Pour le but particulier et élémentaire que nous cher

(*) La note ci-après justifiera l'addition au texte, de ces rapprochements si naturels fondés sur d'anciens souvenirs; pour être complets, ils devraient s'étendre au système polaire des appliquées parallèles relatives ù V axe des ordonnées dans le système ordinaire, impliquant un second

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a55

chons ici à atteindre, il suffit de remarquer que, dès qu'il

est convenu qu'une relation métrique telle que ax = h7, ax = zh k ou ses analogues tirées d'équations algébriques relatives à un axe fixe AB (fig. 101, p. 169), impliquent l'existence de longueurs partant d'un même point, mais opposées de sens et de génération continue, il est bien entendu que la même convention peut être admise, en général, pour un axe mobile suivant une loi quelconque (14), et, en particulier, pour une droite Sx pivotant autour d'un point fixe S, et qui emporterait, dans sa rotation continue et uniforme, l'axe ÀB des abscisses, passant alors par ce pôle S, distinct ou non de l'origine a des abscisses.

Or, le pivotement du rayon vecteur Sx' pouvant lui-même s'opérer dans un sens rétrograde, il en résulte une double indétermination de signe, qu'on ne peut éviter qu'en fixant, une fois pour toutes, le sens positif de la rotation de Sx'; de sorte que l'origine a, si on la supposait relativement fixe à l'égard du pôle S, parcourrait une circonférence de cercle, tandis que l'extrémité x de l'abscisse variable ax, décrirait ellemême une ligne continue distincte de cette circonférence, et

qui, dans l'hypothèse particulière de la relation ci -dessus

ax = k*y soit x=±k, ou plus généralement dans le cas où

le point a, situé lui-même à une distance variable du pôle, serait assujetti à demeurer sur une courbe ou surface directrice donnée, parcourrait une autre ligne ou surface jouissant de propriétés étroitement liées à celles de la directrice, et dont les plus simples avaient déjà occupé les Anciens (*).

pôle et la droite qui, l'unissant au premier, représente tous les points à l'infini de ce dernier système. Pour le cas de trois coordonnées, on aurait trois pôles et un plan polaire à considérer, etc.

(*) Cette classe fort étendue comprend non-seulement la conclundc de Nicomède, la cissoïde de Dioclès, la spirale de Conon et d'Àrchimède, mais un grand nombre d'autres lignes à circonvolutions simples ou multiples, dont je me suis occupé avec une sorte de persévérance exclusive, pendant mon séjour en 1808 et 1809 & l'École Polytechnique, à propos des recherches sur la projection des courbes" de séparation d'ombre et de lumière de la vis, mentionnées aux pages 447 à 4ôo du tome Ier de ces Applications; courbes dans lesquelles le pôle fixe des rayons vecteurs et

256 IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Mais laissant là ces généralités, revenons à l'objet de nos précédentes études relatives à la détermination, à priori, des points appartenant à une droite mobile autour d'un pôle fixe.

90. Les discussions et les exemples qui se rapportent à celte détermination, nous ont naturellement amenés à examiner les problèmes indéterminés de la Géométrie sous le point de vue le plus général possible. Cependant nous étions partis de l'hypothèse, toute particulière, où les objets donnés de la

des appliquées pivotantes est, selon les circonstances, un point singulier multiple, de rebroussement, isolé ou conjugué, etc., dans lequel diverses branches bouclées et leurs appliquées pivotantes, réelles ou imaginaires, se trouvent confondues avec le pôle. Ces faits, que l'Analyse algébrique des coordonnées laisse difficilement et confusément apercevoir, la Géométrie de l'espace, ou, plus spécialement, la projection des courbes à double courbure et des intersections de surfaces, dont on s'occupait beaucoup dans l'École de Monge, en donnait une intuition très-claire, qui ne pouvait d'ailleurs comprendre les points d'inflexion à changement de sens ou de signe de la courbure des lignes, lequel constitue une sorte de rebroussement dans la direction angulaire et l'inclinaison variable des tangentes aux lignes continues.

La discussion des courbes planes à point polaire multiple, par l'examen attentif du mouvement graduel d'un point générateur mobile sur une droite tournant elle-même continûment soit dans un sens, soit dans le sens contraire non moins utile à considérer dans la génération de certaines courbes transcendantes, cette discussion, dis-je, m'avait beaucoup préoccupé dès l'époque de 1808, et sans aucun doute, je dois à ce genre épineux d'exercices les premières notions un peu nettes , que j'aie acquises sur la loi et le principe de continuité dont je me suis depuis occupé d'une manière toute spéciale dans le Cahier ci-après.

