EXAMEN DU PRINCIPE DANS LA GÉOMÉTRIE RATIONNELLE

1. La Géométrie analytique ayant acquis sur la Géométrie ordinaire, une supériorité el une généralité qu'il est impossible de lui contester, dans l'état actuel de ces deux sciences (1818), à moins d'ignorer tout à fait les brillantes découvertes des algé-

(*) Ce Cahier, dont la rédaction définitive date de l'hiver de 18 j 8 à 1819, est le développement méthodique des idées et des considérations générales sur le principe de continuité, qui servaient, pour ainsi dire, de préambule et de justification aux théories du IIP Cahier, essentiellement basées sur l'admission ouverte de ce principe, mais dont il importait de démontrer l'existence de fait et l'admission, du moins implicite, dans toutes les recherches et les découvertes fondées sur l'Analyse moderne. Comme je l'ai dit dans la note de la page 167, ces préliminaires ont été entièrement supprimés, parce qu'ils amenaient des discussions épineuses et prématurées, relatives à la fausse interprétation quelquefois donnée à cer4,ains signes algébriques. La Correspondance, déjà mentionnée dans la Note finale du même Cahier, montre qu'après avoir donné en 181 8, à MM. Terquem, Servois et Brianchon, un aperçu sommaire de mes premières idées sur le principe de continuité, la loi des signes de position, etc., j'ai adressé à ces savants, au commencement de ïSig, outre la rédaction qui constitue le texte même de ce IV^ Cahier, celle d'un autre Mémoire relatif aux principes généraux de la projection centrale des figures situées dans l'espace ou dans un plan. Mémoire que je me proposais de publier immédiatement et de faire suivre, sans lacune, de'

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brisles modernes, ou d'être entièrement épris des méthodes anciennes, c'est une question aussi utile qu'intéressante que de rechercher directement quelles sont les causes de la faiblesse naturelle à l'une, et de la puissance extensive qui constitue en quelque sorte le caractère propre de l'autre. Car, si ces causes étaient une fois bien connues, il deviendrait peutêtre possible de faire passer dans la Géométrie ordinaire la généralité des conceptions de l'Analyse algébrique, généralité qui doit nécessairement appartenir à l'essence même de la grandeur figurée, indépendamment de toute manière de raisonner. Par là on parviendrait à donner à cette Géométrie, sinon tous les avantages de l'Analyse, au moins un certain degré de perfection dont, on le voit bien, elle manque encore de nos jours. Or, ce n'est évidemment qu'en examinant avec

la démonstration des propriétés projectives les plus intéressantes et les plus nouvelles sur les sections coniques. Mais les bienveillantes observalions et les objections qui me furent adressées à ce sujet, par ces mêmes géomètres, et les devoirs de mon service d'ingénieur militaire pendant l'été de i8ig, m'empêchèrent de réaliser ce projet, et je dus me borner à présenter, en avril 18-20, à l'Académie des Sciences de l'Institut, un Mémoire qui forme le V* Cahier de ce volume, et que, dans ce but tout spécial, je rédigeai pendant les mois précédents, en me limitant à des points de doctrine et à des résultats que je considérais comme devant être à l'abri de toute contestation. Néanmoins, malgré cette réserve, inspirée par les scrupules et les objections de MM. Terquem, Servois et Brianchon, l'usage très-sobre, mais nullement déguisé, que je faisais du principe de continuité n'ayant pu obtenir grâce aux yeux du savant rapporteur de l'Académie, j'ai pris, en 1821, le parti de présenter la copie in extenso des considérations philosophiques de ce IV* Cahier, à la Société des Lettres, Sciences et Arts de Metz {«); mais là encore, mes idées sur la continuité furent accueillies de telle sorte par le rapporteur Président de cette Académie, que je dus renoncer à l'espoir de faire goûter et comprendre convenablement mon but et la tendance de mes idées avant la publication de l'ensemble de mes recherches géométriques.

