PRINCIPES FONDAMENTAUX ET ÉLÉMENTAIRES DE PROJECTION

CONIQUE ou CENTRALE.

Premier principe. — a Toute courbe du deuxième degré M peut être considérée comme provenant de l'intersection d'un » cône oblique à base circulaire par un plan arbitraire ; cette » courbe peut être dite, en général, la projection du cercle de n base sur le plan sécant, et le cercle de base doit, à son tour, » être considéré comme la projection conique ou centrale de » la courbe précitée.

» Toute tangente à la même courbe, doit être considérée » comme la projection d'une tangente au cercle de base ou » d'une autre section plane quelconque du cône. £n général, » les projections des tangentes restent des tangentes; mais il » n'en est pas ainsi des normales. »

Remarque. — Le système de deux droites arbitraires se coupant sur un plan, quoique pouvant être considéré comme une section conique particulière, ne sera point compris, en général, au nombre des projections du cercle. Néanmoins, comme le système de deux droites n'est qu'une simple modiHcation de la courbe du deuxième degré , toute propriété suffisamment générale de celle-ci sera applicable à ce système, en vertu des principes mêmes de l'analyse algébrique. Ainsi, des propriétés générales de la courbe du deuxième degré, on pourra bien déduire celles de l'ensemble de deux lignes droites, mais l'inverse no sera pas admis à priori.

Deuxième principe. — a Deux droites parallèles ou con- » courantes ont pour projection sur un plan quelconque, deux » autres droites concourantes, et réciproquement deux droites » qui se coupent peuvent être projetées d'une infinité de ma- B nières différentes, suivant deux droites parallèles, d

Cette proposition s'étend au système d'un nombre quelconque de droites parallèles ou concourantes , situées dans un même plan. Ainsi : cr Toute propriété générale d'un tel système 1» ayant trait à la direction indéfinie des lignes et non à leur 9 mesure, reste applicable à leur projection, conique ou cen- ^ traie sur un plan arbitraire.:»

Troisième principe. — « La projection de plusieurs systèmes » distincts de droites parallèles est un égal nombre de systèmes n de droites concourant, dans chacun, en un point distinct, et » tous les points de concours sont sur une même droite. ))

La réciproque est également vraie.

Remarque. — Ces théorèmes ou principes de projection centrale ne sont autres que ceux de la perspective linéaire : la démonstration ea est facile et purement élémentaire.

Ii8

IIP CAHŒR. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Lemnies relatifs au double système de sections circulaires

des cônes obliques.

Un cône oblique dont la base est une courbe quelconque du deuxième degré, peut, comme on sait (*), être coupé par un plansuivantdes cercles, etil y a généralement deux directionsdu plan sécant, non parallèles, pour lesquelles cela a lieu : c'est ce qu'on nomme quelquefois, sections sous-contraires du cône. Cette proposition, comme on sait aussi, est générale pour les surfaces du deuxième degré ; mais il importe ici d'en établir la vérité géométriquement ou synthétiquement pour le cône oblique à base circulaire, en particulier.

Proposition fondamentale, — Soit (c), Jig, 5a, la base circulaire, de centre c, d'un cône oblique; s le sommet du cône; sp la perpendiculaire abaissée de ce sommet sur le plan de (c)» que nous considérerons comme plan horizontal; soient me-

Fig. 52.

nées les deux arêtes sa, sb, dans le plan vertical perpendiculaire au précédent et contenant se ; je dis que la section sous-contraire conjuguée à celle de la base, est dans un plan perpendiculaire à sab et dont la trace mn, sur ce dernier.

(*] On en trouve une démonstration analytique suffisamment com> plète dans Tart. I du II' Cahier, article dont il était en effet inutile d'invoquer la connaissance ici, comme on lo veira par les démonstrations suivantes du manuscrit.

faii avec Taréte sb, Tangle obtus smn, égal à Tangle sab à la base ab du cAne.

En effet, si la section mn est un cercle, Tordonnée horizontale qd de ce cercle, correspondante au point q d'intersection des diamètres mn et ab, sera moyenne proportionnelle entre les segments nq et mq; de sorte qu'on devra avoir

ilq =z mqy:. nq.

Mais l'ordonnée dq est nécessairement commune aux deux cercles ou sections ; donc on a aussi

dq = aq X qb y et par conséquent

mqy<nq=zaqXqb ou mq'.qb \\ aq'.nq.

Donc enfin les deux triangles aqn et bniq^ qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables, et par conséquent, l'angle qmb est égal à son homologue qariy comme pareillement, l'angle mbq:=anq. Réciproquement, si ceue relation a lieu entre les angles, n'importe où mn est placé dans sab, la section conique inclinée, correspondante, sera une circonférence de cercle.

Toutes les sections parallèles à mn étant donc des cercles, leurs centres c', seront rangés sur une même droite se', passant par le sommet s; pareillement les centres des sections parallèles à la base ab du cône, seront situés sur une droite se, passant aussi par le sommet s du cône. Mais ces deux droites ne sont pas généralement les mêmes, elles ne se confondent que quand le cône est droit ou de révolution.

La ligne se' des centres c' coupe le diamètre ab au point /, il y a donc toujours une section sous-contraire à ab, dont le centre est situé sur ce diamètre même, au point de rencontre I dont il s'agit.

Positions relatives du sommet du cône et de ses sections sous-contraires. — Soitï (Jig. 53) un point quelconque du diamètre ab de (c) déjà considéré; soit menée par ce point la droite nm, telle qu'elle soit divisée en parties égales au point i

120 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

par deux droites arbitraires bs et os, menées, dans le plan vertical de abf d'un point s aux extrémités de ce diamètre ; par

Fig. 53.

ce point pris pour sommet de cône, soit tirée la parallèle sk à mn rencontrant ba prolongé en k; de plus, faisons

bs = m, $a=n, ac=:r^ içsn^;

la droite io étant, d*autre part, menée* dans le triangle abs^ parallèlement à la base bs, et divisant so en parties égales, comme i divise mn par hypothèse, on aura les proportions

so:oa::ib:ai ou so:oa:: r-^Xlr—y;

d'où, componendo ,

so-k-oa ou n\so — oa :: 2r:2/:: r:/.

Mais sk étant parallèle à m/i, les triangles ask eiain sont semblables, et Ton a

an ou on — oa = so — oa: ai i: sa: ak, soit

so — oair — / : : n : ak.

