W = *B AK "-AB

formules dont la première, seule, a été considérée par M. Carnot, et permet de comparer directement ses idées aux nôtres.

Ne pouvant expliquer d'une manière conforme à la règle ordinaire des signes la valeur négative de BK, et pensant d'ailleurs être parti d'une mise en équation exacte du problème proposé, ce géomètre en conclut que la valeur négative dont il s'agit est purement insignifiante ; mais je ne veux nullement insister ici sur les objections tirées du double signe du radical qui, selon notre manière de voir (91 à 94), tient à l'infinité de rayons BK diamétralement opposés dans le cercle dont la circonférence doit contenir le point K en même temps que la proposée. Je me borne à faire remarquer que cette dernière est incomplètement définie par l'angle mobile et constant X , puisque cet angle introduit dans la solution une donnée étrangère à celles do l'énoncé primitif du problème, tandis que l'autre constante «, étant censée entièrement indépendante de tout signe de position, amène une confusion inévitable dans l'interprétation géométrique des résultats.

; UilER. - SUR LA LOI DES SIGNES

v . . . « .'<- .V. Carnot. — Après avoir rejeté la valeur néga-

w - ».«••*■ iw^»» fiante, et remarqué que le problème proposé a

. . *tv Montions distinctes et positives, correspondant à l'angle

v ,» ,s,^o ABK et à son supplément en K' sur Tare opposé de la

. , %u*\ v\» qui introduit le terme ± 2acosX- sous le radical de BK,

»t .v*. j's jt\ \eut ensuite prouver sur le même exemple « qu'encore

»x.. ;,» m pioblème soit susceptible de deux solutions algébriques cf-

vVlUN u tu> s ensuit nullement que l'équation finale doive avoir deux

,»x i«»!s uiai* qu'on peut trouver séparément chacune d'elles par uno

v^ui! on du premier degré au moyen d'un choix convenable de I'in-

wMiiuo; » opinion qui s'accorde d'ailleurs avec une remarque de

».-.» uHrtiqtte universelle de Newton.

Kn conséquence, l'auteur prend pour nouvelle inconnue le rapport de la perpendiculaire KD, abaissée du point K sur la base donnée AB, au Moment AD formé par le pied de cette perpendiculaire sur la même base. Nommant z ce rapport inconnu, les conditions du problème donnent, eu continuant à substituer la considération de l'angle en K à celle du tvivlo AKB,

AD AK sin.ABK {^ 0 . ^

s=î7n' a=ûï? = - — 5TF' ABR = 2oo°— A— BAK. KD BK sin.BAR

Ces équations, qui appartiennent à la partie supérieure de la circonférence AKB, donnent à leur tour,

rtsin.BAK = 8in.ABK=sin(BAK-f-X) = sin.BAK.cosX 4-cos.BAK.ginX,

ou, en divisant par sinBAK, et observant que cotBAK = z,

n — cosX-

a — cosX- -h zsin X-, z —

sinX-

Pour obtenir la solution relative à la partie inférieure du cercle toujours censé donné à priori, M. Carnot observe que, dans cette partie située au-dessous de AB, l'angle AK'B devenant le supplément de l'angle en K, on doit mettre 2000 — X- à la place de X, dans la formule ci-dessus, puisque d'ailleurs les raisonnements resteraient les mêmes; il obtient ainsi pour la seconde solution

fl-l-cosX-

sinX- '

d'où il résulte que les véritables solutions du problème sont données par cette formule unique

a ± cos X-

sinX

111. Remarque et rappel des principes. — Tout ceci prouve, non-seulement que les transformations algébriques n'ont pas introduit de racines étrangères à celles du problème, mais aussi que ces transformations n'ont point éliminé de véritables racines du résultat final des équations.

Si les relations qui définissent la question algébriquement élaient la traduction fidèle des conditions du problème, tel qu'il a été verbalement énoncé et entendu, elles donneraient strictement les solutions qui conviennent à l'énoncé; mais comme, fort souvent, pour faciliter la mise en équation on change les conditions et la nature des données, il arrive que les équations de départ, ou n'expriment pas toutes les conditions du problème, ou en expriment de superflues; par là nécessairement on doit parvenir à des résultats algébriques qui tantôt donnent des solutions étrangères à l'énoncé de ce problème, et tantôt en donnent seulement une partie. Or, il en arrive presque toujours ainsi lorsque certaines données, sans être variables de grandeur, le sont néanmoins de signe et de position. Les solutions se séparent alors, non parle fait des transformations algébriques, mais par les hypothèses de la mise en équation, dans laquelle on suppose les constantes complètement invariables de signe. Les mêmes circonstances ne se reproduisent pas :

i° Si l'on a soin de ne rien changer soit aux conditions, soit aux données de l'énoncé verbal, c'est-à-dire si l'on évite de substituer au système de cet énoncé un autre système qui, bien qu'identique au premier aspect, en diffère néanmoins par quelque côté inaperçu ou sous quelque rapport distinct en réalité et qui ne permette pas aux équations fondamentales de demeurer identiques pour toutes les situations possibles des parties de la figure ;