(a) Compte rendu des travaux de ]a Société pendant l'année de 1821 à 1822^ Metz, cliez Lamort, imprimeur. C'est dans ta même année 182 1 (voir p. 28 et 29) que je lus, en présence de M. Arago, un exposé rapide des principaux résultats auxquels j'étais parvenu dans l'application de l'Analyse des transversales à la recherche des propriétés des courbes géométriques de tous les ordres, qui consti-. tue le fond du II* Cahier de ce volume.

298 IV^ CAHIER. -^ CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES attention quelle est la différence qui existe entre la manière de procéder de ces deux sciences ; c'est en recherchant quelle est la marche et quelles sont les ressources de l'une et de 1 autre dans la solution générale des diverses questions qui se présentent, qu'on pourra parvenir à atteindre ce but aussi important que désirable.

De grands géomètres, dont je me complairai souvent à citer l'autorité dans le cours de cet écrit, ont déjà tenté, de la manière la plus savante et la plus approfondie, la comparaison que nous voulons établir; mais, comme leur objet était moins déterminé que le nôtre, il n'est pas inutile, il est même indispensable que nous reprenions, de nouveau, la question pour l'examiner avec plus de détails et sous le point de vue qui peut nous conduire, de la manière la plus facile, aux conséquences générales que nous nous proposons d'en déduire.

Mais, avant d'entrer en matière, il est essentiel de faire quelques remarques préliminaires sur le sens qu'on devra attacher, par la suite, à plusieurs expressions dont nous ferons un fréquent usage.

2. L'objet de la Géométrie, considérée d'une manière générale, est d'étudier les propriétés des corps sous le rapport de leur étendue ou de leur configuration. Mais, parmi ces propriétés, il en est qui concernent moins la grandeur absolue ou déterminée de telles ou de telles parties, que les affections, les relations générales et indéterminées qui leur sont communes ou qui appartiennent à leur combinaison mutuelle. Ces dernières propriétés doivent seules faire l'objet des considérations qui suivent; car, à cause de leur généralité et de l'indétermination même des grandeurs qu'elles concernent, ces propriétés renferment implicitement toutes les autres, et il suffira, pour y parvenir, de descendre du cas général au cas particulier, en attribuant aux grandeurs indéterminées la valeur ou la relation qui les particularisent. Ainsi, à moins qu'on ne prévienne du contraire, les figures, les relations, les propriétés dont il sera fait mention dans ce qui va suivre auront toute la généralité possible.

3. De plus, parmi toutes les propriétés de l'étendue, il en est qui ne concernent que les rapports ou relations existantes

entre les grandeurs mesurées des parties des figures, tandis que les autres, sans dépendre explicitement de ces relations, n'ont trait qu'aux affections relatives à leur configuration, à leur manière d'être réciproque. Pour les distinguer entre elles, on pourrait appeler celles-ci graphiques on descriptives, tandis que les premières recevraient le nom de propriétés métriques, c'està-dire concernant les rapports, la mesure; et c'est ainsi que nous en userons dans ce qui va suivre, afin d'abréger le discours et de lui donner plus de clarté, puisque les expressions qui précèdent ont un sens bien déterminé.

4. Malgré la distinction que nous venons d'établir entre ces deux espèces de propriétés, on sent toutefois qu'elles ont entre elles la dépendance la plus intime, et que souvent celles d'une espèce pourront conduire immédiatement à celles de l'autre. On a constamment réuni dans les recherches purement géométriques ces deux genres de propriétés, parce que, en effet, il n'est aucun moyen de les isoler d'une manière absolue et parfaite.

Cependant, la Géométrie descriptive pourrait être considérée comme ayant principalement pour objet les propriétés graphiques des figures, et la Géométrie analytique comme ayant pour objet, de son côté, les relations ou les propriétés métriques; car cette dernière science ne commence ses opérations que quand la Géométrie lui a livré les premiers rapports, et elle les termine précisément quand il s'agit d'en interpréter les résultats sur la figure.

Envisagée sous ce point de vue, la Géométrie analytique ne serait que l'art d'appliquer aux rapports métriques des figures le mécanisme du calcul algébrique, pour transformer ces rapports en d'autres qui en découlent en vertu des lois abstraites de la grandeur; et c'est en effet ainsi qu'elle a été mise en usage dans l'origine, par Viète, sous le nom d'Jnalyse déterminée.