Quant à une longue note que j'avais anciennement écrite sur les coordonnées polaires en usage, je me borne à faire remarquer qu'elle avait principalement pour but de montrer qu'en réduisant, comme l'a fait autrefois M. Cauchy et, avant lui, M. Biot (Géométrie analytique), la discussion des équations polaires de l'ellipse et de l'hyperbole, à l'examen des angles de rayons vecteurs compris entre o et 200 degrés, on rompait toute continuité dans la description de ces courbes par le point générateur; ce qui arriverait à fortiori pour les lignes à évolutions multiples dont j'ai précédemment parlé, et à l'égard desquelles on doit non-seulement considérer une rotation do 4°o degrés du rayon vecteur, mais encore une infinité de rotations pareilles dans le sens positif et négatif.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. i57

figure seraient constants de grandeur et de position; mais ii est évident, quand bien même les constantes en question seraient supposées mobiles, que rien ne serait changé dans les conséquences relatives aux signes de position. En effet, pour un même système, les quantités constantes, quelles que soient les positions qu'elles prennent, ne pouvant devenir ni nulles ni infinies, conservent nécessairement. le même signe implicite, ou ne sauraient devenir inverses par elles-mêmes, de sorte que rien n'est changé dans les conséquences dont il s'agit, les variables auxiliaires qui déterminent chacune d^s positions du système et les variables réellement inconnues qui s'en déduisent pouvant seules devenir inverses et changer de signe et de sens avec le changement de position. Cependant il peut se faire encore que certaines constantes soient inconnues de situation; dans ce cas on pourrait éprouver des difficultés dans l'interprétation des signes des résultats algébriques; c'est ce qui arriverait en particulier si l'une des constantes était la dislance comprise entre deux points inconnus et mobiles. Eclaircissons ceci par un dernier exemple.

9i . Problème. — On demande [fîg. 1 37 ) « le lieu des points x et y » situés deux à deux sur des droites jD, passant par un pôle ou point

Fig. 137.

» fixe s de la droite immobile et indéfinie AJJ, ce couple de points x et y » remplissant d'ailleurs les conditions suivantes

xjr = sy — sx = K, sx.sy=zsk.sh. »

De ces équations on tire séparément,

il. 17

a58 IIIe CAHIER. ~ SUR LA LOI DES SIGNES

formules dans lesquelles les signes des radicaux se correspondent respectivement.

Comme sx comporte deux valeurs, Tune positive, l'autre négative, il existe nécessairement deux points x répondant à un même rayon sD : l'un à droite du point s comme on l'avait supposé, l'autre à gauche du même point en xx\ les deux distances sx, sxx, étant inégales, chacun des points correspondants décrira une circonférence de cercle particulière autour du pôle ou centre «. Les mêmes choses ont lieu pour le couple des points y et yx \ mais ce qu'il y a de remarquable ici, c'est que les cercles qui leur correspondent se confondent respectivement avec ceux des points x et xx , en sorte que la série de tous les points inconnus et mflbiles se trouve distribuée sur deux circonférences de cercle uniques.

92. Remarques et discussions. — On sera peut-être surpris du renversement qui se produit dans la position respective des points x et y; car il serait naturel de croire que les deux autres xx et yx dussent, à l'égard de l'origine sy se trouver dans la même condition que les premiers, qui répondent directement à la question telle qu'elle a été posée.

En effet, si l'on avait mis le problème en équation dans l'hypothèse où x et y se trouveraient tous les deux à gauche de s, on aurait évidemment obtenu les mêmes racines que ci-dessus. Mais il faut observer que le problème mis en équation dans la nouvelle hypothèse, aurait réellement différé de celui qui a été résolu tout d'abord; la raison en est qu'alors on supposait la constante K essentiellement positive et invariable de sens ou de signe ; or il est aisé d'apercevoir que cette nouvelle hypothèse exige, au contraire, que K ou xy en change.

Supposons, en premier lieu, que x prenne la position xx (fig, i38) en

Fig. i38.

passant par s, sx deviendra seule inverse dans la relation primitive sy — sx = K, de sorte qu'on aura

sy+sxx = K.

Supposons, en second lieu, que y passe par l'origine s , sy deviendra à son tour inverse, mais xx y restera directe, tant que y n'aura pas dé-

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a59

passé xt , position correspondante à celle qu'a donnée ci-dessus le calcul algébrique. Si, enfin, le point y passe au delà du point xx en yt , nonseulement sy sera devenu inverse, mais encore xty lui-même, de sorte qu'on aura

- syx + sxt = - xtyt = -K.

La seconde hypothèse revient encore, en effet, à changer le signe de la constante K ou à supposer xy inverse. C'est donc réellement changer la nature du problème d'abord mis en équation, puisque nous sommes partis de la supposition que les constantes étaient invariables de signe. Biais, à proprement parler, on voit ici que la relation

sy — sx= K,

par la raison que K y est considéré comme constant, est véritablement une équation étrangère à la position, dans le genre de celle que nous avons plusieurs fois déjà eu à examiner.

Pour qu'elle devint une relation à la fois de grandeur et de position, il faudrait admettre que K pût, tout à la fois aussi, y changer de signe et conserver un signe propre; or c'est ce qui est vraiment impossible à priori, puisque, par hypothèse, la position de la distance correspondante est encore inconnue. Pour savoir à quoi répond l'hypothèse de K invariable de grandeur et de signe, on peut imaginer que la longueur constante xy = K glisse vers l'origine sans changer de grandeur et de sens, sans devenir inverse, mais aussi sa situation n'aura pas changé à Tégard du repère extérieur D, car l'ordre primitif était D/x, et le nouveau l>ytxn c'est-à-dire le même. Supposer donc à priori K invariable, c'est admettre qu'il glisse sans renversement.