20 Si, après avoir exprimé strictement les conditions de l'énoncé pour la position actuellement supposée aux lignes inconnues de la figure, on a soin d'attribuer aux constantes mobiles, celles qui représentent les grandeurs variables de position, le double signe ± quand ces grandeurs peuvent devenir inverses pour dés situations connues ou inconnues du système, et changer par conséquent de signe implicitement en changeant par cela même l'hypothèse première de la mise en équation;

3° Si, dans l'interprétation des résultats, on a soin de ne pas confondre à son tour la figure, le système cherché et obtenu, avec d'autres systèmes d'apparence identique bien que distincts au fond : ce qui exige que cette figure, ce système soit en corrélation directe avec celui qu'on a hypothétiquement pris pour terme de comparaison au point de départ ou lors de la mise en équation ; c'est-à-dire si Ton se rappelle que l'un de ces deux systèmes doit résulter de l'autre par un mouvement progressif et continu de ses parties variables, mouvement qui n'est point arbitraire, mais déterminé par la liaison existant entre les divers éléments de la figure.

H 2. Réfutation des objections tirées des résultats précédents. — Pour appliquer ces principes à la question posée en dernier lieu par M. Carnot, j'observe qu'en tous les points de la circonférence de cercle ABK [fig. i45), censée donnée à priori, on a effectivement

ang AKB = /constant,

pourvu qu'on ne confonde pas cet angle avec son supplément quand le point K vient à passer au-dessous de AB en K', et c'est à quoi Ton arrive quand on suit exactement le mouvement de l'angle dont il s'agit. Car il est bien évident que le point K passant en K', l'angle AKB ou AKG devient AK'G' et non AK'B qui en est le supplément.

D'un autre côté, le triangle ABK' conservera, d'après nos principes (24), la relation fondamentale

ABK' + BAK7-hAk'B = aoo0 ou ABKVMK^-X = o.

Reste donc à s'occuper de la condition dernière et fondamentale de l'énoncé, exprimée par l'équation

sinABK AK

sinBAK^BK"""'

qui est étrangère à la position à cause de la constante a, dont le signe et la grandeur sont supposés invariables, tandis qu'en réalité ce signe ne saurait ici être indépendant de la position.

En effet, lorsque K passe en K' (Jig. i45) en traversant B, BK et l'angle opposé BAK deviennent tous deux négatifs en passant par zéro, tandis que AK et son angle opposé ABK sont restés directs, ce qui fait que le rapport

ci -dessus ^ devrait pouvoir changer de signe pour satisfaire au prin-

ripe de continuité.

Si donc on persiste à regarder a comme un nombre absolu et invariable de signe, on devra se restreindre au système de solution qui correspond à la partie supérieure AKB du cercle, seule en concordance géométrique avec l'hypothèse. Si, au contraire, on suppose a négatif, on devra limiter la question à la portion de circonférence inférieure à AB. En conséquence, pour obtenir simultanément tous les systèmes ou triangles qui satisfont aux conditions multiples de renoncé, il faudra donner à la constante a le double signe ± dans la relation ci-dessus, qui deviendra

ainsi

sin ÂBK = ± «sin BAK.

En la combinant avec les précédentes, on en tire directement

17ïr = COtBAK OU Z — r— ; >

KD sin*

formule qui fournit les deux solutions vraies de la question proposée dans les hypothèses présentes où il s'agit d'un cercle tout tracé, et non simplement donné par la corde AB et l'angle /•, comme le veut M. Carnot qui, confondant ces deux genres distincts de questions, oublie le cercle décrit sous le même angle, symétriquement par rapport à la base AB du triangle ABK (fig. 1 45).

La double valeur de z ci-dessus, ainsi que celle donnée par la formule

■ ±n — cosX

sin A

qui doit lui être associée, diffèrent essentiellement, comme on le voit, de

la formule

adbco&A

sin/-

obtenue par M. Carnot : celle-ci non- seulement est incomplète au point de vue analytique, c'est-à-dire géométrico-algébrique, mais encore ne peut être d'une exactitude rigoureuse puisque, dans l'un ou l'autre des doux cercles symétriques mentionnés, le rapport de BK à AK, quoique variable entre zéro et l'infini, ne saurait par lui-môme changer de signe, tandis que le rapport z de AD à KD en change nécessairement avec KD, quand le sommet K du triangle inconnu passe au-dessous du côté AB.

Supposant, en effet, que l'angle k = 1000, ce qui, par là môme, suppose sin/- = 1, cosX- = o, la formule de M. Carnot donne simplement z ±= a, et assigne une position unique au triangle cherché, ce qui véritablement est inadmissible.