Mais la Géométrie analytique a reçu, dès le temps de Descartes, une extension- beaucoup plus grande sous le nom (ïJnalyse indéterminée ; par elle on est parvenu, non-seulementà soumettre les rapports métriques au calcul, mais encore à peindre les formes et la disposition même des objets de la

3oo IV C4HIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES Géométrie : c'est cette analyse, qu'on nomme aussi méthode des coordonnées, qu'ont cultivée avec tant de succès les Euler, les Monge, les Lagrange, etc.; ses avantages sur la première sont aujourd'hui bien connus, et ne forment le sujet d'aucun doute.

5. Nous avons cru nécessaire d'établir, avant d'aller plus loin, cette distinction entre les deux espèces d'Analyses qui précèdent, parce qu'on n'est que trop souvent entraîné à reprochera l'Analyse en général les défauts et les difficultés, qui n'ont lieu, en particulier, que pour l'application de l'Algèbre à la Géométrie dans des questions déterminées, laquelle n'est qu'une espèce de Géométrie dont les règles sont imparfaites, et dont la marche varie à chaque instant et dépend tout à fait de la sagacité de celui qui l'emploie.

Dans ce qui suit, c'est toujours de l'Analyse des coordonnées que nous entendrons parler; car elle seule possède, dans ses résultats, la généralité dont nous voulons étudier et rechercher le principe.

6. Notre sujet ayant quelque analogie avec celui de la Géométrie de position de M. Carnot, nous aurons souvent besoin de comparer une même figure avec toutes celles qui peuvent être censées en résulter par le mouvement progressif et continu de certaines des parties qui y entrent, sans violer la liaison et la dépendance primitivement établies entre elles. Nous appellerons avec cet illustre géomètre (*), figure primitive, celle à laquelle on compare toutes les autres qui en dérivent; celles-ci, à leur tour, seront appelées en général les corrélatives de la première : cette correspondance particulière entre deux systèmes sera désignée, en outre, parle mot corrélation.

Nous distinguerons trois degrés de corrélation, suivant la plus ou moins grande analogie que peuvent conserver entre eux le système primitif et le système dérivé. Pour tous, nous admettrons que le mouvement par lequel on suppose que la figure primitive ait pu se changer en sa dérivée soit réel et géométriquement possible.

(*) Géométrie de position, art. ^3 et 78.

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Cela posé, nous dirons que la corrélation est directe toutes les fois que les figures corrélatives seront composées d'un même nombre de parties semblables quant à leur nature, se correspondant chacune à chacune, et disposées absolument dans le même ordre à l'égard les unes des autres : dans cette situation, elles ne différeraient évidemment que par la grandeur absolue de ces parties, et nullement par leur nature et leur position relative.

Nous dirons que la corrélation est au contraire indirecte ou inverse toutes les fois que le déplacement nécessaire à opérer dans l'une des figures, pour la rendre identique avec sa corrélative, changerait l'ordre, la disposition de quelques-unes des parties dont elle se compose, sans toutefois en changer la nature.

Enfin la corrélation pourrait être telle que, en vertu du déplacement toujours réel de certaines parties de la figure primitive, une ou plusieurs autres parties de cette figure devinssent, dans la corrélative, imaginaires de réelles qu'elles étaient, ou réciproquement; c'est-à-dire telle que certaines distances, certains points cessassent d'exister d'une manière géométrique : nous nommerons cet état de deux figures corrélation idéale.

Si la figure primitive renfermait une droite et un cercle, par exemple, et que cette droite rencontrât d'abord la circonférence de ce cercle en deux points, on pourrait concevoir qu'elle se détachât ensuite du cercle par un mouvement continu ; alors les deux points dont il s'agit cesseraient d'être réels aussi bien que la direction des rayons qui leur correspondent, et la nouvelle figure serait, d'après ce qui précède, en corrélation idéale avec la première.

