AL

rns\na msina

valeurs toujours réelles et très-distinctes des précédentes; l'une positive

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. *j$

répondant à l'angle même SAC, l'autre négative appartenant a son opposé au sommet en A, c'est-à-dire située du côté de AC, contraire à AC.

Le problème est donc susceptible de quatre solutions différentes et distinctes, toutes réelles quand on a /*> 'îmnsina ou *', mais dont les unes 60 nt positives et les autres négatives; circonstance d'autant plus digne de remarque que les auteurs qui se sont occupés de la question, tels que Bezout (Cours de Mathématiques, t. H, p. 247), Biot (Géométrie analytique, 6e édit., p. 66). n'ont pas soupçonné qu'elle pût avoir plus de deux solutions effectives. M. Gaudin (p. 3o du Mémoire précédemment cité) affirme même avoir obtenu les deux uniques solutions de ce problème ; et, comme ses raisonnements pour découvrir la signification de la racine négative que lui donne l'analyse dans le premier cas, semblent justifier une telle assertion, on pourrait reprocher à ces raisonnements de n'être pas, au fond, parfaitement rigoureux, ni parfaitement clairs. Nous croyons, en conséquence, devoir faire ici l'application de la règle des signes de position d'après nos principes.

66. Nous ferons d'abord observer que les solutions du problème se partageant en deux systèmes bien distincts, il devient nécessaire de s'occuper de chacun d'eux séparément. Mais, comme le premier système nous a fourni deux racines essentiellement positives pour s7<l\ il parait inutile de s'en préoccuper; il est visible, en effet, que ces deux racines appartiennent à l'angle même CAS donné. Considérons donc séparément l'autre système, celui qui a pour point de départ les équations

AS'(ÀCVf-«)-=w-AC'r AS'.AC. sin« = a/ï;

la première d'entre elles exprime seule une propriété de situation de ce système, car elle a été déduite géométriquement des hypothèses failes sur la figure. Cette équation peut donc exprimer, par la variation des signes des distances qui y entrent, toutes les positions imaginables de la droite MS'C autour du point M.

Ainsi, par exemple, quand AS' et AC (fig. 126) y changeront a la fois de signes en devenant inverses, les points C et S' passeront évidemment dans l'angle opposé au sommet à celui CAS' que l'on considère par hypothèse, mais si AC change seul de signe dans les deux membres, on retombe algébriquement sur l'équation AS(AC— //) = //i.AC aux accents près. D'autre part, à cause de l'équation de condition AS.AC.sin<7 — il7,qui doit coexister avec la précédente, il n'y aura d'admissible, parmi toutes les situations de la droite MC, que celles qui s'accordent pour les signes et pour la grandeur avec cette môme équation; mais on voit que l'accord n'aura lieu que pour les valeurs à la fois positives ou à la fois négatives des distances AS', AC; car autrement on tomberait dans une contradiction manifeste résultant de ce qu'on suppose ici l'aire /* essentiellement

a3o IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

invariable de grandeur et de signe. Donc les valeurs qu'on trouvera algébriquement pour ces distances , ne pourront également qu'être toutes les deux positives ou toutes les deux négatives. Or, quand elles sont à la fois positives, l'équation de situation fait connaître que la droite S'C est réellement dans l'angle a! examiné, et, quand elles sont toutes deux négatives, elle apprend que cette droite est alors dans l'angle opposé au sommet par rapport à a', puisque AC et AS' y deviennent à la fois inverses et changent de sens à l'égard de l'origine commune A. Donc aussi la racine négative trouvée pour AC doit être portée du côté de AC, c'est-à-dire en sens contraire de ce qu'on le supposait dans la seconde mise en équation.

67. Il est donc vrai de dire que, quand la solution algébrique d'un problème géométrique convenablement circonscrit et énoncé, donne à la fois plusieurs racines, les unes positives, les autres négatives, celles qui sont positives résolvent la question dans l'hypothèse même faite sur la position de l'inconnue, puisqu'elles indiquent que cette racine doit être portée dans le sens arbitrairement choisi pour la représenter. Les raeines négatives, par là même, indiquent que la grandeur à laquelle elles correspondent doit avoir une situation opposée à celle de l'hypothèse.