Multipliant cette proportion par ordre avec la précédente, n et so — oa s'en iront, et l'on en conclura

/i:r— j:: rx»:«A-X7;

ou, ce qui revient au même,

r' =y(ak -h r) = ci X ck.

De là il est facile de conclure que le poinl k est celui où la

tangente» menée par le point / du cercle (c), qui correspond à l'ordonnée du point i, vient rencontrer le diamètre ab prolongé. Car, dans le triangle rectangle ktc où l'ordonnée ti est perpendiculaire à l'hypoténuse, on a

et = r*=:ciXck.

Donc a si, par le point 1 pris arbitrairement sur le diamètre » ab, on élève l'ordonnée 1/, et que, par son extrémité f, on » mène /A* tangente au cercle (c), celle-ci coupera le diamètre B ab prolongé, en un point A*, jouissant de la propriété que, » pour toute position des droites sa, sb ou du point s choisi » en particulier, sk sera parallèle à la droite mn, divisée en s deux parties égales au point i. »

Problème annexe. — Si le point k ou 1 étant déterminé par rapport à (c),fig. 5/\, il fallait trouver la position du sommets d'un cône oblique dont ce cercle serait l'une des sections planes, et qui fût tel que le centre du cercle sous-contraire

opposé à (c) fut en 1, cela serait très-facile d'après ce qui précède. Car le rayon de ce dernier cercle étant égal à l'ordonnée issue de son centre et qui lui est commune avec le cercle (c), le rayon im = in de cette section devrait être égal à it.

Donc, décrivant, de 1 comme centre avec il pour rayon, une circonference.de cercle dans le plan vertical de ab\ menant par l'extrémité b du diamètre ab, une sécante quelconque bm, qui rencontre la circonférence en m ; traçant ensuite le diamètre m/i; enfin menant par l'extrémité n de ce diamètre et l'extrémité correspondante a de ab la droite na, elle coupera hmy prolongé, au sommet s demandé. En outre, d'après ce

i:a!i m- CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

que nous avons démontré, la droite sk parallèle à mn et la tangente tk viendront se couper sur le diamètre même a& de la base du cône.

Voici la conséquence de ce qui précède :

Quatrième principe. — a Si une courbe du deuxième degré, » et un, deux ou plusieurs points, tous rangés en ligne droite, )> sont situés dans un même plan, on peut, d'une infinité de » manières, projeter la figure sur un nouveau plan, tel que w la projection de la courbe soit un cercle, et que, en même » temps, les projections des points passent à Tinfini; de sorte » que tout système de droites concourant en l'un quelconque » des premiers points, aura pour projection un système de » lignes droites parallèles. »

En effet, on peut supposer que la figure ait d'abord été projetée de manière que la courbe devienne un cercle (I" Principe] , les points étant encore rangés sur une même droite. Soit donc (c) ce cercle, PL cette droite [Jig. 55), il s'agit de trouver un cône oblique dont [c) soit la base, et tel que la section

he. 55.

sous-contraire soit parallèle au plan qui passerait par le sommet s du cône et par la droite PL; car le plan de la section sous-contraire, pris pour plan de projection, coupe alors le cône suivant un cercle, et le plan projetant de PL suivant une droite située à l'infini.

Cette question peut se résoudre simplement .à l'aide de ce qui précède.

A cet effet, abaissons du centre c sur la ligne droite PL, la perpendiculaire c/r, rencontrant cette droite en k et le cercle en a et 6; du point k menons au cercle la tangente A*/, et du point de contact / abaissons sur ck l'ordonnée //; le pied i de

DBS SIMPLES œNIQUES. i23

cette ordonnée sera, pour chacun des cônes qui satisfont à la condition ci-dessus énoncée, le centre d'une section souscontraire, ayant pour rayon it : le sommet s du cône et le plan de la section sous-contraire se trouveront, de cette façon, déterminés quand on se sera donné la droite bs.

Nous avons démontré, en effet, que la droite sk, qui est ici la trace du plan projetant de PL, est parallèle à la trace mn de la section sous-contraire, en sorte que ces deux plans sont parallèles.

La direction de la droite bm peut être prise à volonté parmi celles qui rencontrent le cercle (/); donc il y a une infinité de cônes qui jouissent de la même propriété; par suite encore, on pourra assujettir un pareil cône à une nouvelle condition, pourvu qu'elle soit compatible avec les premières.

Remarques et réflexions fondamentales concernant les cas

de possibilité ou d'impossibilité.

Lorsque la droite PL [fig. 55) rencontre le cercle (c), la construction précédente devient impossible; car le point k se trouvant alors dans l'intérieur du cercle, il est impossible géométriquement aussi, de lui mener des tangentes par ce point. Néanmoins, dans le même cas, l'analyse fait voir que le centre I, du cercle conjugué à (c), n'a pas cessé d'exister, quoique ce cercle ou son rayon soit devenu imaginaire. La raison en est que le point i est lié à k par une relation algébrique qui subsiste quelle que soit la position de la droite PL à l'égard du cercle [c).

En effet, si par un point quelconque de cette droite PL, on mène deux tangentes au cercle (e), la corde de contact passera toujours par le point i. Or cette construction reste possible, même quand la droite PL rencontre ce cercle ; seulement les cordes de contact se rencontrent alors en dehors de sa circonférence.

Quoique la section sous-contraire cherchée ait un rayon imaginaire, il n*en est pas moins vrai, analytiquement parlant, que toute propriété dont elle jouit quand ce rayon est réel , mais relative seulement à la disposition des parties de la figure ei non à leur grandeur absolue, ne cesse pas d'être vraie à l'égard

du cercle (c) el de la droite PL : tant que le point k sera situé au dedans de [c], la solution sera imaginaire; mais dès que ce point, ayant parcouru le diamètre ab en entier, sera sorti du cercle par le point by le problème redeviendra possible ou la solution réelle comme auparavant.

Ainsi, un changement de position de la droite PL, rend la solution alternativement réelle ou imaginaire, et il n'en est pas moins vrai, comme je l'ai dit, que toute propriété descriptwe, concernant la situation, la direction indéfinie des lignes et non leur grandeur, dont la figure jouit dans Tune de ses positions, subsiste quand on change la disposition relative de la droite et du cercle.

