CC'.CQ = CR.CK

c'est-à-dire que le cercle qui passe par K, R, Q passe aussi par C

On prouverait de la même manière que ce cercle passe par les deux autres points A', B'; donc il passe à la fois par les neuf points P, Q, R, I, K, L, A', B', C. c. o. f. n.

Les théorèmes qui précèdent subsistent, en tout ou en partie, et avec des modifications convenables, dans les diverses circonstances particulières que peut présenter le système des trois ou quatre points que l'on considère, et qu'on suppose appartenir à une hyperbole équilatère.

Par exemple, si l'un A des sommets du triangle ABC s'éloigne à l'infini des deux autres, et que, par conséquent, les côtés CA, AB deviennent parallèles comme l'exprime \&fg. 177, le pied R de la perpendiculaire AR

s'écartera à l'infini sur BC, et il en sera de même des milieux \, L des côtés AC, AB du triangle et des points A', B', C; par conséquent, une portion tout entière du cercle qui passe par ces points sera elle-môme passée à l'infini, c'est-à-dire qu'elle se sera confondue avec la droite qui contient tous les points à l'infini du plan de la figure.

Il suit de là que l'autre partie de ce cercle sera aussi devenue une' ligne

droite, et c'est ce qui a lieu en effet; car [fi g. 176), si des sommets B, C

on abaisse des perpendiculaires sur les côtés opposés du triangle, leurs

pieds respectifs R, Q seront en ligne droite avec lo milieu K du côté BC.

5i4 VIe CAHIER. ~ ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

Dans le cas particulier qui nous occupe donc, la suite des centres des hyperboles éqtiilatères appartenant aux points A, B, C doit se trouver sur la droite indéfinie PKQ, comme cela a lieu en effet.

Dans la môme hypothèse, où le point A s'éloigne à l'infini et où les côtés CA, BA deviennent par conséquent parallèles, le point de croisement D des trois hauteurs du triangle ABC étant aussi passé à l'infini, il est, dans ce cas particulier, bien évident que c'est, avec les trois autres, un quatrième point de l'hyperbole équilatère.

Il y a ici une remarque essentielle à faire; c'est que, bien que par quatre points donnés à volonté sur un plan, on puisse toujours faire passer une hyperbole équilatère, cependant, quand deux de ces points doivent (Ure situés à l'infini, il n'est pas possible de se les donner arbitrairement par le système de deux droites quelconques concourant respectivement en ces points; il faut nécessairement que les droites dont il s'agit soient perpendiculaires entre elles, puisqu'elles doivent être parallèles aux asymptotes de la courbe.

Si le sommet A du triangle ABC (fîg. 176), au lieu de s'écarter indéfiniment des deux autres B, C, se rapprochait, au contraire, de l'un d'eux C, jusqu'à ce que le côté AC devînt infiniment petit ou nul, en conservant toujours sa direction primitive, les points L, K se trouveraient eux-mêmes rapprochés à une distance infiniment petite l'un de l'autre, sur une parallèle à AC passant par le milieu du côté AB ou CB; quant au point milieu I du côté AC, il serait confondu avec le sommet A.

Soit donc AP (Jtg. 178) la direction indéfinie do la droite qui renferme

Fig. 178

les deux points ou sommets confondus en un seul au point A, et soit B le troisième point ou le troisième sommet que Ton considère ; divisons le double côté BA en deux parties égales au point L par la parallèle LK à AP, le cercle qui passera par A et touchera la parallèle KL en L représentera évidemment celui qui, dans le cas général, contient les milieux des côté» du triangle ABC; par conséquent il renfermera la suite des centres des hyperboles équilatères qui passent par les points A, B et touchent la droite AP en A. Du reste, il serait facile de reconnaître ce que

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5i5

sont devenues les autres propriétés du cercle dont il s'agit, et d'en déduire divers théorèmes analogues aux précédents, mois qui n'en seraient que des cas particuliers.

Ainsi, le moyen que nous avons indiqué ci-dessus, pour trouver le centre et finalement les asymptotes d'une hyperbole équilatere assujettie à passer par quatre points donnés sur un plan, s'applique très-bien au cas particulier où l'on suppose ces points, en tout ou en partie, réunis deux à deux en un seul sur des droites ou tangentes dont la direction est assignée, ainsi que le point de contact, comme il s'applique aussi très-bien à celui où un ou deux de ces mêmes points passent à l'infini sur des droites dont la direction est également assignée.

Mais quand on ne se donne que trois points de l'hyperbole équilatere avec une tangente quelconque, il n'est plus possible de déterminer de la même manière le centre de la courbe, car alors on n'obtient qu'un senl cercle dont la circonférence renferme ce centre; il faut donc avoir recours au procédé indiqué plus haut , au moyen duquel on peut obtenir directement un quatrième point de la courbe : ce qui ramène le problème -à celui où il s'agit de décrire une section conique dont on a quatre points et une tangente.