Le genre de raisonnement établi sur les exemples qui précèdent peut évidemment s'appliquer à tous les cas d'une nature analogue; car alors il y aura des*équations qui exprimeront les propriétés géométriques du système auxquelles la règle des signes de position demeure applicable, et d'autres relations qui, étrangères à la situation à cause des constantes absolues qu'elles renferment, restreindront le nombre des variations de signes possibles, et excluront ainsi des solutions algébriques et géométriques, toutes celles qui n'appartiennent pas à la figure, au système examiné en particulier. Or, je le répète, quelles que soient les racines ainsi obtenues, s'il y en a une de négative, elle satisfera, conjointement avec ses conjuguées réelles ou imaginaires, aux équations de situation de ce même système, et appartiendra en conséquence à une position de la figure pour laquelle la distance correspondante sera devenue inverse par rapport à celle qu'on lui supposait en premier lieu.

08. On voit avec quelle facilité les principes établis au commencement de ces recherches conduisent au dénouement de

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. i3i

toutes les difficultés de signes- dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie, et combien sont peu exactes et rigoureuses les démonstrations qu'on a voulu donner à priori de la règle ordinairement admise. Si, en effet, nous n'avions pas justifié à l'avance que cette règle existe pour les positions corrélatives d'un système soumis à la continuité, sur quelle base aurionsnous pu appuyer nos raisonnements ? 41 aurait toujours fallu admettre, tacitement ou non, le principe général qui s'y rapporte ; autrement 'on eût été réduit à démontrer la concordance des résultats pour chacun des exemples considérés en particulier, en reprenant la série entière des raisonnements déjà établis, et en cherchant à obtenir des racines positives à la place des racines négatives, par une extension ou par un changement convenable dans les hypothèses de l'énoncé du problème : par exemple, en prenant pour nouvelle inconnue, non plus la distance trouvée négative, mais une autre distance liée d'une certaine façon à la première, ou encore en changeant l'origine même des distances, etc.

On admet alors, il est vrai, que la racine positive résout immédiatement le problème dans l'hypothèse d'abord établie sur la position des distances inconnues; or, c'est encore là une hypothèse qui ne pouvait se justifier que par le fait même de la Géométrie, c'est-à-dire en prouvant que les propriétés métriques d'une figure sont immédiatement applicables, sans changement de signe, à toutes ses dérivées qui n'en diffèrent par aucun renversement de position des parties.

69. Pour montrer qu'en effet ce principe d'apparence si évidente, ne peut résulter de connaissances étrangères à la Géométrie, il suffit d'offrir un seul exemple.

Soit ASB (Jfg* 127) un angle inscrit à ta circonférence (C), il s'agit

Fig. 127.

de démontrer que tous les angles inscrits qui, s appuyant sur la corde Ali.

a3a IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

sont situés d'un même côté de cette corde, ont pour mesure la moitié de Tare AB.

Voici la démonstration ordinaire :

Supposons, comme dans la figure ci-dessus, que le centre C du cercle soit compris entre les côtés de l'angle S, menons le diamètre OCS et les rayons CA, CB, on aura

AGO^aASC, BCO^aBSC, et par conséquent

AÛO+BCO^^ASC + BSc) ou ACb = aASB; mais, on a également

ACB = arc AOB , donc aÂSB = arc AOB.

Voilà la démonstration établie pour la situation actuelle de l'angle ASB ; mais si Ton vient à déplacer cet angle par un mouvement graduel jusqu'à ce que, fig. 128, il ne renferme plus le centre C, la proposition n'est plus une conséquence immédiate des premiers raisonnements, quoique les deux

Fig. ia8.

systèmes soient en corrélation directe; ces raisonnements en effet cesseront d'être immédiatement applicables, puisque les lignes auxiliaires CS, SA, SB ayant changé de position entre elles et à l'égard de celles que l'on considère, l'angle ASO est devenu inverse de ce qu'il était; ce ne sera donc plus alors la somme, mais la différence des angles BSO et ASO qu'il s'agira de considérer, et il en sera de même à l'égard des arcs correspondants.

