II

ici visiblement absurde quand la constante k ou xy surpasse le diamètre du cercle donné. En un mol, lorsque les inconnues d'un problème de Géométrie se mesurent sur des axes de position indéterminée , il faut bien se garder de prononcer à priori sur l'existence des points qui leur correspondent.

On pourrait se demander d'ailleurs pourquoi l'Analyse algébrique présente les distances sx et «j sous une forme toujours réelle, fussent-elles imaginaires. Nous répondrons qu'on n'a pas exprimé toutes les conditions du problème, qui exige impérieusement que les points x et j appartiennent à la circonférence du cercle donné et non à toute autre : or, évidemment, les équations de condition ne seront pas changées si l'on remplace le cercle (c) par un cercle quelconque passant par les points rt et 6; de sorte aussi que ces équations doivent appartenir, non-seulement à la circonférence (c), mais encore à toutes celles qui contiennent ces deux points; et comme, quelle que soit la grandeur de /f, il y aura toujours une infinité de circonférences pour lesquelles le problème sera possible, on voit que, de toute nécessité, les valeurs algébriques de sx et sf doivent être indépendantes de toute condition d'imaginarité absolue ou relative.

Ainsi, des objections qui, au premier aperçu, auraient pu faire accuser l'Analyse d'absurdité, de contradiction, ou tout au moins d'insignifiance et d'obscurité, servent, bien au contraire, à en prouver la certitude et la fécondité, quand on sait l'employer et l'interpréter d'une manière convenable, en laissant de côté les notions, souvent trop restreintes, acquises dans la Géométrie élémentaire. Cet exemple prouve en même temps que, si l'on continuait à demeurer dans les voies séculaires des géomètres de l'École d'Alexandrie, on ne pourrait parvenir à interpréter d'une manière facile et entièrement satisfaisante les résultats généraux de l'Analyse algébrique. Ainsi le besoin, l'utilité signalés par Lagrange de rapprocher et d'éclairer l'une par l'autre, ces deux bases fondamentales de nos connaissances, deviennent tous les jours plus pressants, plus indispensables.

Passons à un nouvel exemple qui a également occupé M. Carnot (p. 87 de la Géométrie de position).

HO. II* Problème. — « Deux points A, B [fig. i45) étant donnés sur la

» circonférence d'un cercle, trouver sur celte circonférence un troisième

Fig. 145.

» point K dont les distances respectives AK et BK, aux deux points pro- » posés, soient en raison donnée. »

Première solution de M. Carnot. — Appelons a le rapport donné et

constant, de sorte que