Enfin, quand on se donne deux points et deux tangentes quelconques de l'hyperbole équilatere, ou seulement un point et trois tangentes quelconques, les deux procédés dont il s'agit sont également en défaut. Néanmoins, dans le premier de ces deux cas, on trouve encore un cercle dont la circonférence renferme le centre de la courbe; ce qui donne lieu ;à ce nouveau théorème :

Théorème X. — Les centres de toutes les hyperboles équilatères tangentes h deux droites et passant par deux points donnes sur un plan sont situés sur une circonférence de cercle unique.

Dans le môme cas, on parvient à déterminer d'une manière très-simple un système de deux droites dont l'intersection avec le cercle en question donne encore la position des centres des quatre hyperboles équilalères qui résolvent le problème; mais la démonstration de ces diverses propositions exige L'emploi de principes qui sont, jusqu'à un certain point, étrangers à l'objet actuel de cet article.

On a vu, dans ce qui précède, le rôle qu'on peut faire jouer aux différents lieux des centres des sections coniques assujetties à certaines conditions, pour fixer entièrement la position du centre de la courbe, et par conséquent celle de cette courbe elle-même, quand le nombre de ces conditions ne laisse plus rien d'arbitraire ni d'indéterminé. Il se présente à ce sujet une question fort intéressante, et qui nous semble n'avoir pas encore été résolue d'une manière complète et dans toute sa généralité ; en voici l'énoncé :

Déterminer quelle est la nature de (a courbe qui renferme les centres

5i6 VI* CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

de toutes les sections coniques assujetties à quatre conditions telles que de passer par des points ou de toucher des droites données sur un plan.

Aux divers cas particuliers dont il a déjà été question dans le présent Article, et dont le plus remarquable est sans contredit celui qui résulte du théorème cité de Newton, sur le quadrilatère circonscrit à une section conique, nous ajouterons les suivants , qui , si nous ne nous trompons, n'ont pas jusqu'ici été démontrés ou résolus :

Les centres de toutes les sections coniques assujetties à passer par quatre /joints donnés sur un plan, sont situés sur une autre conique passant par les /joints où se coupent les deux diagonales et les côtés opposés du quadrilatère correspondant aux quatre points donnés.

Les centres (le toutes les sections coniques assujetties à toucher deux droites et à passer par deux points donnés sur un plan sont situés sur une autre section conique passant par le point d? intersection des deux droites , par le milieu fie la distance qui sépare entre eux les deux points, et par le milieu de la partie interceptée par ces droites sur la direction indéfinie de celle qui renferme les deux mêmes points (*).

RECHERCHES DIVERSES SUR LE LIEU DBS CENTRES DES SECTIONS CONIQUES ASSUJETTIES A QUATRE CONDITIONS, ET SOLUTION DE DEUX PROBLÈMES PROPOSÉS A LA PAGE 37* DU TOME XI DES ANNALES.

(T. XII des Annales, Ier février 1833.)

Problème. — Déterminer le lieu des centres de toutes les sections coniques qui, touc/utnt à la fois deux droites données, passent en outre par deux points donnés?

Solution, — Concevons une droite par les deux points dont il s'agit ; sa direction indéfinie sera celle d'une sécante commune à la fois à toutes les sections coniques proposées ; ainsi , nous pouvons poser la question d'une manière plus générale, comme il suit :

(*) Je supprime ici une note où M. Gergonne, rappelant son élégante et générale solution du problème des sphères et des cercles tangents, émet, comme moyen d'émulation permis au rédacteur d'un Journal, l'opinion que le problème proposé, p. 254 du t. VIII des Annales, où il s'agit de décrire une conique qui en louche cinq autres sur un plan, est peut-être susceptible d'une construction élégante et facile. Mais l'Article ci-après et ses propres recherches analytiques, insérées au t. XI des Annales, ont dû convaincre M. Gergonne qu'il n'en pouvait être ainsi. (Note de i863.)

EXTRAITS DES ANNALES DE MONTPELLIER. 5i7

Quel est le lieu des centres de toutes les sections coniques qui, ayant une corde commune, toucheraient en outre deux droites données ?

La corde commune donnée pouvant être aussi bien une corde idéale qu'une corde réelle, relativement à toutes les seclions coniques dont il s'agit (*), et le système de ces dernières devant jouir des mêmes propriétés dans les deux cas, on peut, en général, considérer ce système comme la projection ou perspective d'un autre système composé de circonférences de cercles, pour lesquelles la corde ou sécante commune est passée tout entière à l'infini ; mais, dans ce nouveau système, les centres des sections coniques seront évidemment représentés par les pôles de la droite qui, sur le plan des sections coniques, est elle-même à l'infini ; car la polaire du centre d'une telle courbe est nécessairement à l'infini ; donc la question est ramenée à cette autre purement élémentaire :

Quel est le lieu des pôles (Tune droite donnée , par rapport à une suite de cercles tangents à la fois à deux droites données sur un plan?