70. Si, pour un exemple aussi simple que celui qui précède, on ne peut pas affirmer, sans recourir de nouveau à la figure et au raisonnement géométrique, que la propriété demeure applicable à toutes les situations du système quand les parties de ce système conservent la même situation relative les unes à l'égard des autres, comment pourrait-on l'admettre en général et pour une figure quelconque? Le seul moyeu d'y

parvenir est évidemment celui dont nous avons fait usage en établissant d'abord la règle des signes pour les figures élémentaires de la Géométrie, puis l'étendant à toutes les figures possibles.

Ainsi, quand M. Carnot admet qu'une quantité géométrique qui, dans un premier système, était la différence de deux quantités dont la plus petite a été retranchée de la plus grande, devient, dans le système corrélatif, la différence de deux autres dont la plus grande a été, au contraire, retranchée de la plus petite, quand il admet ainsi que cette quantité change de signe dans toutes les équations qui expriment des propriétés du système, il avance précisément ce qu'il fallait prouver, savoir : que les quantités qui changent de sens, changent simultanément de signe dans les relations métriques où elles entrent.

En effet, admettre que celte même quantité, après avoir été la différence directe de certaines dislances, en devient la différence inverse, c'est supposer, en réalité, que la distance dont il s'agit a changé de sens à l'égard de l'origine d'où elle se mesure, et rien de plus. Admettre ensuite que cette même longueur change de signe dans les relations examinées, c'est supposer, à priori ou tacitement, que ces relations demeureraient immédiatement applicables au système corrélatif, sans changement de signe, si l'on venait à remplacer, dans le système primitif, chaque quantité variable par la différence algébrique des lignes dont elle est la différence géométrique. Or cela implique évidemment que les nouvelles formules demeurent invariables de signes pour tous les cas où les lignes qui composent la différence demeurent directes; proposition qui n'est, comme nous l'avons vu ci-dessus, pas plus admissible en toute rigueur, que la proposition même qu'il s'agit de démontrer.

Mais je reprends l'objet principal des précédentes discussions, dont je me suis un instant écarté et qu'il s'agit d'approfondir et de généraliser davantage.

71. Quand une fois on a trouvé toutes les solutions algébriques d'un problème de déométrie pour la position actuelle des données, on étend sans peine ces solutions à toutes les situations possibles des mêmes données, en ayant égard à la

•234 Hl* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

continuité et à la règle des signes; car les nouveaux systèmes de solutions peuvent être censés provenir de ceux de la ûgure type ou primitive, par le déplacement graduel des données, et les équations de conditions étrangères à la situation, demeurent par hypothèse d'une forme explicite invariable, tandis que les relations métriques qui expriment les propriétés géométriques de la figure varient seules dans les signes des données qu'on supposait d'abord fixes et qui ont ensuite changé de situation entre elles dans le système dérivé, ce qui doit entraîner des changements analogues dans les équations finales du problème.

Ainsi, ayant posé, dans le cas où M et SC (fig. 126, n° 65) sont situés dans l'angle CAS, les équations

AS(AC — /î) = w.AC, AS.ACsin«=2/2, ce qui donne

m sm a m sin a *

pour trouver celles qui correspondent au cas (fig. 129) où M passe en M' par exemple, dans l'angle supplémentaire SAC, on imaginera que ce

Fig. 129.

point M s'y transporte d'un mouvement continu quelconque; le point R passant en R', AR ou n deviendra inverse, mais tout le reste demeurera le même, puisque, par hypothèse, on conserve à SC devenu se, une position analogue dans l'angle SAC, afin de ne pas modifier les conditions primitives du système. Changeant donc le signe de n — AR dans les formules ci -dessus, il viendra

AS(AC + /i) = «f.AC, AS. AC sin a = a/*,

AC = ''*'•'' + »'"" ri"» ^ L (/± v//î+7). m$\n<i ///sinrt

Ces dernières racines concernent encore l'angle SAC ; or, on doit re-

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. i35

marquer qu'elles sont absolument de la même forme que celles qui ont été trouvées (65 et 66) pour le second système de solution, celui qui appartient au point M, mais à une droite MS'C (fig. 126) tracée dans le supplément à de l'angle donné a ; ce qui doit être, puisque tout est semblable de part et d'autre, et que d'ailleurs le signe du sinus de l'angle a est égal à celui de son supplément a*.