Cela résulte d'un principe tacitement admis par beaucoup de géomètres, mais non jusqu'ici démontré ou explicitement, exactement établi.

Au surplus, cette généralisation, cette extension n'est autre que celle que l'analyse indéterminée porte avec elle dans toutes les questions où il ne s'agit que de propriétés de posi* tion ou de situation.

En effet, quand on met un problème géométrique de eetle nature en équation, on part d'une position toute particulière de la figure, et les résultats qu'on obtient sont vrais pour toutes les dispositions possibles qui remplissent les mêmes conditions ; car les résultats auxquels on est parvenu ne laissent absolument aucune trace de la disposition primitive; les signes et les lettres s'étant disposés sous une forme générale et invariable.

C'est cette grande généralité de l'analyse, qu'on doit pouvoir procurer dans les mêmes circonstances aux démonstrations de la géométrie, qui a justifié cette expression de puissance de l'analyse. Il semble qu'on n'ait pas assez prouvé celte puissance; on y croit, mais cela suffit-il? Peut-être cette propriété, qui lui vient de la convention même établie sur les signes algébriques, est-elle très-difficile à démontrer en toute rigueur. Aussi les premiers géomètres qui s'en sont servis, el Newton lui-même, ont-ils eu toujours le soin de faire suivre chaque démonstration analytique d'une démonstration synthé^ tique. Cette preuve, répétée souvent, donne toute la confiance imaginable; mais est-elle d'une certitude absolue?

DES SIMPLES œNIQUES. va5

Dans le cours d'un calcul , il arrive souvent que certaines expressions qui y entrent implicitement, sont nulles, infinies» imaginaires, ou prennent toute autre forme : on continue le calcul sans s'en douter, et Ton trouve une équation qui n'en laisse aucune trace; la suite des opérations, qui n'est autre chose qu'un raisonnement tacite, est donc appuyée sur des considérations d'infinis, d'imaginaires, etc., et cependant les conséquences sont vraies.

il n'en est pas de même de la géométrie, telle qu'on a coutume de la considérer; comme tous les raisonnements, toutes les conséquences, ne peuvent être appréciés, saisis par l'esprit qu'autant qu'ils se peignent à l'imagination par des objets sensibles, dès que ces objets manquent, le raisonnement s'arrête.

Je vais, d'après Monge, fournir de ce que je viens de dire, un exemple remarquable.

Soient une surface du deuxième degré et une droite placée arbitrairement dans l'espace; que par cette droite on imagine deux plans tangents à la surface, ces deux pians auront chacun un point de contact aveq la surface. Maintenant, qu'on mène d'un point quelconque de la droite donnée, un cône ayant son sommet en ce point et tangent à la surface proposée, ce cône sera évidemment tangent aux deux plans ci-dessus déterminés; donc les points de contact de ces plans avec la surface proposée seront situés sur la courbe de contact du cône et de la surface du deuxième degré, et, par suite, le plan de cette courbe passera par la corde qui joint les deux points de contact.

La même chose aura lieu pour tous les cônes tangents dont les sommets seront situés sur la droite donnée. Donc, si l'on imagine une section quelconque faite dans la surface par un plan qui contienne la droite proposée, cette section donnera une courbe du deuxième degré pour la surface et deux droites tangentes à cette section pour le cône, droites qui viendront se couper sur celle des sommets : la corde de contact étant l'intersection de ce même plan avec celui de contact du cône, devra passer dans toutes ses positions par un point unique, intersection de la droite commune à tous les plans de contact des cônes avec ce même plan fixe.

De là ce théorème aujourd'hui bien connu : Si, des diffé-

laÔ IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

rents points d'une droite donnée ML, on mène deux tangentes

à une courbe du deuxième degré, les cordes respectives tt,

Fig. 56.

f t'y etc., des couples de points de contact passeront toutes par un même point 0.

Tant que la droite ML est située au deliors de la courbe, cette proposition est une conséquence du raisonnement précédent, mais cela n'a plus lieu quand la droite traverse la courbe de part en part; car alors il sera impossible de mener, de la droite des sommets, deux plans tangents à l'ensemble du cône et de la surface du second degré. Mais cette restriction ne se présente nullement lorsqu'on traite la question par l'analyse des coordonnées, dont les résultats sont indépendants de la réalité des intersections, des contacts ou autres affections des lignes et des surfaces de la figure.

On vérifiera ce fait directement, en mettant en équations, soit le théorème de Monge, qui vient d'être énoncé, soit divers autres théorèmes non moins élégants, relatifs aux intersections et aux contacts des cercles et des sphères : le 1" Cahier [Lemnies], nous en offrirait d'ailleurs des exemples simples et remarquables, si c'était ici le lieu de s'y arrêter. Il nous suffira de faire observer que les difficultés dont il s'agit tiennent à des conditions ô*imaginarité ou d'impossibilité relative. Lorque, au contraire, l'impossibilité est caractérisée par des conditions contradictoires ou incompatibles, elle est absolue, et il serait illogique autant qu'absurde de vouloir en rien conclure de réel et de vrai, géométriquement parlant.

Je me bornerai, pour le moment, aux principes de projection centrale qui précèdent; par la suite, quand il sera nécessaire d'avoir recours à de nouveaux principes, j'en donnerai la démonstration en particulier.

DES SIMPLES œNIQUES. 127

Je vais commencer par appliquer ces principes à des propositions déjà connues; j'en présenterai ensuite de toutes nouvelles. Il ne sera pas question d'ailleurs des propriétés rela> tives à un système de lignes droites isolé, parce qu'elles ne sont, pour la plupart^ que des cas particuliers ou simples corollaires de celles des courbes du deuxième degré.

PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES, DÉJÀ CONNUES (1810), DES CONIQUES ET DBS SYSTÈMES DE DROITES QUI s'v RAPPORTENT.

/. — Triangles inscrits et circonscrits aux coniques.

Soîl une courbe du second degré et un triangle circonscrit à cette courbe; si Ton joint les trois points de contact par des lignes droites, on formera un triangle inscrit dans la courbe; je dis que les côtés opposés de ces triangles iront se couper respectivement en trois points qui seront en ligne droite.