113. Réflexions générales. — Cet exemple , comme tant d'autres, prouve que les racines sont séparables, non par le

*8o HT CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

fait même des opérations algébriques, comme le répète si souvent M. Carnot, mais par la nature géométrique du problème. A la vérité, un choix convenable d'inconnues peut faire abaisser le degré de l'équation finale du problème, en rendant cette équation décomposable en facteurs rationnels répondant à des systèmes de solutions ou de figures qui ont quelque chose de distinct sous le rapport de la corrélation géométrique et des signes de position; mais il nous faut le remarquer encore, ce ne sont pas des transformations purement algébriques qui ont ainsi abaissé le degré de la solution obtenue, mais bien la manière plus restreinte dont on a mis le problème en équation, et grâce surtout à ce que les racines relatives aux nouvelles inconnues sont, de leur nature, séparables tant géométriquement, qu'algébriquement. Fort souvent aussi le nombre de ces nouvelles inconnues, quand chacune d'elles en comporte implicitement d'autres qui lui sont intimement conjuguées, est naturellement inférieur à celui des anciennes inconnues; or une telle circonstance qui ne saurait faire diminuer ou augmenter en principe le nombre des solutions effectives dont est susceptible le problème verbalement proposé, n'en abaisse pas moins le degré de l'équation finale.

Ainsi, dans l'exemple qui précède, si au lieu de prendre l'angle BAK pour inconnue, on choisissait (fig. 146) le point T où la tangente en K vient rencontrer la direction de la base ou de la corde donnée AB, on trouverait que le problème ainsi mis en équation est essentiellement du

Fig. 146.

premier degré ; mais cela n'empêche pas que les triangles inconnus ABK, ABK' ne soient au nombre de deux ; car, pour avoir trouvé le point T, l'on n'a pas entièrement résolu la question, et il reste à rechercher les points de contact K et K' qui lui correspondent sur le cercle donné. Afin d'obtenir la solution du problème ainsi présenté, nous observerons que les

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. *8i

triangles AKT et BKT sont semblables comme ayant l'angle en T commun, et les angles BKT et BÂK de même mesure dans le cercle, ce qui donne, en conséquence,

AK:BK::AT:KT, XT = ^.KT = a.KT;

et comme on a, par les propriétés du cercle,

kt'=at.bt,

il en résulte la nouvelle relation

AT

^4- = AT.BT ou AT = rt'.BT, ar

qui donne évidemment la valeur de AT par une équation du premier degré; car on en tire successivement

" AT = a2(AT-AB) et AT= -j^-AB.

D'ailleurs, ce qui fait que le problème s'est ainsi abaissé, c'est que le point T dépend simultanément des points de contact inconnus K et K', c'est-à-dire qu'il appartient à la fois à ces points. Or, il en arrivera évidemment de même toutes les fois qu'on pourra substituer à certains groupes de points inconnus un seul point ou une seule ligne propre à construire ces groupes; mais fort souvent aussi, pour y parvenir, il faudra connaître à l'avance certaines des propriétés géométriques de la figure dont on recherche la position, ainsi que Newton l'a fait dans son Arithmétique universelle,

114. Dernier exemple. — Nous allons terminer ces diverses applications (*) par l'examen d'une célèbre question, d'abord résolue par Newton dans Y Arithmétique universelle, et ensuite par MM. Bossut et Carnot, comme exemple des difficultés qui peuvent s'offrir dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie. On verra, par la discussiqn de cet exemple, que les difficultés tiennent toujours à la manière restreinte dont

(*) Je supprime ici, pour abréger, l'examen de quelques autres problèmes dont la solution et l'interprétation douteuses sont exposées dans la Géométrie de position de Carnot, ou ailleurs.

a8a IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

on envisage géométriquement la question, soit dans l'énoncé, soit dans la mise en équation, soit dans l'interprétation du résultat final, mais jamais à ce que l'Analyse algébrique aurait, par elle-même, introduit des racines fausses ou étrangères parmi les véritables.

Posons la question.

Problème. — « Soit [fîg. 147) un triangle rectangle en A dans lequel » on connaît l'hypoténuse BC et la somme AB-bAC-hADdes deux pe-

Fig. 147.

» tits côtés et de la perpendiculaire AD : on demande la valeur de celte » perpendiculaire. »

Posant BC = «, la somme donnée = b> le côté AC = z ; la perpendiculaire cherchée AD = x, enfin le côté AB = y : les trois équations de condition du problème seront

V et

x 4- y-\- z = b, y2+ z2 — «2, '-= - ou yz =v/-r ;

d'où Ton tire par de simples éliminations

x = a -+- b ± vAfc«* -+- lab — a -h b ± \/in [a 4- b) ,

expression algébrique toujours réelle et qui fournit deux racines nécessairement positives. La première d'entre elles donne pour la |îer|>endiculaire AD une longueur qui surpasse a + b, ce qui parait absurde; mais il ne faut pas en induire que cette racine soit fausse, *comme l'avance, sans examen préalable, M. Carnot, p. 62 de la Géométrie de position.