Si l'on plaçait M' dans l'angle opposé au sommet à l'angle donné CAS, m et n changeraient à la fois de signe dans les formules, et l'on aurait alors pour la solution du problème :

AC = l*±W-*m**n« = -/ (/±^,— .) ; — msma ms\ua

les deux racines seraient ainsi toutes les deux négatives, ce qui apprend que la droite CS ou se, au lieu d'être dans l'angle même CAS, selon l'hypothèse, serait dans son opposé au sommet, etc.

72. On voit, par les précédentes discussions, que les angles de deux droites, opposés au sommet, se comportent absolument comme s'ils formaient un seul et même système, une seule et même ligne courbe, tandis que leurs suppléments se comportent comme s'ils constituaient un autre système essentiellement distinct du premier. Cette distinction est en effet conforme à la nature des choses ; car, dans le cas des angles opposés, une droite peut, en se mouvant parallèlement à elle-même, engendrer d'une manière continue les côtés et les autres parties de ces angles, par exemple leurs aires triangulaires, etc., ce qui ne saurait avoir lieu à l'égard de deux angles adjacents ou supplémentaires, qui constituent ainsi véritablement (28) des systèmes en corrélation indirecte sinon complexe.

Si, au lieu de procéder à la solution directement, comme nous venons de le faire, on employait l'Analyse des coordonnées de Descartes, on arriverait absolument aux mêmes conséquences; on n'en obtiendrait pas plus, à la fois, les quatre solutions du problème, et l'on ne trouverait, pour chaque hypothèse établie sur la position de la droite cherchée, que deux solutions seulement qui seraient inséparables entre elles. Les mêmes choses arriveraient à plus forte raison , en procédant d'une manière purement géométrique.

73. En effet, on sait que, dans l'hyperbole nippoilèe à ses asymptotes

a36 Jll- CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

(fig. i3o), le triangle AGS, formé entre ces asymptotes et une tangente CS, est toujours égal en surface au parallélogramme construit sur les demi-axes ou à la puissance de l'hyperbole. De là il résulte qu'un point M étant donné quelque part sur le plan de l'angle formé par ces

Fîç. i3o.

asymptotes, pour résoudre par la Géométrie la question traitée ci-dessus algébriquement, il faudrait, du point donné M, mener des tangentes à la courbe; car chacun des triangles interceptés ASC, équivalant à la puissance de l'hyperbole, serait égal à l'aire donnée. On trouverait donc ainsi deux solutions seulement du problème , comme cela a été avancé. Pour obtenir les deux autres, il faudrait considérer à la place de l'hyperbole construite dans les angles opposés aux sommets CAS, CAS', celle qui appartient à leurs suppléments SAC/, S'AC. Il est visible, en effet, qu'on obtiendrait deux nouvelles solutions très-différentes des premières, quoique répondant au même point M.

Si l'on recherchait par l'Analyse des coordonnées la courbe enveloppée par les droites SC qui interceptent des triangles équivalents, on ne trouverait non plus qu'une seule hyperbole, et pour trouver l'autre, il faudrait changer l'hypothèse même faite sur la position de SC par rapport à l'angle ou aux droites indéfinies qui en limitent les extrémités. D'ailleurs ces circonstances se présenteraient également si la droite SC devait intercepter des segments AS, AC, dont le rectangle fût constant et donné à priori sans égard au signe de position (p. 26 et suiv.).

7fc. Plus généralement, lorsque, parmi les conditions d'un problème géométrique, il entre des relations indépendantes de la situation ou de la loi des signes, on peut, comme nous l'avons avancé (65), être sûr que la question est susceptible de plusieurs systèmes de solutions séparables et distincts, et que l'Analyse, pas mieux que la Géométrie, ne les donnera d'une

manière simultanée; de même aussi la (iéométrie, pas plus €|ue l'Analyse algébrique, ne parviendrait à les séparer si réellement ils étaient soumis à une môme loi continue, comme cela aurait lieu, par exemple, dans chaque système distinct de solutions.