Ces définitions ne cadrent que jusqu'à un'certain point avec celles de la Géométrie de position ; elles ne concernent proprement que la corrélation de situation des figures, tandis que les autres concernent la corrélation des signes qui affectent les grandeurs qui entrent dans les formules appartenant à ces figures. Il ne faut pas confondre entre elles ces deux sortes de corrélations; pour qu'il fût permis de le faire, il faudrait qu'on eût démontré à l'avance, d'une manière absolue et rigoureuse, que chaque espèce de corrélation de situation entraîne néces-

3o2 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES sairement l'espèce correspondante de corrélation de signes; ce qui n'a pas lieu jusqu'à présent.

7. Quel que soit, dans la Géométrie pure, l'objet que l'on se propose et le mode de raisonnement qu'on veut employer pour y parvenir, il s'agit toujours, en définitive, d'établir, de rechercher la dépendance ou la relation explicite qui existe entre telles ou telles parties d'une figure donnée, que cette relation soit métrique ou descriptive.

Si cette relation est assez simple en elle-même, ou si elle est liée d'une manière prochaine avec d^s vérités, des relations connues entre quelques parties de cette figure, il sera souvent facile de passer de la connaissance des unes à celle des autres, sans avoir besoin de recourir à aucun intermédiaire étranger à la figure. Mais, si cette relation et les parties qu'elle concerne n'ont qu'une liaison lointaine et difficile à établir avec ces autres parties de la figure ou avec d'autres relations déjà connues, ou si, même, on ne connaît aucune relation entre les parties actuelles de cette figure, alors on se voit conduit à décomposer la difficulté en d'autres plus abordables; ce à quoi l'on parvient presque toujours en traçant sur la figure, de nouvelles lignes liées d'une manière intime aux premières.

Si ces nouvelles lignes, qui ne sont que des auxiliaires pour l'objet principal, sont bien choisies, il arrivera que leur manière d'être à l'égard des autres fera apercevoir quelques relations ou dépendances déjà connues, et alors, en rapprochant successivement ces relations entre elles, on pourra parvenir, comme dans le premier cas, à la relation dont on s'occupe, en faisant voir, d'une manière ou d'une autre, quelle est sa dépendance et sa liaison avec elles. Le but qu'on se propose se trouvera donc entièrement rempli, sous quelque point de vue qu'on le considère.

On voit par là que la chose vraiment difficile, celle qui lient surtout au génie et au talent du géomètre, c'est le choix des lignes et des relations auxiliaires qui doivent servir à lier les différents membres de la proposition; c'est en cela que consiste l'élégance d'une solution ou d'une démonstration. Car, si ces auxiliaires n'ont qu'une dépendance lointaine avec la

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figure donnée ou avec l'objet qu'on se propose, elles exigeront beaucoup de propositions intermédiaires, et ces propositions seront compliquées dans leur rapprochement mutuel; aussi arrivera-t-il souvent que si cette marche a conduit au résultat, après bien des détours, on n'aura encore obtenu qu'une relation ou qu'une construction aussi difficile à saisir que tous les intermédiaires par lesquels on aura été obligé de passer.

8. Si cette difficulté et cette indétermination du choix des auxiliaires, dans 'les questions géométriques traitées d'une manière purement rationnelle, offrent des désavantages relativement à la marche générale et uniforme de la Géométrie analytique, puisqu'elles peuvent arrêter le géomètre dès le premier abord, il faut avouer toutefois que cette indétermination est, en particulier, aussi la cause de l'élégance et de la simplicité de certaines solutions et de certaines démonstrations, dans des questions que la méthode des coordonnées ne peut atteindre que d'une manière pénible.

On conçoit, en effet, que la Géométrie analytique, dans sa marche générale et uniforme, rapportant constamment tous les objets d'une figure aux mêmes auxiliaires, doit parvenir à des résultats d'autant plus compliqués et plus difficiles à saisir, que ces auxiliaires offrent moins d'analogie avec les formes ou les objets mêmes de la figure, et qu'ainsi leur dépendance mutuelle est moins simple et moins intime. Elle ne peut d'ailleurs, comme la Géométrie rationnelle, faire usage immédiatement des propositions déjà connues, et qui sortent tant soit peu de ses principes élémentaires; elle est forcée de reprendre les choses presque â leur définition, et de parcourir tout l'intervalle qui sépare ces définitions des relations finales auxquelles on se propose de parvenir. La méthode des coordonnées, considérée en elle-même et d'une manière générale, est donc limitée autant dans le choix des principes ou des propositions auxiliaires, que dans celui des lignes dont elle doit nécessairement faire usage pour définir chacun des objets de la ligure.