En effet, le triangle ABC étant à la fois inconnu de grandeur et de position, les valeurs ci-dessus de x ou AD, bien -que satisfaisant pleinement aux équations primitives, no suffisent aucunement pour le construire, et si l'une de ces valeurs implique une absurdité, c'est seulement par la Géométrie que l'on en est averti, car l'Analyse algébrique n'a point encore prononcé sur la valeur des autres indéterminées propres à construire le triangle ABC. Tout ce qu'il est permis de conclure avec certitude des valeurs obtenues, c'est que le sommet A du triangle ABC ou des triangles qui remplissent les conditions géométriques du problèmo, sont sur l'une ou l'autre des parallèles à la base BC, déterminées par les hauteurs algébriquement trouvées.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a83

En conséquence, je recherche la valeur des autres inconnues du problème, celle de y par exemple, et je tire des primitives équations

y=±U^a*±^ay/a* — 4*2-

Pour que ces quatre valeurs de y soient réelles, il faut d'abord que a: soit > 4x7, ou qu'on ait

«> 2jc> %a -f- rib ± 2 ^ia{a -+- b) ;

or, cela ne saurait avoir lieu, évidemment, pour le signe supérieur du radical. L'Analyse apprend donc qu'en effet les triangles relatifs à la première des valeurs de x sont impossibles.

Pour que les deux autres soient réels et constructibles géométriquement, on doit avoir

i \/'i.a\a -+- b ) > a-+-ib.

a>%a-)-îb—z\/%a(a-\-b) ou

et, par conséquent,

7rta-h4^>4^.

On arrive à des conséquences analogues par rapport à l'indéterminée z = AC.

En général, l'ensemble des racines algébriques se partageant ici en plusieurs groupes ou systèmes distincts qui se correspondent, il est indispensable, pour que l'un des groupes représente une figure constructible, que les valeurs dont il se compose soient toutes réelles, ce qui fournit autant de constructions effectives et géométriques du problème qu'il existe de ces groupes réels.

115. Remarque spéciale. — Dans l'exemple qui précède, nous avons bien trouvé deux valeurs réelles pour x ; mais, comme l'une d'elles correspond à une valeur imaginaire de y, elle n'appartient pas à un triangle constructible. C'est ce qu'on aperçoit aussi immédiatement par les principes de la Géométrie élémentaire.

En effet, le triangle ABÇ devant être rectangle en A, le sommet A doit nécessairement aussi se trouver sur la circonférence de cercle décrite sur AB comme diamètre; donc la perpendiculaire AD ou x abaissée de A sur

ce diamètre doit être inférieure à la moitié de AB ou < -a: maislapre-

mière valeur obtenue pour x est au contraire plus grande, donc les triangle» qui lui correspondent sont impossibles à construire.

Quant à la seconde valeur de x, elle correspondra à un triangle véritable si l'on a

a84 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

condition qui est précisément celle déjà trouvée par l'analyse ci-dessus (*).

Principales conséquences des discussions précédentes.

116. On voit, par ces divers exemples et exercices, que, quand on possède toutes les équations algébriques d'un problème, on n'a plus besoin de recourir à la Géométrie pour découvrir si les solutions correspondantes à Tune des racines inconnues appartiennent ou non à une figure constructible; il n'est pas même besoin de recourir aux conditions primitives de l'énoncé, ni aux hypothèses sur lesquelles, le raisonnement a été établi; il suffit de considérer le système complet des racines relatives* aux autres inconnues du problème proposé, et l'analyse apprendra, tout aussi bien que la Géométrie, quelles sont les conditions qui rendent la figure constructible. Ceci suppose pourtant que le problème mis en équation soit identique à celui de l'énoncé verbal, car les racines obtenues ne pouvant satisfaire rigoureusement qu'aux équations primitives ou de départ, il est indispensable que ces équations soient une traduction fidèle des conditions géométriques de l'énoncé verbal.

Dans tous les cas, on aura obtenu les solutions qui appartiennent au problème tel qu'il a été mis en équation, et cela suffit pour justifier les résultats fournis par l'Algèbre; car la mise en équation est une opération indépendante de ses règles ou principes propres; elle appartient aux raisonnements et aux conceptions, purement géométriques.