Quand donc il arrive que l'énoncé verbal d'une question spécifie un système en particulier et le sépare par quelque caractère tranché de ses analogues, une traduction algébrique rigoureuse et qui ne pourra appartenir qu'à ce système seul, fera connaître, tout comme la Géométrie pure, les solutions qui lui sont propres, et rien que ces solutions; car les racines obtenues conviendront, par hypothèse, aux équations de définition et les rendront identiques, si elles appartiennent exclusivement au système examiné. Donc aussi il est inexact de dire, avec M. Carnot, que l'Analyse algébrique amalgame des solutions fausses ou étrangères à celles des questions proposées. Et, quand bien même on arriverait à des résultats imaginaires, ce. ne saurait être non plus (58 et 64) un signe qu'elles appartiennent à un système différent.

75. Ainsi, que, d'un point s [fg. i3i), il s'agisse de mener deux tangentes au cercle (C) ; dans le cas où ce point sera intérieur au cercle, on trouvera pour déterminer algébriquement les points de contact / et /' deux racines imaginaires; cela signifiera tout simplement que les deux

Fip. i3i.

tangentes sont impossibles dans l'hypothèse actuelle. A la vérité, si, sur le diamètre AB passant par s, on décrit une hyperbole équilatère, au point s correspondront deux tangentes réelles et des racines en apparence . analogues aux premières; mais cette hyperbole formant une courbe entièrement distincte du cercle, et ne pouvant être censée provenir d'une transformation réelle et continue de ce cercle, il n'est ni naturel, ni géométriquement permis de considérer le système des dernières tangentes comme

*38 IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

le corrélatif du premier ou constituant un même système dans des positions différentes. En effet, si le point s, au lieu d'ôtre pris sur la direction du diamètre commun AB, était pris quelque autre part, en s' par exemple, on obtiendrait à la fois deux tangentes pour le cercle et deux pour l'hyperbole; ce qui annonce bien que les racines trouvées sont quadruples et séparables par couples, ainsi que les courbes elles-mêmes. Quant aux racines négatives, elles n'indiquent pas des solutions d'un système autre que celui des données elles-mêmes, pourvu qu'on regarde les lignes comme prolongées indéfiniment, ce qui est bien naturel et bien conforme à l'idée qu'il convient d'en prendre d'après la notion de continuité : lorsque la Géométrie ordinaire n'envisage qu'une portion plus ou moins étendue de ces lignes, c'est pour faciliter le raisonnement et réduire à priori le nombre des cas possibles, et non par une nécessité absolue.

En un mot, si, avec M. Carnot, on regarde les racines imaginaires comme indiquant des solutions réelles d'un système analogue mais pourtant distinct du proposé, il faut nécessairement aussi admettre que les solutions réelles, quand elles renferment des radicaux, indiquent d'autres solutions encore que celles qu'elles donnent effectivement; notion qui contrarie évidemment toutes les idées reçues.

Nous nous sommes beaucoup étendus sur les exemples qui précèdent, parce que les difficultés qu'ils offrent se reproduisent presque à chaque pas et souvent avec des caractères tout opposés. Nous allons, ci-après, passer à d'autres considérations en continuant de raisonner dans le même esprit d'examen critique, sans trop oublier d'ailleurs qu'il s'agit de la théorie des signes de position appliquée au principe de continuité.

Problèmes dans lesquels les inconnues appartiennent essentiellement à des droites mobiles.

76. Jusqu'ici nous avons, à proprement parler, envisagé les questions géométriques sous le point de vue particulier où les données d'un problème, aux constantes près, étant fixes, les inconnues elles-mêmes se mesurent sur des droites données. Nous allons maintenant nous occuper des questions dans lesquelles les données étant toujours fixes, les distances inconnues se mesurent sur des droites elles-mêmes indéterminées de situation.