En effet, ABC [fig. 67) étant le triangle circonscrit et abc le triangle inscrit, K et L les points de concours des côtés oppo-

ses AC ei ac, BC et bc, soit menée par ces deux points la droilç KL, D'après le Princ. IV, on pourra regarder la courbe comme la projection d'un cercle et la droite KL comme celle d'une droite dont tous les points sont situés à l'infini; donc les côtés

i'jlS IIP CAfflER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

opposés AC et acy BC et bc deviendront respectivement parallèles entre eux dans cette projection; ce qui donne Heu à la Jig. 58 où le côté ac est parallèle à la tangente AC et le côté bc parallèle à celle BC.

Puisque eu: est parallèle à la tangente AC, et que la courbe est un cercle, l'arc bc sera égal à ab. Pareillement, puisque bc

Fig. 58.

est parallèle à BC, Tare ab est égal à ac; donc bc=^ab = av, et par conséquent, le troisième côté ab est aussi parallèle à la tangente opposée AB; donc, d'après le Princ. III, la projection de ces deux lignes droites et celle des deux autres couples acy AC, 6c, BC seront telles, que leurs points de concours respectifs seront situés sur une même ligne droite.

Ainsi, comme cela a d'abord été énoncé, les trois côtés AB, AC, BC [Jig. 57), du triangle circonscrit ABC, et ceux qui leur sont respectivement opposés dans le triangle abc, se rencontrent en trois points K, I, L situés en ligne droite. On voit, de plus, que si Ton joint chaque sommet du triangle extérieur avec le point de contact qui lui est opposé, par une ligne droite, les trois droites ainsi obtenues, se couperont en un même point 0; car la Jig. 58 montre que le triangle abc étant équilatéral, la droite B6, qui a deux de ses points B et 6 également distants des extrémités a ei c, est perpendiculaire sur le milieu de la corde ac, et passe par conséquent par le centre du cercle 0. Pareille chose ayant lieu pour les deux autres droites A a et Ce, il en résulte que les projections de ces trois lignes droites (Jig. 57), passent aussi par un même point qui est la projection du centre 0.

DES SIMPLES œMQUES.

// et IIL — Quadrilatères inscrits et circonscrits.

Préliminaires. — Soil [Jig. Sg), une section conique; ABCD un quadrilatère quelconque inscrit dans cette courbe; soit KL

Fig. 5().

la droite qui joint les intersections des côtés respectivement opposés, on pourra regarder (Princ. IV) la courbe comme la projection d'un cercle, et la droite KL comme celle d'une droite dont tous les points sont à Tinflni, en sorte que, dans cette nouvelle projection [fig. 60), les côtés opposés du quadrilatère seront parallèles, et par conséquent ce quadrilatère

Fig. 60.

sera un rectangle abcdy inscrit au cercle de centre 0, et si Ton mène aux extrémités d'une même diagonale aCy deux tangentes fg et ie à ce cercle, elles seront parallèles : il en est ainsi encore des tangentes fe et gi^ menées aux extrémités b et dj de l'autre diagonale du rectangle inscrit abcd. Ces quatre tangentes se couperont respectivement sur les

i3o m* CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTy/ES

diamètres /i et eg, parallèles aux côtés respectifs ad et ab du rectangle ; elles passeront, comme on le voit» par le centre O aussi bien que les deux diagonales ac et bd, et, si Ton mène aux points t et t' où fi rencontre le cercle, deux nouvelles tangentes mm' et nn\ elles seront parallèles entre elles et aux côtés ab et cd du quadrilatère : pareille chose a lieu à Tégard des tangentes menées aux points d'intersection 9 et B\ de la droite eg avec le cercle. Si Ton joignait les sommets opposés p et A' du rectangle formé par les tangentes en /, /', 0 et ô', par une ligne droite pA', il est clair qu'elle passerait par le centre 0; il en est de même de la diagonale p'h. On voit encore que les points m et n, m' et /i', rencontres des tangentes en / et /' avec les tangentes aux extrémités des côtés opposés arf, bc du rectangle inscrit, sont situés sur deux lignes droites mn et m' n parallèles entre elles et à ces côtés, etc.

Maintenant, si l'on remet la figure en projection sur l'ancien plan de la courbe donnée, toutes les droites mn, /?A, «rf,yi, èc, /?' A' et m' n' parallèles entre elles, concourront en un même point ; il en sera ainsi des parallèles pp', ab, ge, cd, AA'. Pareillement, les deux tangentes^ et ei aux sommets opposés a, c concourront en un point, aussi bien que les deux tangentes fe et gi aux sommets A, rf, etc., etc. Or les points de concours de ces différents systèmes de parallèles seront tous rangés sur une même ligne droite (Princ. III). De plus, si trois ou plusieurs points se trouvent situés en ligne droite dans la^g". 6o, ils le seront également dans la projection, et si trois ou plusieurs lignes droites viennent passer par un même point de cette figure, elles passeront encore par un même point dans la projection.

De là résultent, entre autres, les propriétés exprimées par la figure ci-après, où l'on suppose que la courbe abcd représente une ligne quelconque du deuxième degré.

Conséquences. — Elles sont la plupart déjà connues; c'est pourquoi je n'y insisterai pas.

Supposons en particulier (Jig, 6i ), qu'on fasse varier de position la tangente /e en/' e', elle viendra couper les diagonales fi et ge du quadrilatère circonscrit fgie, censé fixe, en deux peints /' et e' également variables; or il est facile de démon-

DES SIMPLES œNIQUES. i3t

trer que si, de ces deux points considérés sur la Jig, 60, on menait deux tangentes au cercle correspondant à la conique, ces tangentes seraient parallèles, quelle que fût la position de la tangente variable e'f\

Donc si, dans la^ïg*. 61 , on fait varier, en <?'/', la position de la tangente <?/, et que des points/' et e* où elle coupe les droites fixes// et ge, on mène de nouvelles tangentes à la courbe, relles-ci iront se couper en 1' sur une autre droite fixe KIL.

De là il suit également que, si l'on fait varier c' en a', la corde

ac du quadrilatère abcd^ autour du point 0 de croisement commun des diagonales de ce quadrilatère et du circonscrit fgicy puis que, par les extrémités a' et c' de cette corde, on mène des droites aux points fixes K et L, appartenant aux diagonales fi et g-e, ces droites, en se coupant, décriront la conique abcd.

