position correspondante de C sur la tangente donnée en P, pour laquelle Ca

i36 IP CAniER. - MÉTHODE DES TRx\NSVERSx\LES

et C6 soiil de\cniis égaux, de sorte qu'on a

Ca C'r ' C'r'

le centre A se trouvera au moyen de a', en divisant la distance P«' également en o' et traçant la diamétrale C'o'A conjuguée à Pa', etc.

Exemples relatifs aux simples coniques.

Appliquons maintenant ce qui précède à une section coni- ([we arbitrairement donnée, et à laquelle il s'agit de mener une osculatrice du 3* ordre.

Dans ce cas {Jig. 89), Ton a pour un point quelconque C de la tangente au point P,

Donc les polaires de ce dernier point, pour les deux coniques, se confondent en une seule droite passant par le point de tangence P. Quand le point C est pris à l'infini sur la tangente en P, la polaire en question devient un diamètre commun aux

deux courbes; ce qui est encore évident puisque la somme des ordonnées est nulle pour Tune et l'autre coniques.

Il est aisé de voir aussi que si l'on traçait les droites aP et 6P qui rencontrent la conique donnée en A et B, les droites

APPLIQUÉE AUX œURBES GÉOMÉTRIQUES. 187

correspondantes AB et ab devraient concourir au même point c; car sa polaire, par rapport au système de PaA et P6B, doit nécessairement se confondre avec celle ci-dessus, commune aux deux coniques, ce qui ne peut avoir lieu à moins que AB ne passe par C. Ceci offre, comme on le voit, un moyen simple de décrire Tosculatrice du 3* ordre par points, quand le point «, par exemple, sera donné. En effet, après avoir mené arbitrairement la transversale Cab et tracé Pa, qui coupe la conique donnée en A, il suffira de mener CA qui coupe cette même courbe en B, puis de tracer la droite PB, qui coupera Ca6au point b de la conique osculatrice.

a On peut donc, avec la règle seule, déterminer la section » conique, passant par un point donné, osculatrice du 3* ordre » en un point d'une autre conique décrite. »

Remarque. — Si Ton regardait PAB comme la base d'un cône dont le sommet se projetât en P, la conique osculatrice ne serait autre chose que la projection de Tintersection de cette même surface par un plan passant par la tangente en P à la première {Développements de géométrie ^ par M. Dupin).

Osculatrice parabolique, — Dans ce cas [Jig* 90), le point a de Tosculatrice du 3« ordre peut être supposé à rinfini, (»t la

Fij;. 90.

transversale Ca doit êtve prise alors parallèlement au diamètre PQ; la construction subsiste toujours, mais ne s'exécute plus avec la règle seule, puisqu'il faut tracer des parallèles a des droites données. Le point A {fig* 89) se confond alors

i38 n« CAHIER. - MÉTHODE DES TRANSVERSALES

avec l'exlrémilé Q du diamètre PQ, et la construction, toujours applicable, se réduit à ceci :

« Tracez arbitrairement Ca parallèle à PQ; joignez CQ, qui jo coupe la conique donnée en B; tracez PB, elle coupera Ca » au point b de la parabole osculatrice. >

Égalité des paramètres. — Prouvons à priori que nos deux coniques osculatrices ont même paramètre p^ relativement au

Fig. 9«-

diamètre commun. En effet, qu'on mène {Jig. 91) Cr parallèle au diamètre PQ et touchant la conique donnée en r, on aura

Câ"^C3"~(>"'PÔ"~â'

or, pour l'autre conique osculatrice en P,

PO' ou a' =

Ca-^Cb

2Ca — a

t CP f>' b'^ ., ^ ,,, Ca.b^ C^TCb^ Ca.Cb-^ a!'' ^^" ""a(2Ca — a)*

donc enfin

On voit que cela a lieu indépendamment du point a que Ton se donne à volonté.

Quand la courbe donnée est une parabole [Jig. 92), la démonstration devient encore plus facile; car alors C6 étant infini,