En particulier, si, en se fondant sur ces conceptions, on

(*) M. Carnot pense que les valeurs de x qui correspondent à un triangle impossible proviennent de ce que les transformations algébriques les ont amalgamées avec les racines effectives du problème; mais, tant qu'on n'aura pas démontré, géométriquement ou non, qu'en effet ces racines sont immédiatement séparables des autres, on aura tort de l'attribuer purement à l'Analyse algébrique. La complication est dans la nature même des choses, et il n'y a pas apparence que la Géométrie puisse l'éviter : on peut s'assurer en effet que le problème tel qu'on l'a posé, est généralement du 4e degré, c'est-à-dire qu'il ne peut s'obtenir que par l'intersection du cercle ABC avec une courbe d'un degré supérieur au premier.

(Note de 1817.)

choisit, pour définir la figure actuellement inconnue de situalion, des propriétés métriques ou descriptives appartenant à la fois à cette figure et à d'autres qui, bien qu'en apparence analogues, en soient réellement distinctes, on ne devra pas être surpris que la résolution algébrique des équations donne des racines qui paraissent étrangères à l'énoncé verbal luimême; la faute en reviendra évidemment aux conceptions géométriques à priori.

C'est encore à de telles conceptions qu'il faut attribuer la disparition de certaines solutions vraies de la question, quand l'énoncé verbal indiquant plusieurs systèmes distincts de figures, on se borne, dans la mise en équation, à ne considérer que l'un de ces systèmes en particulier; car la résolution algébrique ne peut alors évidemment donner que les seules solutions qui se rapportent à ce système.

La première de ces (Jeux circonstances a lieu quand, par méprise ou faute d'un examen préalable suffisamment attentif des termes de l'énoncé, on substitue au système qu'ils indiquent un système non parfaitement identique pour toutes les situations possibles de la figure, c'est-à-dire non assujetti à la même loi géométrique et algébrique des signes de position. L'autre circonstance peut se présenter lorsque l'énoncé verbal ne spécifie pas à l'avance la position que doit avoir le système cherché, et que, dans la mise en équation, on se borne à raisonner sur l'une quelconque de ses positions possibles, mais choisie arbitrairement et sans avoir égard au changement qui peut s'opérer dans les signes des données ou constantes mobiles (65, 77, 90, 109), quand on passe de cette position hypothétique à celle que fait découvrir le résultat des transformations algébriques appliquées aux équations primitives.

Dans la dernière de ces circonstances où la situation des constantes mobiles est vraiment inconnue, on doit leur attribuer, dans la mise en équation du problème, le double signe ±, par suite de l'ignorance où l'on est de celui de ces signes de corrélation qui convient à la position cherchée.

II peut arriver ainsi que l'on soit conduit à considérer, à priori, comme négatives des constantes ou données représentant des aires, des volumes ou toutes autres grandeurs expri-

286 IIIe CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

mées par des fonctions algébriques de certains éléments de la figure, qui, envisagés dans leur état de simplicité linéaire, doivent, en vertu du signe négatif dont il vient d'être parlé, être par là même supposés de véritables imaginaires.

Par suite aussi, comme il n'est nullement d'usage, dans la résolution des problèmes de Géométrie, même par l'Analyse des coordonnées de Descartes, d'avoir égard à ces circonstances et à ces distinctions fondées sur le principe de continuité et la loi des signes de position qui s'y appuie, il arrive souvent qu'on substitue un système de solutions à un autre; qu'on en introduit d'étrangers en laissant échapper les véritables; qu'enfin celle séparabilité des divers systèmes de solutions appartenant à un même énoncé et à une même figure géométrique, conduit à des résultats algébriques sinon en euxmêmes fautifs, du moins incomplets, puisqu'ils ne comprennent pas tous ceux qui peuvent provenir du changement de signes des données mobiles ou constantes indéterminées de position. C'est pour éviter ceci que, dans les équations de condition primitives, on doit attribuer partout le double signe ± à de telles constanies afin d'obtenir le système entier des racines inconnues, algébriques ou géométriques.

117. Quand l'énoncé verbal d'un problème ne renferme que des conditions descriptives ou concernant la direction, le concours réciproque et le tracé géométrique des points, des lignes et des surfaces d'une figure donnée, définie de nature et d'espèce, variable ou non de position, mais absolument indépendante de toute considération de mesure comparée, de toute relation métrique, les observations ci-dessus, relatives aux. signes de position, cessent d'avoir lieu; et, comme il est impossible alors de confondre les objets donnés, fixes ou mobiles, avec d'autres de position et d'espèce distinctes, il est également impossible que renoncé conduise à des solutions multiples décomposables, à moins qu'il ne soit lui-même partageable en plusieurs énoncés distincts, par le changement possible de la disposition des points et des lignes qui définissent la nature géométrique du système.

Ainsi, par exemple, si l'on demande d'inscrire à un cercle donné et décrit un polygone quelconque dont les cotés passent

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a87

par des points aussi donnés, il faut que l'énoncé spécifie, par une figure décrite ou autrement, Tordre dans lequel on veut que les côtés se succèdent à l'égard de ces points respectifs. Autrement, cet énoncé comprendrait plusieurs questions et* solutions distinctes dont la combinaison mutuelle pourrait exiger un examen séparé et spécial.