93. Conséquences. — L'Analyse algébrique, en apprenant que Tordre des points x, y est renversé, ne donne rien qui ne soit parfaitement exact et conforme aux hypothèses établies sur les équations primitives; elle fournit les solutions qui correspondent Véritablement à ces équations et par conséquent au problème tel qu'il a été posé. La difficulté que ce problème présente vient absolument de ce qu'en combinant les données du calcul avec les notions de la Géométrie, on veut regarder comme appartenant à une seule et même question, des solutions ou des points qui appartiennent à plusieurs systèmes distincts et séparables par des conditions en ellesmêmes différentes.

D'un autre côté, en s'en tenant aux aperçus purement géométriques, il arrive aussi que Ton restreint le nombre des

a6o me CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

solutions possibles du problème, tandis que l'Analyse algébrique apprend qu'il en existe davantage. 11 est incontestable d'ailleurs que les solutions fournies par l'Algèbre résolvent toujours le problème tel qu'il a été mis en équation.

94. Solutions multiples du même problème. — Pour mieux faire voir encore, sur l'exemple qui précède, comment un même énoncé peut renfermer plusieurs questions distinctes, nous supposerons (/%% i3g) que, au lieu de prendre les points x et y tous deux à la droite du point s pour

mettre le problème en équation, on les ait choisis arbitrairement l'un à gauche et l'autre à droite de ce point; les équations de condition deviennent alors

sx-+-sjr = K, sx.sy=sX.sTlf

et donnent séparément

sx = ±K±±\/Ki-4sA.sB, jrr=iK=i=VKa--4*A.*B.

Dans ces expressions, le signe supérieur et le signe inférieur se correspondent respectivement.

Comme on le voit, elles diffèrent totalement de celles qui ont été obtenues dans la première hypothèse, en sorte que les points x et y, xx et yy qu'elles fournissent ont des positions très-distinctes de celles qu'ils avaient alors, les circonférences qui leur correspondent étant aussi différentes.

Du reste, les remarques déjà faites ci-dessus, s'appliquent à cette nouvelle hypothèse» Le problème, dans son énoncé général, a véritablement quatre systèmes distincts de solutions, soit au point de vue géométrique, soit au point de vue algébrique. On pourrait réduire ces quatre systèmes à deux seulement, si l'on regardait le signe de la constante K comme in-

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a6i

déterminé; or rien n'est plus naturel, puisque, en effet, la position ou direction correspondante de l'axe mobile xy est elle-même inconnue. Ainsi les deux premiers systèmes de solution seraient représentés par

sx=±±K±±\/K'+4sX.sBi sr= zp^Kàzl vfr'+4*A.fB,

cl les deux derniers par

les signes supérieurs se correspondant respectivement dans chaque groupe de formules : la même remarque est applicable à tous les cas possibles où les constantes seraient censées mobiles et entièrement indéterminées de situation, ce qui, pour embrasser algébriquement tous les systèmes de solutions en un seul, exigerait qu'on appliquât le double signe ± à ces constantes, soit ici à K et au rectangle également donné SA.SBv

Problèmes déterminés où les points inconnus dépendent de la rencontre de lieux géométriques.

95. Règles à suivre en général dans la solution des problèmes. — Pour terminer ce que nous avions à dire de particulier sur les difficultés inhérentes à l'interprétation, à l'application de la règle des signes aux solutions algébriques des diverses questions de la Géométrie, il ne nous reste*plus qu'à nous occuper de celles de ces questions où les distances cherchées sont tout à la fois inconnues de grandeur et de direction. Après tout ce que nous venons de dire des problèmes indéterminés, nous n'éprouverons aucune peine à résoudre les difficultés qui pourraient se présenter.

En effet, le but qu'il s'agit d'atteindre dans toute question géométrique est en définitive, la détermination d'un certain point de la figure dont la position est actuellement Inconnue, mais dont la dépendance avec les autres objets de cette figure est définie par des relations métriques ou descriptives explicitement énoncées. Or, cette détermination exige que le point cherché se trouve, soit à l'intersection de deux lignes connues ou pouvant être considérées comme telles, quand tous les objets de la figure sont situés clans un même plan; soit à l'intersection de trois surfaces données ou à la rencontre

afa III- CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

d'une ligne et d'une surface données quand les objets de la figure sont situés d'une manière quelconque dans l'espace.

C'est donc à la recherche de ces systèmes de lignes ou de surfaces que se réduit finalement toute espèce de problèmes déterminés. Fort souvent, l'une de ces lignes ou surfaces est donnée par les conditions mêmes du problème, comme il arrive, par exemple, quand on demande sur une circonférence de cercle un point qui remplisse une certaine condition ; alors, en effet, on n'a plus qu'à s'occuper de la recherche d'une autre ligne qui contienne simultanément ce point. Or cette ligne doit être telle, que chacun de ses points jouisse, en particulier, de la propriété même qui appartient à celui-ci, d'après l'énoncé du problème.