En effet, les cordes de contact 6c, b' c', etc., correspondantes aux points e, e', etc., de la droite egK^ passeront toutes par un même point ou pôle L, d'après une Proposition déjà

i3a m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

démontrée ci-dessus. Pareillement, les cordes de contact ab, a'b'y correspondantes aux points de la droite fixe/iL, passeront par l'autre point ou pôle K; et, puisque les points mobiles V sont situés sur la droite KL, il est clair que les cordes ac, a' c' passeront aussi toutes par le même point O.

Pour rendre la chose plus claire encore, nous l'exprimons sur une figure détachée (62).

Fig. 6i.

Tant que la disposition des côtés du quadrilatère inscrit a6c^ restera telle qu'on l'a supposé dans les figures précédentes, la droite KL sera toujours située au dehors de la courbe, et par conséquent la projection dont il a été question restera, dans les mêmes cas, possible; mais cela pourrait cesser d'avoir lieu si l'on changeait la disposition des côtés successifs a6, 6c, cdj da* Néanmoins les théorèmes précédents continueront à exister, d'après les considérations déjà exposées au n^ II de ce 111* cahier- On conçoit en effet, que, si Ton soumettait la question à l'analyse, les conséquences, formules ou équations auxquelles on arriverait ne conviendraient pas plus au cas où la droite KL cesse de rencontrer la courbe qu'à celui où elle la coupe effectivement, puisque les résultats auxquels on parviendrait seraient algébriquement, indépendants de telles circonstances.

isa

IF. — Système de sécantes issues et un même point.

Soit bb'tc'c [fig. 63) une courbe quelconque du second degré; supposons que, d'un même point a, on mène les sécantes arbitraires abc, aV c y etc.; qu'ensuite on joigne, deux à deux, leurs intersections avec la courbe, par de nouvelles lignes

Fig. r>3.

droites, les points de croisement o, a', etc., /, i', etc., de ces droites respectives seront tous situés sur une dernière droite qui passera par les points t et /' où les tangentes ai et aV menées du point a, touchent la courbe proposée.

En effet, cette courbe peut être regardée comme la projection d'un cercle et le point a comme la projection d'un point situé à l'infini (Princ. IV), et, par conséquent, toutes les sécantes abc y ab'c'y etc., seront devenues des droites parallèles; ce qui donnera la figure suivante.

Les sécantes étant ainsi des cordes parallèles 6c, 6V, etc., toutes perpendiculaires sur un même diamètre //', qui les

Fig. 6î.

divise en deux parties égales, si l'on joint, de toutes manières, les extrémités 6, b'y c, c' de deux cordes quelconques, par des

i34 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

lignes droites be* et c6', 66' el ce', les deux points o et /, intersections respectives de ces droites, seront situés sur le diamètre //', et Ton voit, de plus, que les deux tangentes aux extrémités / et /' de ce diamètre, seront en effet parallèles aux sécantes 6c, 6'c' etc.; donc la propriété énoncée est vraie.

Corollaires et cas particuliers, — Cette proposition fournit un moyen bien simple de mener, par un point extérieur à une section conique, une tangente à cette courbe, quand on la suppose décrite. Au reste, elle pourrait être aussi considérée comme une conséquence immédiate de la précédente, relative aux quadrilatères inscrits et circonscrits.

Le système de deux lignes droites pouvant, d'autre part, être considéré comme un genre particulier de coniques, il est clair encore que cette même proposition lui est applicable directement.

Ainsi que, d'un point a pris dans le plan de deux lignes

droites données 66', ce', on mène tant de sécantes ac, ac', etc., que Ton voudra, coupant ces droites aux points respectifs b et c, 6' el c', b'' et c", etc.; puis, qu'on joigne ceux-ci, deux à deux, par de nouvelles lignes droites, elles viendront se couper en des points o, o', a", etc., tous rangés sur une dernière ligne droite passant par le point de concours 1, des deux premières 66' et cc\

Cette propriété, ainsi que les précédentes, a lieu quelle que soit la position du pointa, par rapport à la conique proposée; elle fournit, comme on voit, un moyen très-simple pour résoudre ce problème :

« Par un point a, donné à volonté sur le plan de deux droites )> 66", ce", mener, sans se servir du compas, une autre droite » qui passe par le point de concours des premières. »

V et VI, — Hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques.

Soil {Jig. 66), une courbe du second degré et abcdef un hexagone quelconque qui lui est inscrit; soient prolongés les côtés opposés ab et rfe, bc et /<? jusqu'à leurs rencontres respectives en K et L ; soit, de plus, menée la droite KL ; on pourra

Fig. 66.

considérer la courbe comme la projection d'un cercle, et la droite comme celle d'une autre droite dont tous les points sont à l'infini (Princ. IV). Donc, dans cette projection, les côtés opposés ab et de^ bc et fe seront respectivement parallèles ; ce qui donnera lieu à la figure suivante.

Fig. 67.

Puisque ab est parallèle .à de^ l'arc bcdz=:afe; de même,

i36 IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

puisque bc est parallèle kfe. Tare crfe = arc baf; donc

afe -h cde = />6* J -h ifl/*,

ou, ce qui revient au même,

af-i-fe -{- ed -k- dc^=bc -\- cd -{- ab -{- afy

el, par conséquent,

yî? + erf = ai -h 6c ;

donc aussi, puisque Vdircfed est égal à abc, le côté a/* est parallèle à cd. Donc enfin ces côtés doivent se couper sur la droite KL dans la^g^. 66 (Princ. III), et il en résulte ce théorème général :

Si l'on prolonge les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une courbe du deuxième degré, leurs points d'intersection respectifs seront rangés sur une même ligne droite {*),

Supposez, ensuite, que Ton mène une tangente à la courbe en chacun des sommets a, 6, c, rf, e, / de l'hexagone inscrit, ces tangentes formeront par leurs rencontres consécutives un hexagone mnpqrs circonscrit à la courbe. Si Ton mène semblablement des tangentes aux différents sommets du polygone inscrit dans le cercle [fig» 67), on formera un polygone circonscrit à ce cercle, qui sera la projection du premier. Or, en considérant deux cordes opposées ab et ed, il est clair qu'étant parallèles, le point q d'intersection des deux tangentes qe et qd, menées aux extrémités de la corde ed, et le point m où se coupent les deux tangentes ma et m6, menées aux extrémités de l'autre corde ab, seront situés sur une ligne droite passant par le centre 0 du cercle : les deux sommets r et » sont pareil-

(*) C'est là le célèbre théorème de V/iexagramme mystique attribué à Pascal, ce que j'ignorais ou avais complètement perdu de vue en 181 3, théorème depuis démontré tant de fois et de tant de manières différentes ; mais, d'après l'avertissement qu'on trouvera reproduit dans une note finale de la page i43, je me contenterai de renvoyer, pour tout ce qui concerne la critique historique relative aux matières de cette sect. If, aux écrits initiateurs de Brianchon (i8o5 à 18 10) et au Traité des Propriétés projrctives des figures (i8'i'2).