Conclusions générales et récapitulatives.

118. Je pense avoir donné dans cet écrit la théorie des variations de signes dans les figures géométriques et avoir levé toutes les difficultés, tous les nuages dont cette théorie paraissait encore enveloppée dans les applications, malgré les écrits de l'illustre Carnot et ceux des estimables savants qui s'en sont occupés après lui. On a dû s'apercevoir que la notion que nous y donnons des expressions négatives en Géométrie ne diffère pas, quant au fond, de celle présentée par M. Carnot. Nous admettons avec lui qu'il n'existe pas de quantités négatives absolues et isolées proprement dites ; celles qu'on appelle ainsi n'étant que des formes purement algébriques qui rappellent à la fois la grandeur métrique d'une quantité et la fonction qu'elle doit remplir dans les calculs; qu'à cet égard il en est ainsi encore des quantités algébriques positives; que cependant ces dernières remplissant dans les calculs où elles entrent, le même rôle que les quantités numériques et absolues, rien n'empêche, à la rigueur, de leur conserver le nom de quantités; qu'enfin les expressions négatives isolées peuvent être considérées comme provenant de la différence de deux quantités absolues dont la plus grande a été retranchée de la plus petite, etc. Mais nous n'en conclurons pas, avec ce géomètre philosophe, que les expressions négatives isolées sont insignifiantes ou absurdes : elles ne sont telles, en effet, que quand on prétend les regarder comme des quantités simples et leur appliquer l'idée abstraite de grandeur; car elles représentent à la fois la grandeur et l'état, la fonction opposée et contraire à celle qu'indiquent les expressions algébriques isolées, positives ou additives.

En Géométrie comme en Analyse algébrique où l'on consi-

dère des quantités indéterminées ou variables suivant certaines lois continues, les signes -h et — , qui précèdent une grandeur, peuvent aussi représenter Je sens direct ou inverse, progressif ou rétrograde, par rapport à l'origine d'où cette grandeur se mesure. A la suite et comme résultat d'un calcul algébrique, elles indiquent une concordance ou une opposition de sens d'une grandeur supposée inconnue algébriquement, par rapport au sens qu'on lui avait d'abord attribué dans les formules, équations ou relations quelconques, considérées comme fondamentales au point de départ.

Dans les figures dont tous les éléments sont soumis à la loi de continuité, il existe un constant accord entre la loi des signes de position et celle qu'indiquent les règles algébriques; leur désaccord dans les résultats, s'il n'est pas purement apparent, provient toujours d'erreurs de calcul ou de raisonnement, de fausses hypothèses ou d'une cause de discontinuité quelconque inhérente aux données ou aux relations métriques primitives et conditionnelles.

Dans toutes les relations géométriques de cette espèce qui ne comptent que deux termes, il ne saurait subsister aucun signe algébrique, conformément aux résultats de la logique sévère des Anciens; ces signes se détruisent mutuellement, inévitablement, pour toutes les situations possibles de la figure, comme cela a lieu en particulier dans la théorie des transversales que les géomètres grecs possédaient comme nous, dans ses principaux éléments.

L'antagonisme des signes, dans les relations métriques à deux termes, ne peut subsister qu'au point de vue algébrique des formules de substitution, de corrélation et de transformation, où l'un au moins des termes est supposé inconnu quant aux signes algébriques de position. Cette considération ne saurait, en aucune manière ( n°* 35 et suiv.), autoriser la représentation soi-disant géométrique et symbolique des imaginaires absolues ou isolées.

Quant aux objections de M. Carnot relatives à la résolution algébrique des problèmes de Géométrie, nous les avons suffisamment réfutées dans les dernières parties de ce IIIe Cahier, pour nous dispenser d'insister sur tout ce qui concerne l'interprétation des racines ou solutions algébriques négatives et

positives dont les dernières sont seules admises par ce savant comme entièrement rigoureuses, quoique au fond, ainsi qu'on Ta vu, elles puissent être tout aussi sujettes à difficulté et à contestation dans certains cas.

À la rigueur, nous aurions pu nous dispenser d'entrer dans un examen, une réfutation aussi détaillée des idées de M. Carnot à cet égard, puisqu'elles tiennent moins à des erreurs de principes qu'à des différences dans la manière d'envisager les questions. Mais notre grand concitoyen a pu induire en erreur beaucoup de personnes en cherchant à démontrer que l'Analyse algébrique donne tantôt plus, tantôt moins que ce qu'on lui demande, qu'elle peut même amalgamer des racines tout à fait insignifiantes ou fausses aux racines véritables des questions, qu'enfin on ne pouvait être sûr, en aucun cas, d'avoir obtenu une racine effective d'un problème qu'après des vérifications à posteriori épineuses, qui tendent à ébranler la confiance dans la certitude du résultat des connaissances algébriques ou géométriques ; c'est pourquoi j'ai cru pouvoir, malgré mon peu d'autorité et mon profond respect pour un illustre maître, entreprendre cette longue et pénible réfutation.