96. Si la propriété dont il s'agit est purement métrique ou algébrique, il pourra se présenter les mêmes difficultés que celles déjà reconnues et étudiées dans ce qui précède, relativement au nombre des systèmes de lignes ou de surfaces qui remplissent réellement les conditions énoncées. Dans ces circonstances, on résoudra toujours les difficultés en ayant soin de distinguer les divers systèmes de solutions et de ne choisir que celui ou ceux qui remplissent strictement les conditions de l'énoncé.

Si, au Heu de connaître à priori l'une des lignes ou des surfaces qui renferment le point cherché, on connaissait simplement la relation ou la propriété qui appartient individuellement à chacun de ses points générateurs, il faudrait prendre les mêmes précautions que dans les exemples très-simples qui précèdent. Quand deux lignes sont ainsi définies par les propriétés métriques qui les caractérisent, leurs intersections communes sont nécessairement déterminées aussi de situation ; mais, pour l'être implicitement, elles ne le sont pas toujours d'une manière explicite et propre, par exemple, à faire trouver au besoin tout ce qui leur appartient

Les procédés au moyen desquels on peut ainsi faire ressortir de deux ou plusieurs relations métriques données tout ce qui doit appartenir à leur système, constituent un art très-difficile et qui demande une sagacité toute particulière de la part des géomètres. Les transformations algébriques y sont d'une né-

cessité souvent presque indispensable, mais on ne doit pas s'y abandonner sans réserve, et croire qu'elles puissent toujours se suffire à elles-mêmes; il convient de ne s'en servir que comme d'utiles auxiliaires, non pour diriger, mais pour abréger le raisonnement.

97. Au surplus, dès l'instant où les équations algébriques que l'on a posées définissent véritablement le système examiné, les résultats qui s'en déduisent par des transformations licites conviennent parfaitement aussi à ce système, elles ne disent ni plus ni moins que les équations primitives, et si ces dernières sont circonscrites dans les seules conditions de l'énoncé verbal du problème, les transformées et les résultats le sont aussi et ne donnent rien qui lui soit étranger. Le; difficultés qu'on éprouve souvent à reporter ces résultats sur la figure proposée et à les interpréter géométriquement ne proviennent nullement du fait même de l'Analyse algébrique, mais bien de la manière restreinte dont on peut envisager la question au point de vue géométrique, et souvent aussi de la facilité avec laquelle il arrive de confondre le système réellement supposé dans la mise en équation, avec les systèmes plus ou moins analogues, quoique non dérivés d'un même mode de génération continue, ce qui fait qu'on applique à l'un d'eux ce qui n'appartient qu'à l'autre, et inversement.

Cette confusion n'a plus lieu quand on a l'attention de circonscrire la mise en équation dans les véritables limites de l'énoncé, et réciproquement quand il s'agira d'interpréter, de découvrir la signification du résultat final, on devra remonter aux équations primitives dont il émane algébriquement, pour reconnaître à posteriori la figure à laquelle il correspond effectivement, et la distinguer de toutes ses analogues, qui en sont séparables et distinctes au point de vue du principe de continuité et de la loi des signes de position.

98. Sur la mise en équation. — Ce qu'il y a de plus difficile dans la solution analytique d'un problème, c'est donc la mise en équation ; si cette mise en équation a été bien faite, si le système d'équations obtenu appartient réellement à l'énoncé verbal, et ne dit ni plus ni moins que cet énoncç,

264 IUe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

les résultais seront immédiatement applicables, sans i*esirio

lion, à la question proposée.

11 faut avoir bien soin, dans tous les cas, de ne pas combiner arbitrairement et inutilement les données ordinaires de la Géométrie avec celles de l'Analyse algébrique, afin de pouvoir prononcer sur l'état véritable de la figure d'après la connaissance des racines obtenues; surtout il faut être sûr que le système de ces racines est complet à l'égard des parties constitutives de cette figure. En effet, s'il reste encore quelque chose d'indéterminé dans le système des constructions, il n'est plus permis de se prononcer sur l'état véritable de ce système, soit géométriquement, soit algébriquement, sans risquer de tomber dans des conséquences en contradiction plus ou moins manifeste avec les idées admises et ce qui se passe effectivement dans*la figure dont on s'occupe.

Offrons-en divers exemples très-simples de Géométrie.