DES AMPLES CONIQUES. iB;

lement silués sur un même diamètre, ainsi que les deux sommets opposés p et s. Donc enlin, si l*on remet cette dernière figure en projection sur le plan de la première, il en résultera ce nouveau théorème :

DcLns tout hexagone circonscrit à une courbe du deuxième degré, les trois diagonales joignant les sommets opposés, se coupent en un même point.

C'est le beau théorème découvert par M. Brianchon.

Remarque particulière. — Si Ton eût prolongé les couples de côtés alternants de l'hexagone inscrit {Jig. 67) jusqu'à leurs rencontres mutuelles, on eût formé deux triangles ABC, A'B'C (non tracés), se recoupant aux sommets de l'hexagone et dont les côtés respectivement opposés eussent été parallèles entre eux. Donc a les trois droites BB', CC, AA', joignant leurs som- » mets homologues, se fussent croisées en un même point. » (Cah. I, Lemme général, p. 3. )

Pareille chose aurait donc lieu pour la fig. 66, si l'on y exécutait les constructions analogues (*).

[*) Le manuscrit est ici accompagné d'une figure que j'ai, mal à propos peut-être, supprimée à l'impression pour ne pas trop multiplier le nombre des planches; et, chose qui mérite d'être remarquée au point de vue philosophique de l'incertitude inhérente à Tëclosion des idées, cette figure et sa démonstration ont été indiquées comme douteuses. Or, bien qu'elles concernent des théorèmes au fond dignes d'intérêt, ces théorèmes ne sont pas même mentionnés dans le Traité des Propriétés projectiles j ni, si je ne me trompe, dans aucun des nombreux ouvrages de géométrie pure qui se sont succédé depuis 1822, quoiqu'ils donnent lieu à ce simple et él^nt énoncé :

c Quand les côtés de deux triangles quelconques s'entrecoupent sur le » périmètre d'une conique, les trois lignes droites qui joignent leurs som- » mets respectivement opposés, convergent en un même point. »

Ce qui conduit, par la t/iéorie des polaires réciproques (181 7), à cette proposition inverse, d'une démonstration directe tout aussi facile :

« Quand deux triangles quelconques sont circonscrits à une conique » donnée, les points de concours des côtés respectivement opposés sont 8 sur une même ligne droite. »

Comme on le voit , ces énoncés sont une [)ure extension de théorèmes élémentaires bien connus, et reproduisent, sous une forme différente, les iKlmirables Propositions de Pascal et de Brianchon.

^//. — Tracé des coniques par points, détermination

des tangentes en ces points.

Soil ABCDEF [Jig, 68), un hexagone inscrit à une courbe du deuxième degré; d'après ce qui précède, si Ton prolonge les côtés opposés jusqu'à leurs rencontres respectives en K, I et L, ces trois points seront en ligne droite. Supposons les cinq points E, F, A, B, C fixes, et le point D variable, le point l sera fixe ainsi que les deux droites AB et AF, mais les points K et L seront variables, et la droite qui passera par deux de ces points correspondants à la même position du point D, passera constamment par le point ï. Donc, si l'on imagine que ce soil

la droite KL qui varie autour du point I, les points D, D', etc., correspondants aux diverses positions de cette droite, seront tous situés sur la courbe du deuxième degré qui passe par les points donnés E, F, A, B, C, au nombre de cinq.

Cette propriété offre , comme on le voit, le moyen de « dé- )ï crire par points, la section conique qui passe par cinq points n donnés arbitrairement sur un plan. »

Imaginons, de plus, que le point générateur D, vienne se confondre avec le point E, la droite DE deviendra tangente à la courbe et la droite DC prendra la direction CE; prolongeant CE jusqu'à sa rencontre en L' avec la droite AF qui renferme lous les points L; joignant le point V avec le point I par

la droite IL', celle-ci viendra couper AB en K% qui sera le point où la tangente en £, rencontre AB; donc, si Ton joint ce point E et le point K% on aura la tangente au point £.

Cette construction fournit, comme on le voit encore, un moyen très-simple de a mener à une courbe du deuxième de- » gré, une tangente en un point, déterminé quand on en con- V naît quatre autres donnés ou choisis à volonté sur son péris mètre. »

On remarquera que la dernière propriété relative au pentagone inscrit ABCEF et à la tangente en Tun de ses sommets E, est une conséquence immédiate de ce qui a été dit sur l'hexagone inscrit aux coniques, et aurait pu se démontrer directement, de la même manière.

FUI. — Tracé des coniques par tangenteSy détermination

des points de contact.

Soit maintenant Thexagone circonscrit mnpqrs [Jig, 66); si l'on imagine que le sommet y? soit placé sur le périmètre même de la courbe, les deux côtés pn et pq se confondront en un seul, et l'hexagone deviendra [fig. 69),. un pentagone circon-

scrit m'n'q' 1^ s'y la diagonale sp devenue s'p'^ passera par le sommet s' et le point de contact p* du côté opposé n'q' : les deux autres diagonales étant toujours nV, m!q' et ces trois droites se coupant, comme dans les^îg*. 66 et 67, en un même point o'.

Donc, en général, « dans un pentagone circonscrit à une * courbe du second degré, la droite 5' />', qui joint un sommet

i4o Iir CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

» quelconque avec le point de contact du côté opposé, et les » deux diagonales m'g', /iV relatives aux quatre autres som- » mets, se coupent toutes en un même point o'. »

Si Ton se donnait, à volonté, un pentagone, et qu'il fallût trouver la courbe du deuxième degré qui y est inscrite, on déterminerait facilement les cinq points de contact des côtés avec la courbe au moyen de la propriété précédente; ensuite ayant cinq points de la courbe, on pourrait la décrire par points comme ci-dessus; art. VU (*).