Comme on ne reproche que trop souvent à l'Analyse algébrique sa trop grande généralité sous prétexte qu'elle donne plus qu'on ne lui demande, et qu'elle ajoute aux racines que I on cherche d'autres racines qui, n'appartenant pas à la question, sont inutiles, sinon tout à fait absurdes ou insignifiantes, je crois devoir joindre ici quelques réflexions générales à celles en grand nombre, déjà répandues dans le cours de ce Cahier, relativement à la séparabilité des solutions algébriques des problèmes de Géométrie, séparabilité dont la cause principale, comme on l'a vu encore, lient à l'ambiguïté, à l'incertitude des signes de position des constantes mobiles ou indéterminées de situation.

D'abord je dis que, tant que Ton n'aura pas prouvé par des exemples que la Géométrie ordinaire peut, dans les mêmes cas où l'Analyse algébrique donne des systèmes de racines inséparables, séparer et isoler les unes des autres les diverses solutions qui correspondent à ces racines, on aura tort de lui imputer un défaut, si toutefois c'en est un, qu'elle a encom- 11. 19

29o III- CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

mun avec le raisonnement géométrique ordinaire. Or, il est très-certain que la Géométrie ne parvient pas mieux que le calcul algébrique à opérer cet isolement, cette séparation; témoin la résolution de tous les problèmes du second degré par la règle et le compas, où les intersections marchent toujours par couples, sauf les cas mêmes où ce calcul parvient à les séparer; témoin encore les problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l'angle, que les Grecs, pas mieux que les modernes, n'ont pu résoudre qu'à l'aide des courbes dites mécaniques, ou par l'intersection de deux sections coniques, dont Tune au moins diffère de la circonférence du cercle.

Le premier de ces exemples est d'autant plus remarquable, qu'il n'est susceptible que d'une seule et unique solution réelle, les deux autres solutions ou racines étant nécessairement imaginaires, impossibles géométriquement. Cette complication, je le répète, se trouve dans la nature des choses et non dans l'essence de l'Analyse algébrique, qui ne saurait agir différemment sans conduire à des contradictions et à des absurdités manifestes. On aurait tort de penser que l'on puisse un jour parvenir à séparer les diverses racines ou inconnues d'un problème géo- j métrique autrement que par la résolution effective de l'équation algébrique dont elles dépendent nécessairement : cette ré* solution, à cause de l'indétermination absolue du signe implicite ou explicite des expressions radicales, donnera toujours, quoi qu'on fasse, et cela simultanément, toutes les racines de l'équation proposée. %

L'idée attribuée primitivement à l'illustre Leibnitz, et depuis reproduite par d'Alemberl (Encyclopédie, article Situation), d'une Analyse qui donnerait le moyen de faire entrer la situation dans le calcul des problèmes, de sorte que l'on pût séparer par un caractère bien distinctif et par conséquent isoler facilement le système particulier que l'on a dessein de considérer dans l'énoncé de chaque question, cette idée, dis-je, me parait être, pour les raisons qui précèdent, une conception entièrement chimérique et dénuée de fondement , si toutefois on veut entendre par là que l'on parviendrait à séparer, sans changer les inconnues du problème, le système des solutions qui appartiennent à ces inconnues, dans les cas mêmes où ces

solutions seraient considérées en Géométrie comme de leur nature, tout à fait inséparables. Ce serait, en effet, abaisser toutes les équations algébriques a des équations rationnelles du premier degré; chose, comme j'en ai souvent fait la remarque, impossible dès le second degré.

Dans les cas où les solutions d'un problème sont séparables, l'Analyse peut les isoler tout aussi bien que la Géométrie, et, s'il arrive parfois que, dans ce cas même, elle les donne d'une manière simultanée, c'est moins sa propre faute que celle du calculateur, qui a posé la question dans un sens trop général, point assez circonstancié, ou, si l'on veut, de ce que la mise en équation enveloppe à la fois plusieurs questions analogues à celles de l'énoncé ; car les équations primitives doivent en être la traduction rigoureuse et Adèle. Aussi, en examinant attentivement les diverses solutions obtenues, reconnaîtra-t-on que l'Analyse n'a rien donné de trop, et qu'en effet les diverses solutions répondent au problème tel qu'il a été mis en équation. Malgré cela, les racines afférentes à la question étant de leur nature rationnelles et séparables, on pourra toujours parvenir à la seule et unique solution cherchée, non en changeant de données et d'inconnues, ce qui, au fond, revient à changer la nature du problème, mais en posant les équations de départ d'une manière précise et absolue.