Il est vrai que, à la rigueur, on pourrait admettre des propositions déjà connues et diminuer par là, de beaucoup, la

3o4 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES complication des calculs et le nombre des opérations nécessaires pour arriver au résultat final ; mais cela exigerait, dans chaque cas particulier, la recherche de l'expression analytique de cette propriété, car cette expression varie avec la position des axes coordonnés : or, c'est ce qui serait loin d'être facile dans tous les cas, comme cela a lieu dans la Géométrie ordinaire.

D'un autre côté, l'Analyse, dans chaque cas particulier, n'est pas entièrement bornée au choix de tels ou tels axes coordonnés; elle peut, ainsi que la Géométrie, mais d'une manière moins immédiate, faire usage de lignes et de grandeurs auxiliaires liées intimement à la figure, pourvu que la dépendance qu'elles ont avec les autres objets donnés ou inconnus de cette figure, soit déterminée à l'avance et, par conséquent, telle qu'on puisse passer directement de la connaissance des unes à celle des autres par des relations algébriques. Mais alors on éprouve, dans le choix de ces auxiliaires, les mêmes difficultés que dans la Géométrie pure elle-même, et il faut être déjà profond géomètre pour reconnaître, à l'avance, la simplification que le choix de tel auxiliaire ou de telle inconnue pourra amener dans l'équation ou le résultat final. S'il suffisait de faire en sorte que les équations primordiales fussent simples et les plus simples possible, on conçoit qu'il serait assez facile de choisir les auxiliaires; mais il n'en est pas toujours ainsi, et, souvent, les équations les plus simples en apparence conduisent aux résultats les plus compliqués.

9. Ce n'est donc pas l'indétermination et la difficulté du choix des auxiliaires qui rendent la Géométrie inférieure à l'Analyse, car celte indétermination et cette difficulté subsistent également dans la dernière pour chaque question que l'on peut se proposer en particulier; et, si la Géométrie analytique a l'avantage d'offrir, dans sa marche méthodique, des moyens de solutions pour toutes les questions possibles, il faut avouer encore que, sauf certains cas où les auxiliaires, abscisse et ordonnée, ont une liaison intime avec les données de la question, elle ne conduit, la plupart du temps, par ses procédés généraux et directs, qu'à des résultats d'une grande complication et dont l'interprétation et la construction géométrique sont

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très-difficiles : au moins, celle inlerprétalion exige-l-elle une grande pénélralion d'esprit de la part de l'algébrisle et une connaissance Irès-approfondie des conceptions propres à la Géométrie ordinaire.

Ce n'est pas encore, comme le dit très-bien l'auteur de la Géométrie de position, l'avantage qu'a l'Analyse des coordonnées de se servir du calcul, en tant qu'il sert à soulager la mémoire, qui fait sa grande supériorité sur la Géométrie ordinaire; car, 1° celie-ci peut, jusqu'à un certain point, en faire usage sans cesser d'être purement Géométrie, pourvu qu'elle en suive tous les développements sur la figure; 2° elle pari toujours des relalions et des auxiliaires les plus simples, el par conséquent les plus faciles à saisir et à comparer, même de tête; 3° le nombre des propositions et des objets auxiliaires croissant sans cesse, et pouvant devenir immense par la succession des temps et des travaux des géomètres, il arrive que, tout au contraire de l'Analyse pure, profitant immédiatement, et sans intermédiaire, de ces ressources, de ces vérités antérieurement acquises, pour les appliquer à l'objet proposé, elle pourra parvenir, sans calcul et par forme de simple corollaire, à la détermination même de cet objel.