Remarques diverses. — La propriété du pentagone circonscrit qui vient d'être déduite de celle de l'hexagone circonscrit, aurait pu être démontrée directement comme cette dernière.

On pourrait répéter sur ces mêmes propriétés, les réflexions déjà présentées plusieurs fois: savoir, que la droite KL peut être située au dehors de la courbe ou la couper, sans que ces propriétés cessent d'exister. Ainsi, quel que soit l'ordre des côtés successifs des figures précédentes, les propositions démontrées ne cessent pas d'avoir lieu géométriquement.

IX. — Le lieu du sommet libre d'un polygone plan, dont les autres sommets décrivent une conique donnée et les divers côtés tournent autour de pôles ou points fixes^ rangés en ligne droite, ce lieu est une autre conique.

Soit LMNOQL {fig. 70) une courbe quelconque du second degré ; A, B, G, . . . divers points ou pôles fixes rangés en ligne droite. Supposons que, par l'un de ces points, A par exemple, on mène arbitrairement une sécante AL, venant couper la conique en L et Q; qu'ensuite par l'un de ces points L, on mène la droite BL coupant la courbe de nouveau au point M; que l'on joigne pareillement ce point au pôle suivant C, et ainsi de suite jusqu'au dernier pôle E, je suppose, qu'il faudra joindre

(*) Le remarquable et fécond théorème de Briancbon, sur l'hexagone circonscrit aux coniques, donne aussi le tracé direct de ces courbes par les tangentes, dont il n'est pas fait mention ici, non plus que de beaucoup d'autres conséquences indiquées par Tauteur.

avec l'intersection 0» donnée par la dernière sécante NO. La droite £0 ira couper la première sécante AL, siifQsamment

Fig. 70.

prolongée, en un point P, qui variera en même temps que cette sécante; or je dis que la courbe ainsi engendrée sera aussi du second degré ou une conique.

En effet, on peut regarder la conique donnée comme la projection d'un cercle, et la ligne des pôles AD comme celle d'une droite à l'inOni (Princ. IV); donc les divers systèmes de droites qui primitivement concouraient aux pôles respectifs

de cette droite, seront autant de systèmes de parallèles dans la nouvelle figure. Cela posé, nommons a et p les coordonnées du point générateur ; x' et/', oc" ety,. . ., les coordonnées inconnues des divers autres sommets du polygone mobile LMNOP, sommets que nous conviendrons de designer par les lettres respectives j/, x^ ^ . . . , et qui sont censés correspondre à une position particulière du sommet P ou a. Soient, de plus, a, h^ c,..., m, n les tangentes trigonométriques des angles constants de chaque système de parallèles ou côtés respectifs du polygone, avec l'axe des x\ r le rayon du cercle ; l'origine des axes

i4a HI* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

élanl placée à son centre G, on aura les équations de condition

Dans ce tableau, la première équation de la colonne (c), par exemple, est obtenue en retranchant Tune de l'autre les équations I et 2 de la colonne (a), et subsiituanl dans le résultat la valeur de y — y" tirée de Téquation correspondante f — y=:b{x' — x") de la colonne (6), et ainsi du reste.

Il faudra éliminer x' ei j', x" et j", . . . entre toutes ces équations, et Téquation en a et p, ainsi obtenue, sera celle de la courbe lieu des sommets a.

Le nombre des abscisses x\ x^y... étant n, les équations («) seront également au nombre dew, et celles de la colonne (b) au nombre de /i + i . Or le nombre total des variables inconnues étant 271-1-2, il y aura une équation en a et p seuls, résultante de Télimination.

D'un autre côté, les équations [c] étant évidemment au nombre de n — i seulement, elles pourront remplacer le système des équations (a), à rexceplîon de la première x'^'^f^=r^; et, puisque les coefficients de a, p,x',/', a:", y,... dans les équations [b) et [c) sont tous constants, il est clair qu'on en pourra tirer les valeurs de x* et y du premier degré en a et p. Donc si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (i), on obtiendra pour résultat final, une équation en a et ^ du deuxième degré qui sera celle du lieu cherché.

Observations finales.

Par la suite, nous aurons à revenir sur quelques-unes de ces questions, et en particulier, pour la dernière, nous ferons connaître les positions relatives du cercle et de la conique.

DES SIMPLES CONIQUES. i43

Toutes les propositions précédentes, d*allleui*s, sont connues, et appartiennent en grande partie à M. Brianchon, ancien élève de TÉcole Polytechnique (*).

Sl'R LE LIEU DU SOMMET LIBRE d'cN TRIANGLE CIRCONSCRIT A UNE CONIQUE DONT LES AUTRES SOMMETS GLISSENT SUR DES DROITES DONNÉES DANS SON PLAN.

Solution purement géométrique.

Soit (C) une courbe quelconque du second degré (Jig, 72}, AM et AN deux droites prises pour directrices dans son plan ;

Fiç. 72.

soit menée une tangente arbitraire X'X" à cette courbe; par les points X' et X", où elle rencontre AM et AN, soient, de plus, menées les deux autres tangentes X'a, X"a, qui viennent se couper en un point quelconque a, troisième sommet du triangle variable aX'X''; quelle sera la courbe engendrée par cesommet, en supposant que l'on fasse varier la tangente X'X" tle toutes les manières possibles?

(*) ^oy. les premiers volumes (i8o5 à 18 10) de la Correspondance et du Journal de V Ecole Polytechnique, Écrivant pour moi-même en 181 3, ioin de mon pays et d'après de vagues souvenirs, je ne pouvais faire la part exacte de chaque inventeur; mais je m'en suis, je pense, suffisamment elconsciencieusement dédommagé en 1822, parla publication du Traite des fmprictés pmjectives des Jfgures. C'est pourquoi, je le répèle, je mo dispense ici d'entrer dans aucun détail de critique historique, afin do ne pas inutilement multiplier les notes de ce livre.

i44 IIP CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Puisque le point X' est assujetti à parcourir la droite AM, la corde de contact xx' des tangentes qui lui correspondent sur la courbe^ passera dans toutes ses positions par un même point ou pôle fixe m. Pareillement, la corde xx^ relative à X'' passera toujours par un pôle fixe /i, conjugué à AN. Cela posé, d'après le Princ. IV, on peut regarder la courbe (C) comme la projection d'un cercle et les points m, n comme celles de deux points situés à Tinfini ; donc, dans cette projection, toutes les cordes xx' seront parallèles entre elles, ainsi que les cordes xxi, et la question se trouvera ramenée à celle-ci :

Soit [Jig'']^) un cercle donné (C) ;par un point quelconque x de ce cercle soient menées deux cordes xx* et xxi, la première parallèlement à une droite donnée, et la seconde parallèlement à une autre droite également donnée; par les extrémités x' et Xt soient menées deux tangentes au cercle> qui viendront se couper en un point a; quelle sera la courbe engendrée par ce point, en supposant qu'on fasse varier le sommet x de l'angle x' xxt, en lui faisant parcourir la circonférence de (C)?