99. 1" Exemple. — a abc (fig. 140) est un triangle dont les trois

9 côtés sont donnés : on demande quel est le pied x de la perpendicu- » laire ex, abaissée de son sommet c sur la base ab, »

Un théorème bien connu de la Géométrie élémentaire donne, entre autres,

, ac — ab — bc

bx = - ;

%ab

celte expression étant toujours réelle, on pourrait en conclure, au premier aspect, que l'état de la Ggure est aussi toujours réel ; notion contraire aux faits connus de cette Géométrie, qui nous apprennent que, si ab>ac-\-cb, le triangle est inconstructible. Par contre, s'il s'agissait de prononcer sur l'existence géométrique du point .r, on serait conduit à affirmer que ce point cesse d'exister quand le triangle ou le sommet c

devient impossible. Mais ces contradictions disparaissent quand on joint è la première relation, celle-ci

bc ~ a'H- bx ;

car alors on en déduit la valeur de ex nécessaire pour déterminer entièrement la position du sommet c, et par conséquent la forme du triangle. Aussi apprend-on que, pour le cas de ab>ac-\- cb, la longueur sinon la position ou direction indéfinie de cette perpendiculaire est imaginaire.

Néanmoins il se présente ici une difficulté, car l'Analyse algébrique donne deux valeurs égales et de signes contraires pour cr, tandis que géométriquement il semble qu'il n'en existe qu'une seule; or cette difficulté disparaît à son tour, si l'on observe que, dès l'instant où l'on recherche la valeur algébrique de la perpendiculaire ex inconnue de grandeur et de position, l'Algèbre, par sa nature intime, donne nécessairement, à la fois, et la distance et le signe de position ou de corrélation.

Si, au contraire, on suppose la situation donnée, c'est n'admettre de racines que celles qui sont positives et absolues. Donc si, dans la question précédente, on suppose la hauteur du triangle abc inconnue à la fois de grandeur et de situation, c'est admettre implicitement que ce triangle soit seulement donné par la grandeur de ses côtés et la position de nb, et il paraît bien visible qu'à une même base ab correspondent effectivement deux triangles abc, abcx dont les sommets c et cx sont placés d'une manière symétrique par rapport à cette base.

100. Remarques. — Pareilles choses arrivent dans les diverses questions où les données ne suffisent pas pour construire géométriquement la position du système, ainsi que dans toutes celles où les relations métriques, les équations ne sont pas en nombre suffisant pour déterminer les différentes parties qu'on regarde comme inconnues. Quand ces inconnues et les données se mesurent toutes sur une droite fixe à partir de points également fixes ou donnés, les mêmes difficultés d'interprétation des résultats algébriques ne sauraient avoir lieu, comme on l'a vu, du moins quant aux signes de position des distances inconnues.

Dans toute autre circonstance, il sera impossible de rien prononcer sur la position des points correspondants, et, je le répète, ce que l'on pourra seulement affirmer, c'est que les points inconnus se trouvent nécessairement sur certaines lignes algébriquement ou géométriquement définies par les conditions et les solutions du problème.

dûl. IIe Exemple. — a Que l'on se donne, en grandeur et en direction » indéfinie, les deux petits côtés sa et ab d'un triangle sab rectangle en a ■ (fg- '40 et qu'on demande la grandeur et la position de l'hypoté- » nuse sb. » $

On trouve pour résultat algébrique

sb — -±z y sa -t-ba ,

expression toujours réelle et qui indique, si d'ailleurs on ne veut pas combiner directement les données de la Géométrie avec celles de l'Analyse des coordonnées ordinaires, que le sommet b, considéré comme in* connu de position sur la direction indéfinie de la droite sb, elle-même indéterminée de position autour du point fixe sy se trouve quelque part

Fïg. 1 4 1 . •

I si-

bt\ i /'B

sur une circonférence de cercle décrite de ce point s comme centre, avec

un rayon y sa 4- ba . L'Analyse algébrique indique en même temps que, pour obtenir deux. points b' et b\ de cette circonférence appartenant à une direction quelconque sb' de la droite indéfinie qui les renferme, il faut porter la valeur du radical à gauche et à droite de l'origine fixe s.

402. Si les côtés sa et ab étaient donnés à priori en grandeur et en direction, le triangle abs serait par là même connu de position dans toutes ses parties, et il ne resterait qu'à calculer la grandeur absolue de son hypoténuse , sans égard au double signe du radical ; . mais il en est tout autrement au double point de vue géométrique et algorithmique de la génération continue de cette grandeur, qui peut avoir lieu de s vers 6, ou inversement de b vers s (4 et 5). A fortiori en est- il ainsi dans les conditions de l'énoncé ci-dessus, où l'origine s de l'hypoténuse, la position du côté sa et la direction indéfinie du côté ab sont seules données à priori, mais non le sens ou le signe algorithmique. De plus, comme l'hypoténuse sb est elle-même indéterminée de sens et de direction au-

tour du point s, la formule algébrique ci-dessus indique uniquement les rayons opposés de l'une quelconque des diamétrales d'un cercle.

Donc aussi les intersections b et p de la circonférence dont il s'agit avec la direction indéfinie du côté ab, font connaître les positions uniques du sommet b du triangle cherché.

103. Remarques diverses. — Le nombre des solutions ainsi obtenues est précisément égal à celui des racines algébriques, mais il en serait tout autrement si, par exemple, le sommet b devait se trouver sur une section conique donnée, auquel cas les intersections de la circonférence des points b avec cette section conique pourraient être quadruples; mais

alors même l'équation sb =sa -\-ba exprimerait une condition étrangère au système de cette conique.