Les solutions soi-disant surabondantes ou étrangères qu'on rencontre en traitant les problèmes géométriques par le calcul, ne viennent donc pas de ce qu'elles ont été amalgamées avec les autres par les transformations algébriques, puisqu'elles appartiennent, en toute rigueur, aux divers systèmes que représentent les équations primitives, mais bien de la manière inexacte, vague ou trop générale dont on a mis le problème en équation.

Nous ne disons rien des facteurs introduits par des procédés particuliers d'élimination; car, non-seulement ces facteurs sont inutiles et insignifiants, mais encore ils ne satisfont nullement aux équations de définition, et peuvent toujours être évités en employant un mode convenable d'élimination. On doit donc avoir soin de distinguer ces sortes de facteurs de ceux dont il a été question dans ce qui précède, lesquels font nécessairement partie de l'équation finale du problème: il n'y

agi IH* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Acuité dès l'instant où on a su la mettre en équation d'une manière exacte et suffisamment circonstanciée.

Cet exemple et tant d'autres doivent faire sentir vivement la nécessité qu'il y a de cultiver la Géométrie rationnelle de pair avec l'Analyse algébrique, en les faisant marcher, autant que possible et si je puis m'exprimer ainsi, à la même hauteur; car chacune de ces deux sciences s'accroîtra de tous les progrès qu'on aura pu faire faire à l'autre.

En résumant ce qui précède, on peut conclure que toutes les fois que les équations de départ ou de définition d'un problème auront été bien posées et rigoureusement établies, c'est-à-dire toutes les fois que ces équations ne diront ni plus ni moins que l'énoncé verbal lui-même, on ne devra parvenir et l'on ne parviendra jamais qu'aux solutions uniques et véritables du problème; que si, malgré cela, l'équation finale semble donner des solutions en apparence surabondantes ou inutiles à l'objet particulier qu'on se propose, c'est que ces solutions ne peuvent, de quelque manière qu'on s'y prenne, être séparées de celles qu'on cherche , et qu'alors la Géométrie n'est pas plus capable que l'Analyse d'y parvenir; que les équations finales, à plusieurs racines inséparables, dénotent en conséquence l'impossibilité absolue d'isoler, soit géométriquement, soit analytiquement, la question énoncée de celles qui lui sont étroitement conjuguées, tout comme, par exemple, il est impossible de séparer autrement que par la pensée et en renonçant à toute idée de continuité dans le tracé des lignes, les deux points d'intersection d'une droite et d'une circonférence de cercle situées dans un même plan; qu'enfin, s'il se présente des racines imaginaires à la suite d'un calcul, elles n'arrivent là que pour indiquer des solutions qui, sous leur forme algébrique, sont susceptibles de devenir réelles et possibles en changeant, non le sens ni la nature de l'énoncé de la question, mais bien la grandeur absolue des données qui y entrent.

L'Analyse algébrique exige donc, lorsqu'on l'applique à des questions de Géométrie, de la pénétration d'esprit et du jugement, et l'on a tort de croire qu'on puisse l'employer comme un véritable instrument qui doive même redresser, dans tous les cas possibles, les erreurs et les fausses hypothèses que

Ton pourrait commettre. C'est une arme commode dont tout le monde indistinctement peut se servir; elle donne toujours des résultats bons en eux-mêmes, mais qui, fort souvent, ne seront applicables à ce qu'on cherche et n'auront de signification véritable, qu'entre les mains de ceux qui savent les lire et les interpréter d'une manière convenable. En un mot, l'Analyse ne doit être appelée que comme auxiliaire du raisonnement ordinaire; elle sert à soulager la mémoire, à symboliser le résultat des premières conceptions géométriques, et à en tirer des conséquences faciles au moyen du mécanisme qui lui est propre; mais elle ne saurait jamais diriger ni suppléer le jugement et la conception : c'est le vrai bâton des aveugles.

Note pendant l'impression.

Gomme on peut le voir par l'indication au bas de la page 197, j'avais l'intention d'ajouter ici diverses Notes manuscrites d'une date contemporaine à 1817; mais l'étendue qu'a prise à l'impression la matière de ce IIIe Cahier, malgré de nombreuses abréviations et suppressions, m'oblige à y renoncer, sinon définitivement, du moins jusqu'à la fin du volume, où, peut-être alors, le temps et l'espace me permettront d'en publier au moins un extrait abrégé. Je regrette d'autant plus cet ajournement, que ces Notes venaient ici dans leur ordre de date, et que la publication de la Correspondance que j'ai entretenue, de 1818 à 1820, avec MM. Terquem, Servois et Brianchon, pouvait servir à combler la lacune qui existe entre ce IIIe Cahier et les suivants, sous le rapport des idées et des intentions.