10. Jusqu'ici donc, on le voit, les ressources et les moyens qu'offrent ces deux manières différentes de traiter la science de l'étendue possèdent des avantages et des désavantages réciproques qui se balancent mutuellement, et l'on ne voit pas, dans la faculté qu'a la Géométrie analytique de soulager la mémoire par des signes, une raison suffisante el nécessaire de sa supériorité sur la Géométrie rationnelle; il est même remarquable que, sous le point de vue de l'application de l'une et de l'autre à des questions particulières, la Géométrie analytique ne saurait aucunement se passer du secours des considérations de la Géométrie pure, soit pour simplifier l'état de la question en la ramenant à des circonstances plus faciles, soit pour simplifier la marche de ses opérations, soit enfin pour interpréter et traduire géométriquement ses résultats définitifs ; sous ce rapport tout particulier, on peut même dire, sans trop s'avancer, que la Géométrie analytique livrée à ses propres ressources, c'esl-à-dire aux règles qui en forment la n. 20

3o6 IV CAHIER. - CONSIDÉRATIONS PUILOSOPHIQUES partie élémentaire, serait do beaucoup inférieure à la Géométrie pure, tant pour l'élégance que pour la simplicité des résultats.

Mais si, en considérant ainsi la Géométrie pure sous le point de vue de son application à une question particulière et à une figure donnée d'espèce ou déterminée quant à la situation des parties, elle semble offrir des avantages sur l'Analyse, ou au moins les balancer, elle les perd bientôt sous le rapport de l'extension possible de ses résultats à touteik les figures qui, bien que de la môme nature que la première, en diffèrent cependant par le déplacement de quelques parties: c'est là et uniquement là qu'elle se refuse d'une manière absolue à suivre l'Analyse dans toutes ses conséquences. Pour en sentir la véritable raison, jetons un léger coup d'oeil en arrière sur sa manière de procéder et sur la nature des moyens qu'elle emploie pour répondre aux questions qu'on lui propose.

11. La Géométrie, envisagée comme nous venons de le faire, c'est-à-dire la Géométrie traitée dans toute sa pureté et telle qu'elle a été cultivée par les Anciens, ne perdant jamais de vue son objet, raisonnant toujours sur des formes réelles et existantes, et ne pouvant même jamais tirer de ses raisonnements des conséquences qu'elle ne puisse peindre à l'imagination par des images sensibles, doit nécessairement s'arrêter aussitôt que les objets qu'elle considère cessent d'avoir une existence .positive et absolue; mais il y a plus : si les objets de son premier raisonnement ne conservent pas entre eux une position toujours semblable et telle, qu'il n'y ait absolument rien à changer dans les formes de ce raisonnement, elle s'arrête encore et se refuse, quoi qu'on fasse, à étendre la conséquence de ce même raisonnement, établi sur la figure primitive, à la nouvelle disposition de cette figure; elle exige qu'on reprenne la série des raisonnements, pour lui donner, dans chaque cas, une forme différente et presque toujours nouvelle; et cependant les objets et les propositions auxiliaires ont conservé une existence positive et réelle; leur dépendance mutuelle et celle qu'ils ont avec la figure donnée est restée la même quant au fond; seulement la position et l'ordre de grandeur des parties a changé : ce qui était à droite

est actuellement à gauche, ce qui était dedans est actuellement dehors, etc.

12. Qu'il s'agisse, par exemple, de démontrer ce théorème fort simple, emprunté à la Géométrie élémentaire :

« Si d'un point S, intérieur à une circonférence de cercle » ABCD ijîg- >48)> on mène à volonté, dans son plan, deux

Fie. 14s.

Fig. 1/19.

» sécantes ASB, DSC, rencontrant cette circonférence aux » points A et B, C et D respectivement, le rectangle SA. SB » des deux segments formés sur l'une, sera égal au rectangle » SC.SD des segments formés sur l'autre. »

Après avoir tracé les cordes opposées AC, BD et avoir formé par conséquent les triangles auxiliaires ACS, BDS opposés par le sommet S, on observe que, en vertu d'une propriété antérieurement démontrée, les angles ACS ou ACD, SBD ou ABD de ces triangles sont égaux comme ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc sous-tendant AD, et qu'il en est de même des angles CAS, BDS; de là on conclut que les triangles en question sont semblables, et que, par conséquent, on a, par la comparaison des côtés homologues, la proportion