D'autre part, on peut se demander pour le cas actuel où cette même relation exprime une véritable propriété de situation du triangle rectangle sab, si les deux uniques solutions sb et s$ [fg. i4i) correspondent respectivement aux signes -+- et — du radical algébrique. Or cela ne saurait faire l'objet d'aucun doute d'après les considérations géométriques exposées au n«" 6, 44, 45 (*).

Pour expliquer dans des cas semblables le double signe d'une distance telle que sb, M. Gaudin (ouvrage déjà cité p. 57) admet que la valeur positive appartenant réellement à la ligne donnée ab, la valeur négative doit correspondre à une droite indéfinie, symétrique à ab, par rapport au point fixe s. Sans insister sur cette manière incomplète d'envisager la

question, je ferai seulement remarquer qu'ici, à la vérité, la relation

sb =as +ba étant invariable dans ses signes, quelle que soit la position

relative des côtés du triangle inconnu, on peut bien admettre que les triangles qui lui sont symétriquement opposés par le sommet s et par la base ab, puissent remplir la condition, mais alors aussi ce serait admettre que les racines obtenues appartiennent à un triangle rectangle et à des données ayant une situation différente de celles qu'on leur a primitivement supposées ; ce qui me parait être une fausse interprétation du résultat de l'Analyse, algébrique dans les hypothèses actuelles, et même dans celles du problème que s'est proposé M. Gaudin (art. 36), qui, au lieu de la droite indéfinie bap de la^. 141, considère une circonférence de cercle quelconque passant par le point donné .v, et ne s'occupe nullement d'ailleurs de l'opposition de signes des longueurs sb et s p.

(*) Je supprime ici la longue discussion par laquelle je démontrais la vérité de cette assertion, et me borne à renvoyer aux articles de ce Cahier qui démontrent clairement que, dans l'hypothèse où la rotation du rayon positif ift s'opère de droite à gauche à partir de la direction sa, sji doit être considéré comme négatif ou inverse.

Du reste, il est incontestable en soi que l'équation algébrique

sb = as -\-ba , â

invariable dans les signes de position des distances qui y entrent, doit, par cela même, correspondre à une infinité de situations et de questions relatives aux triangles rectangles.

104. IIP Exemple. — Si Ton demande de calculer le rayon R du cercle circonscrit à un triangle abc quelconque (fig. i4a), dont a, b, c

sont les côtés, on trouve, en résolvant algébriquement, une équation bien connue :

\/*a*b7-h2.a1c1'\-*b1c2--(a4-+'bi-\-c*)

formule invariable où les côtés peuvent aussi changer de signe en prenant des directions opposées au sens primitivement adopté. Cependant, que signifie le signe négatif fourni par le calcul algébrique?

Nous répondrons qu'adopter le double signe du radical, c'est admettre par là même implicitement que le rayon est inconnu tout à la fois de grandeur et de situation, car autrement le signe négatif n'aurait plu3 de sens, géométriquement parlant. Supposons donc que le rayon cherché soit celui ax (Jfg. 142) dont l'extrémité est au sommet connu a, et qu'on demande la position du centre x; la direction de ax étant entièrement indéterminée par hypothèse, la double valeur trouvée pour R indique le couple de rayons opposés relatifs à Tune quelconque de ces directions, et détermine par conséquent un cercle qui passant par .r a le sommet fixe a pour centre.

Mais cela ne suffit nullement pour déterminer le point inconnu x de position, et il est nécessaire de recourir à un autre sommet c du triangle abc, supposé fixe comme le premier a, ce qui laisse seulement le troisième sommet b arbitraire de position, et place le centre inconnu x à l'intersection commune des cercles décrits de a et c comme centres avec un

rayon égal à la valeur absolue trouvée pour R. De cette façon, on obtient deux points x, xt symétriques par rapport au côté ac et remplissant les conditions prescrites; ce qui doit être, puisque Ton n'a point encore fait concourir à la détermination du point x le sommet b du triangle, dont la situation reste entièrement arbitraire en conservant toutes les autres données, et qui peut ainsi occuper la position bn elle-même symétrique par rapport au côté ac.

105. Remarques et interprétations diverses. — En général, dès l'instant où l'on cherche analytiquement dans une figure une distance quelconque inconnue, on en recherche par là même à la fois la grandeur et la position. Alors il est naturel d'obtenir deux ou plusieurs valeurs de signes algébriques distincts, réelles ou imaginaires, quand cette distance correspond à un point d'une certaine ligne assignée ou non de position, puisque dans celte circonstance, la direction en est entièrement indéterminée et arbitraire, la droite prise originairement pour représenter l'inconnue pouvant prendre des routes distinctes et opposées même, pour arriver à sa véritable position. Mais, dans tous les cas, il est exact de regarder l'expression algébrique qui la donne comme indiquant une courbe (ici le gercle), qui renferme le point dont, jusque-là, la position est indéterminée.