Dans ce cas plus général , le problème est doublement indéterminé, et chaque solution ou racine obtenue pour uno

position arbitraire donnée du système mobile, peul se reproduire sur une infinité d'autres d'après les conditions parti rutières de renoncé. Or, pour cette situation déterminée du système mobile, tout ce qui a été dit précédemment, entre autres dans le cas particulier des droites ou axes fixes, quant au nombre des racines ou solutions et aux signes algébriques que ces racines comportent eu égard à la position des points et des distances relatives réelles, imaginaires, etc., tout cela doit s'appliquer nécessairement au cas plus général qui nous occupe. Mais chacune des inconnues répondant à un point du système mobile qui remplit les conditions du problème, quand on fera varier la position de ce système ou de la ligne droite qui renferme les points inconnus, ces points euxmêmes changeront de place et décriront, chacun en particulier, une certaine ligne nommée le lieu de ce point; l'ensemble de ces lignes représentera évidemment tous les points possibles qui satisfont aux conditions du problème dans son état d'indétermination générale.

Offrons quelques exemples.

77. « Sur une droite SD [Jîg. i3a), assujettie à passer par le point S de » la droite fixe AB, trouver un point .r, tel qu'en le joignant à deux points

» donnés A, B de ÀB, les triangles SÂ.r, SBx qui en résultent soient » semblables entre eux. »

Quelle que soit la situation du point x sur la droite SD, il est visible que ces triangles ne sauraient être semblables dans les hypothèses de la figure, à moins que l'angle Sx A ne soit égal à l'angle SB.r; mais alors on aurait, en comparant les côtés homologues,

SA:S.r::S.r:SB, d'où Sx' =r SA. SB,

24o IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

et, par conséquent, en nommant K3 Taire du rectangle SA. SB,

Sx =- ± y/SÂTSB = ±K,

ce qui apprend : i° que la distance du point x au point fixe S est constante, quelle que soit la direction de la droite SD, et i° que, pour une même direction de SD, il existe deux points .r, situés l'un à droite, l'autre à gauche de l'origine S. En effet, les relations d'où l'on a tiré la valeur de Sx expriment des propriétés géométriques du système et sont par conséquent assujetties à la règle des signes de position, de sorte que la dislance affectée du signe —, est réellement inverse de celle que précède le signe -+-, supposé correspondre au point supérieur D de la droite mobile SD.

Il résulte de là que tous ces points x et leurs opposés x' sont situés sur une circonférence de cercle unique dont S est le centre, et la constante ±:K, un double rayon. Réciproquement, puisque le cercle en question représente le lieu de tous les points x et .r', il donnera par sa rencontre avec une rayonnante quelconque D les deux points x et .r', qui appartiennent à cette droite. On pourra donc regarder l'équation

S.rr-zhv/SA.SB^ ±K

comme propre à représenter l'intersection d'une circonférence de cercle dont le centre est S et le rayon K avec l'un quelconque de ses diamètres, et il en sera de même de toute expression de la forme

Sx=- dt/K^-tK. .

Si l'on avait cherché le point r d'une manière purement géométrique, on eût trouvé, tout aussi bien que par la règle des signes algébriques, les deux solutions dont le problème est susceptible;. car le point x est évidemment le point de contact d'un cercle passant par A et B, avec la droite SD donnée de direction, et l'on sait que, par deux points, on peut en effet tracer deux cercles tangents à une droite donnée.

78. Supposons, pour second exemple, que la droite SD (Jig, i3a), au lieu de tourner autour d'un point fixe situé sur la direction indéfinie de la droite AB, reste (Jîg. i33) constamment parallèle à elle-même, et que l'on doive toujours avoir entre Sx et les segments SA, SB formés sur la direction fixe de AB, par son point de rencontre variable S avec l'appliquée CD, la relation purement géométrique

S.r =SA.SB ou Sj? = ± v/SA.SB.

Cette expression changeant avec la position de S, indique, selon ce qui

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. *4i

précède, qu'il existe sur la direction de CD, deux points tels que x et .r,, situés à la rencontre de cette droite et du cercle dont le centre est S , et

Fig. i33.

qui a pour rayon la valeur absolue de y/SA.SB. Faisant donc mouvoir la droite CD parallèlement à elle-même, les points x et xx varieront aussi et décriront, comme on sait, une hyperbole à deux branches, pour toutes les positions situées en deçà ou au delà de A6.