Or, ces cercles présentent deux séries bien distinctes : l'une qui appartient à l'angle même formé par les deux droites données, l'autre qui appartient au supplément de cet angle. Dans l'une et l'autre, les centres des cercles demeurent sur une droite qui partage l'angle correspondant en deux parties égales, tandis que les cordes de contact avec les côtés de cet angle se meuvent parallèlement à elles-mêmes et à la ligne des centres de l'autre série, c'est-à-dire concourent avec elle en un point de la sécante à l'infini, commnn à la fois à tous les cercles; enfin, il est facile de prouver, soit géométriquement, soit analytiquement, que le lieu des pôles d'une droite quelconque, donnée sur le plan de ces cercles, est, pour chacune des séries dont ils se composent , une section conique passant par le sommet commun* des angles que l'on considère, et touchant en ce point la droite des centres qui lui correspond. Si donc on se reporte à la figure primitive, où les cercles sont remplacés par des coniques quelconques ayant une sécante commune, on en conclura sans peine :

i° Que ces sections coniques forment deux séries distinctes dont les cordes de contact avec les droites données pivotent séparément sur deux points fixes placés sur la sécante qui leur est à la fois commune (**), et divisant harmonique ment ou en segments proportionnels, tant la corde correspondante que la portion de la sécante comprise entre les deux droites données;

a° Que ces deux points fixes sont en outre tels, que l'un quelconque

(*) Voir, sur les cordes idéales, etc., le Rapport â l'Institut inséré à la p. 69, t. XI, des Annales. (Note ancienne,)

(**) Mémoire sur les lignes du second ordre, par C.-G.. Brianchon, n°* XV «t XVI, p. 19 et 10. (Note ancienne).

5i8 VIe CAHIER. - ARTICLES DIVERS DE GÉOMÉTRIE

d'entre eux est le pOle de la droite qui passe par l'autre et par le sommet de l'angle des droites, relativement à toutes Les sections coniques proposées;

3° Que le lieu des centres de Tune quelconque des séries formées par ces sections coniques est lui-môme une autre section conique passant par le sommet de l'angle des deux droites données, et touchant en ce point la polaire du point sur lequel pivotent les cordes de contact appartenant à cette série.

La discussion apprend en outre :

4° Que chacune des deux courbes des centres passe par le milieu de la distance qui sépare entre eux les deux points donnés et par le milieu de la partie interceptée par les droites données sur la direction de là sécante commune qui contient les deux mêmes points ;

5° Qu'enfin le centre commun des deux courbes dont il s'agit est au point milieu de la dislance qui sépare le sommet de l'angle des deux droites données et le point milieu déjà mentionné de la distance qui sépare les deux points donnés.

D'après cela, on voit que les deux sections coniques, lieux des centres des proposées, ne diffèrent entre elles que par la direction de la tangente au sommet de l'angle des deux droites données.

Comparons maintenant ces résultats avec ceux de la page 3g5 du t. XI des Annales.

Soient CX, CY (Jig. 179) les deux droites données, prises respectivement, comme à l'endroit cité, pour axes desx et des/; nommons pareillement a, bT a\ b' les coordonnées des points donnés A, A'.

Cela posé, on aura d'abord, pour l'équation de la droite AA',

Soient x\ f les coordonnées du milieu k de la partie XY de cette droite interceptée entre les axes ; nous aurons

xab'-ba* , iab' — ba'

et x\ y* étant les coordonnées du milieu I de la distance AA',

Enfin x'"y y étant les coordonnées du milieu 0 de Cl, nous avons

Reste à déterminer la direction des droites CP, CQ, qui .passent par

l'origine C, et renferment les points P, Q sur lesquels pivotent les cordes de contact respectives appartenant aux deux séries de sections coniques proposées; car, d'après ce qui précède, on aura tout ce qu'il faut pour déterminer complètement le lieu des centres de ces séries.

Soient a, p les coordonnées de l'un P des deux points fixes dont il s'agit : l'équation de la droite correspondante CP sera

en faisant, pour abréger, p = Aa; de sorte que tout consiste à déterminer X.

On pourrait, à cet effet, employer le calcul algébrique; mais il exigerait une suite d'opérations très- pénibles. On parviendra plus simplement

Fig 179.

au même but en employant les relations obtenues par la Géométrie. En effet, indépendamment de celles déjà signalées ci-dessus, et qui suffisent pour déterminer le point P que l'on considère en particulier, ou a encore la suivante, qu'il serait au surplus facile d'en déduire, si déjà elle ne se trouvait toute établie,