Au surplus, toutes les difficultés relatives à l'interprétation des signes algébriques, disparaissent dès l'instant où l'on se reporte aux hypothèses sur lesquelles se fondent les données et les équations primitives, ce dont les exercices suivants montrent divers exemples plus ou moins analogues au précédent relatif au cercle circonscrit à un triangle donné : ici, en effet, chaque côté offre une double solution dont. la première seule est à conserver, l'autre appartenant à un triangle distinct du proposé par le signe et la position des deux derniers côtés ; signe et position dont la valeur algébrique de R ne saurait tenir compte, puisqu'elle correspond à tous les triangles possibles construits avec les mêmes côtés. Voici d'ailleurs une autre manière d'interpréter cette double solution, qui ne se présente pas dans la détermination linéaire et directe du centre du cercle circonscrit, due aux Anciens.

106. Soit abc (fig. i43) le triangle dont il s'agit, x\e centre inconnu du cercle circonscrit; du sommet b soit abaissée la perpendiculaire 6/j sur

27o IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

la base ac, et du centre x soit mené le rayon ax et la perpendiculaire xo au côté ab\ ce côté sera divisé en deux parties égales en o, et, de plus,

Fig. i/|3.

les triangles rectangles aox et fl/*r seront semblables, puisque l'angle au centre x a même mesure que l'angle en r; on aura donc

ax=J{;ao= -ab::bc:bp: d'où R = — i — ; a r %bp

d'ailleurs on a aussi, comme on sait,

—» %ab .ac + iab ,bc -+-a<?r .kc — ab — ac — bc

bp = ^

Telles sont les équations directes de la question proposée : Tune et l'autre de ces équations exprime des propriétés de situation du système, et l'on voit que le nombre des inconnues est alors en réalité de deux, à savoir : la perpendiculaire bp et le rayon que Ton cherche.

Ici il n'est nullement difficile d'expliquer l'origine de la valeur négative du rayon inconnu ax ou R , elle provient évidemment de ce que la perpendiculaire bp est susceptible du double signe db dans la seconde des équations ci-dessus, quand on y regarde cette perpendiculaire elle-même comme une quantité inconnue. Or, admettre ce double signe, c'est par là aussi admettre que l'on considère à la fois et le triangle abc et le triangle abxc qui lui est égal et symétrique (*).

(*) Les diverses remarques et réflexions qui accompagnaient les exemples IIe et IIIe des nOB 102 et 104, étant d'une rédaction obscure et par trop laconique, j'ai dû en développer, sinon modifier, la pensée, comme je l'ai fait dans d'autres occasions déjà citées, mais sans rien toucher aux différents modes de solution et d'interprétation qui constituent chaque exercice; ces modes témoignent d'ailleurs que, à l'époque de 18160U 1817, mes idées n'étaient point entièrement fixées au sujet de l'interprétation des signes algébriques dans la solution des problèmes déterminés de la Géométrie.

Examen critique de la solution connue de quelques problèmes déterminés de Géométrie élémentaire*

107. Pour terminer le sujet qui nous occupe, nous allons examiner successivement diverses questions présentées par M. Carnot, dans sa Géométrie de position^ comme autant d'exemples propres à combattre les idées ordinairement admises dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie, questions dont quelques-unes avaient déjà occupé d'Alembert et ont été reproduites dans le Mémoire cité de M* Gaudin.

408, Ier Pboblème. — a D'un point s ( fig. 144) pris en dehors d'un cercle » donné (c), on propose de mener une droite sxy telle, que la portion xy » interceptée dans le cercle soit d'une longueur donnée xy = X\ »

Traçons dans le cercle (c), Jig. i44, une sécante arbitraire sab\ les points a et b pourront être censés donnés, ainsi que les segments .w, sbt

et pour déterminer la sécante sxy, Ton aura par les conditions géométriques du problème,

xy = sy — sx = Ài sx.sy = sa.sb;

en combinant entre elles algébriquement ces équations où la constante mobile k pourrait être affectée à l'avance du double signe ±, aûn d'obtenir le système entier des solutions, on en déduit le système particulier des valeurs suivantes :

sx = /• zt - i/X-2H-4 sa.sb , sr = -+- - A ±: - i/Xa -h âsa.sb.

dans lesquelles les signes supérieurs se correspondent respectivement.

La direction de la droite qui renferme les points xety étant indéterminée, les racines obtenues expriment, comme on Ta vu (n° 94 et suiv.), que les points inconnus x et y appartiennent à un couple de circonférences

a7a IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

concentriques à .v, dont les rencontres avec (c) donneront tout à la fois la position et la grandeur des segments cherchés, ici réellement au nombre de quatre (94), et non de deux , comme le suppose M. Carnot, qui, après avoir obtenu les deux valeurs de sx opposées de signes par le radical, admet à priori que la valeur négative ne peut répondre qu'à la seconde distance sy\ mais c'est là une erreur évidente, puisque rien n'empêche que cette racine ne soit représentée par syl} longueur qui, en effet, doit être censée négative (n° 103) à l'égard de la première.