Au surplus, quelle que soit la manière dont la droite CD ou SD change de position dans le plan de AB, en continuant de posséder avec cette droite l'origine commune S, qui, dans certains cas, peut être fixe, la formule

Sx = SA. SB ou Sx = ±v/SA.SB

n'en sera pas moins l'équation d'une certaine ligne ou d'un système de lignes continues renfermant tous les points qui remplissent les conditions du problème dans son état d'indétermination hypothétique.

79. Dans ce qui précède, les relations primitives, celles d'où Ton déduit les valeurs de Sx, sont censées exprimer des propriétés géométriques du système, assujetties à la loi des signes pour chacune des positions de la droite mobile CD; s'il en était autrement, il pourrait arriver que les solutions et racines ainsi obtenues ne comprissent pas toutes celles du problème envisagé dans son énoncé le plus général, parce que ces solutions seraient séparables en plusieurs groupes ou systèmes ; mais 4lors, comme on la vu (64 et suiv.), le lieu cherché serait lui-même susceptible d'être partagé en lieux distincts, dont le tracé s'obtiendrait pour chaque groupe, ainsi qu'on vient de l'expliquer, et cela bien que leur ensemble appartînt à une équation primitive unique et géométriquement assujettie à la loi de continuité et des signes de position. Or, toute la difficulté, dans chaque cas, est de bien distinguer entre eux les différents groupes de solutions ou de racines, qui semblent parfois s'exclure ou se confondre mutuellement, à moins que l'énoncé verbal de la question n'en limite lui-nuxme u. 16

%i% IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

l'étendue, soit explici liment, soit par malentendu ou manque de généralité et d'extension, comme les énoncés purement géométriques en montrent de fréquents exemples.

Supposons notamment que l'énoncé du problème ci-dessus (78), soit conçu en ces termes :

« Trouver (Jig. i34) la suite des points x tels que, en menant de cha- » cun deux une parallèle CSD à une droite fixe donnée, puis deux autres

Fig. i34.

» droites .rA, xB à deux points fixes A et B, les triangles S-rA, S.rB, » formés par ces droites et par AB, soient semblables entre eux. »

D'après cet énoncé et la position particulière attribuée aux lignes de la figure, on a (77) entre ces lignes la proportion

SA:S.r::Sjr:SB ou Sx'=SA.SB;

ce qui donne, sur chacune des parallèles indéfinies CD, deux points x et xt par une construction graphique qu'il est inutile de rappeler à cause de sa simplicité. Mais, comme cette relation exprime à la fois une propriété de situation et une propriété métrique de la figure, elle est, par là même, assujettie à la règle établie dans les nM 29 et suivants, d'après laquelle les signes de position doivent se détruire réciproquement dans les égalités de cette espèce.

Supposons donc que SD se meuve parallèlement jusqu'à ce qu'elle vienne en S'D' entre A et B, l'abscisse S'A sera devenue inverse ou négative dans l'hypothèse de la figure, et la relation ci-dessus prendra- la forme

Sx = — SA. SB, S,r = dt^— -SA.SB,

qui indique qu'il n'existe alors, sur la parallèle correspondante S'D', aucun point qui remplisse la condition exigée; et en effet, les deux cercles qui (77), passant par A et B, seraient tangents à l'appliquée parallèle S'D',

deviennent alors inconstructibles. Que si, du contraire, la parallèle SD ou CD se transporte en S*D* ou CD", à droite et au delà de AB, les sesments SA, SB, changeant à la fois de sens et de signes, conduiront à des valeurs réelles ou possibles de Sx. Le lieu des points x est donc, dans les hypothèses de lajfc. i33, une seule et même hyperbole : il eût été une ellipse {fig. i32) décrite sur AB comme diamètre conjugué à la direction de la droite -CD, si, dans celte figure type ou primitive, on eût supposé CD en CD' entre A et B; l'énoncé de la question exigeant d'ailleurs, chose bien naturelle, que les relations qui s'en déduisent géométriquement expriment des propriétés de situation véritables de la figure ou des points cherchés, il ne pourra plus y avoir lieu à équivoquer, et la courbe définie par l'équation