Puisque les deux cordes xx' et xxi restent constamment parallèles aux droites données, il est clair que l'angle en x^ sera constant; donc la corde x*Xi sera aussi constante pour toutes

Fig. 7.3.

les positions du point a, et par conséquent ce point, se trouvant toujours à une même distance du centre C, parcourra une circonférence de cercle concentrique à la première.

On conclut de là que la courbe engendrée par le point a dansla^ig^. 72, est généralement une conique, quelle que soit la position des pôles m, n et des directrices AM et AN : cette courbe n'étant ni concentrique ni semblable à la proposée (C), puisque la projection se fait par des cônes obliques.

Remarques. — On voit combien cette question a été résolue

DES SIMPLES œNIQUES. i45

facilement au moyen des considérations géométriques précé* dentés, qui apprennent, de plus, que la corde x' x^f troisième côté du triangle inscrit xa/ x^ et conjuguée au sommet oc, roule en enveloppant une troisième section conique.

Si l'on voulait traiter la même question dans toute sa gêné* ralité par l'analyse des coordonnées, on serait jeté dans des calculs ou éliminations d'une longueur rebutante. Je vais cependant le (aire, non pour donner à la première démonstra* tion une plus grande certitude, dont elle n'a pas besoin d'après ce qui a été établi au commencement de ce IIL" Cahier, mais bien pour mettre en mesure de préciser exactement la forme et la position du lieu cherché. J'en donnerai même plus d'une solution, pour montrer comment les moyens souvent employés pour résoudre analytiquement les problèmes de cette espèce peuvent introduire des solutions étrangères à la question; ce qui nous servira parla suite.

Première solution analytique*

Rien n'empêche de supposer, pour la simplification des formules, que la courbe donnée (C) soit un cercle ; car il y a une infinité de manières de déterminer un point projecteur et un plan de projection, tels que cette condition ait lieu (Prlnc. I).

Soient [Jig. 74) AM, AN et (C) les deux droites données ainsi que le cercle, la question revient évidemment à celle-ci :

Quelle est la courbe telle que, si d'un point quelconque a,

de cette courbe, on mène au cercle (C) deux tangentes aX'

i46 111*= CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

et aX'', dont l'une vient couper la directrice AM au point X', et l'autre la directrice AN au point X", la droite X'X" soit constamment tangente à ce cercle?

Je place l'origine des coordonnées a? et j, a et p en C, et je donne à Taxe des x la direction AC. Cela posé, soit r le rayon du cercle et a la distance AC; supposotis, de plus, que les abscisses de chaque point soient représentées par les lettres de la figure, on aura pour les équations du cercle,

celle de la directrice AM sera représeniée par (i) y=zkx — Aa,

et celle de la seconde directrice AN par (2) j=:Bx — Ba.

L'équation d'une tangente menée par le points', sera, d'autre part,

yy* -\-xx* = r*;

cette tangente passant par le point a, on a également

Pour obtenir les valeurs de x* et de y^ correspondantes au point a, il faudra combiner cette dernière équation avec celle du cercle ou a/*4-j/2 = r*; d'où Ton tirera les doubles valeurs

Prenant les signes supérieurs pour x* et y et les signes inférieurs pour Xi et ji ; observant que l'équation d'une tangente au cercle en x\ menée par a, est, en général.

DES SIMPLES CONIQUES. t^y

substituant les valeurs de x' et >-' trouvées, on obtient, pour l'équation de la tangente aX',

x — a=:- J \ ^- =ir-'^]y

Cl, pour colle de aX", Faisant, en vue d'abréger,

ra -f- p Va* -f- P' — r* ra — p v^a^ -h P' — H

les équations des tangentes aX' et aX'^ deviendront

qu'il faudra combiner respectivement avec les équations (i) et (2) afin d'obtenir les coordonnées X', Y' et X", Y" des points d'intersection X' , X" ; ce qui donnera

^- ,-f.AK- ' ^^ TTbT '

les valeurs de Y' et Y" ne sont pas nécessaires, comme on va le voir, pour les résultats du calcul.

Pour que X' X'' soit tangent au cercle ( C), il faut satisfaire à I équation de condition

(X'Y"-Y'X")' = /^[(X' — X")'+ (Y' — Y'')=]. Or on a, d'après les conventions et notations ci-dessus,

Y' = AX' — Aa, Y =:BX' -A/ï; donc l'équation de condition devient

i [(B~A)X'X"-ri(BV-AX";p

' ' î =r'S(X'-X"j^-h[AX'~B\"-ri(A-n;l^}.

( f'^nj'f*z In s ta te au tableau ci-aprèx,)

i4B UI« CAHffiR. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

La seconde de ces équations peut, à son tour, être décom-4s termes posée en deux facteurs p — Aa — ka et p — ,Ba — Ba, qui,* égalés séparément à zéro, donneront à sa place, ^es deu%-hr^ap{i équations suivantes : ÇÀB{^

p— Aa — Aa = o, p— Ba— Ba = o. :^^i?l

On reconnaît d'abord, que ces dernières équations sont celIet^lN^ des deux droites ou directrices AM et AN. Quant à réquatioi a' -H P* — r* = o, elle est celle du cercle (C), lui-même; or cejr»(A^Bi trois équations ne sauraient être que des solutions particu Itères de la question proposée; Téquation

r ( A — B) [au — r») -h ( ABa» — ABr»— r») ^«'-1- p* — r» = a?

est donc la seule qui convienne à cette question, du moins tell qu'on se Test primitivement proposée , et, comme on le voi| elle représente une courbe du second degré en a et p ; car, y faisant disparaître le radical, elle devient simplement {^^Iv^ôtT^T