Ceci paraît d'autant plus rationnel que l'Analyse algébrique nous avertit que les deux points x et y, situés sur la même sécante du cercle, ne sont nullement donnés par la même équation.

En effet, si l'on admet que la racine positive sx= /• -h - v/A*-+- 4 sa.sb

représente véritablement sx pour la position actuellement indiquée sur la fig. 144, on trouvera que la valeur correspondante de sy est

sy = - k -+- - y^2 "*■ bsa.sb ,

c'est-à-dire essentiellement positive comme celle de sx\ ce qui, d'ailleurs, résulte immédiatement de l'équation de condition

sy = sx -f- A\

Je conclus de là que l'objection tirée de cet exemple, contre la règle ordinaire des signes pour les distances mesurées sur une même droite, n'est nullement fondée en principe, et qu'il est impossible, par conséquent, d'admettre avec M. Carnot que cette règle soit ici en défaut (*).

(*) On n'a pas rappelé, à propos du problème 108, le mode imparfait de solution proposé par M. Gaudin, aux p. 5"] à 6i de son ouvrage, sans doute parce qu'il a été suffisamment combattu dans le n° 103; mais je ne saurais passer sous silence une remarque qui ne manque pas d'importance à cause de sa généralité, mais n'aurait point été à sa véritable place, peut-être, dans les articles précédents: c'est que le problème dont il s'agit ici, appartient à une classe étendue de questions intéressantes, relatives à l'inscription d'une longueur donnée ou constante dans une courbe tracée sur un plan ou définie par ses propriétés géométriques, lorsque d'ailleurs la direction indéfinie de cette longueur, véritable corde, doit satisfaire à une autre condition, comme de passer par un point connu ou d'envelopper une seconde courbe donnée. Cette question, dont la solution algébrique offre des difficultés toutes particulières, peut se résoudre d'une manière purement graphique par le tracé d'une troisième courbe, dont le degré généralement très-élevé (voir VIe Cah., art. II), peut se déterminer à priori, a l'aide du principe de géométrie déjà mis en usage aux p. 6o et 148 de cet ouvrage, et qui, dans le cas très-élémentaire où la seconde courbe, l'enveloppe fixe des sécantes,

109. Remarques diverses. — C'est, au surplus, le lieu de remarquer de noruveau combien on a tort, en général, de regarder les solutions algébriques des problèmes de ce genre comme la représentation effective des distances a déterminer, et de rappeler que ces racines concernent seulement le cas où les longueurs inconnues sont rangées sur une droite de position donnée et non variable à volonté autour d'un point tel que s; car les conditions analytiquement exprimées ci-dessus ne suffisent pas, à elles seules, pour indiquer que les points x'eiy appartiennent à la circonférence du cercle (c).

D'autre part, d'après la forme trouvée pour les racines algébriques du problème qui vient de nous occuper, les distances sx et sy demeureraient réelles quelle que fût la grandeur de /r, et Ton serait ainsi facilement tenté d'en conclure que les points correspondants sont toujours possibles; ce qui est

se réduirait à un point, appartient à la classe de celles que nous avons mentionnées dans la note do n° 88.

Mais, ce que nous devons ici particulièrement faire observer, c'est que ces dernières lignes courbes, à plusieurs branches continues et rentrantes sur ellesmêmes, sont susceptibles de se décomposer, de se séparer dans certains cas, en plusieurs lignes distinctes de degrés inférieurs, comme le problème ci-dessus en offre un exemple d'autant plus remarquable, que si, au cercle dans lequel il s'agit d'inscrire une corde de longueur donnée, on substitue l'angle de deux droites indéfinies, ou une section conique quelconque, le même partage, la même réduction do degré ne s'opèrent plus.

Enfin, n'est-il pas remarquable, a un autre point de vue, que l'hyperbole considérée par Caruot (p. 12a de la Géométrie de position) comme étant en corrélation complexe ou imaginaire par rapport à l'ellipse décrite sur les mêmes axes principaux, soit néanmoins susceptible d'un même mode continu et géométrique de généiation? D'une part, ces courbes peuvent se changer Tune dans l'autre par le déplacement continu d'un plan sécant dans le cône du second degré; de l'autre, elles peuvent résulter des procédés graphiques uniformes indiqués aux p. 48 à 5q du Ier volume de ces Applications, procédés qui ne supposent rien d'imaginaire ou de complexe dans le sens algébrique attaché à ces mots par Carnot {voir p. 226, n° 62, de ce Cahier); ce qui arrive aussi dans cette définition analogue, commune à l'ellipse et à l'hyperbole, d'être le Heu des rencontres du rayon prolongé d'un cercle donné, avec la perpendiculaire indéfinie élevée sur le milieu de la droite qui joint l'extrémité circulante du rayon a un. point fixe quelconque situé dans le plan du cercle; la courbe étant une ellipse, ou une hxperbole, selon que la distance de ce point fixe, promier /or ?r, au centre du cercle donné, second fojrer, est inférieure ou supérieure au rayon de ce cercle, mais se réduisant à un autre cercle quand cette distance devient nulle ou égale au rayon du premier, etc.