SOUSTRACTION
La soustraction s'effectuera de mémoire comme l'addition ; il suffit pour obtenir le reste, sans être obligé d'écrire les restes partiels et successifs, de savoir retrancher les consonnes des consonnes et les voyelles des voyelles. En commençant par la gauche des
nombres, et en énonçant , chaque fois qu'on a retranché une lettre, le nouveau mot qui résulte de l'opération , on arrivera aisément jusqu'au reste des deux nombres.
Sapposoos donc que l'on sache soustraire respectivement les voyelles et les consonnes les unes des autres, et soustrayons les syllabes; soit da à retrancher de et : on retranche d'abord d de c, le résultat est v qui joint à t de et donne la nouvelle syllabe vi ; il Teste à retrancher a de t, ce qui donne e, et la syllabe devient ve. Si l'on devait soustraire du de ca, le reste des deux consonnes donoerait encore v et la syllabe deviendrait d'abord va ; mais comme il but retrancher » de a, ce qui ne se peut pas, on retirerait une ooiié de la consonne qui deviendrait d»; or, le reste obtenu en retranchant 6) de ba, étant c, Ja syllabe qui exprime le reste serait di , ^1) en effet, dfld<kK»p(la>a>ca.
Quand on sait faire le calcul de la soustraction sur une syllabe , 00 sait le faire sur un mot entier ou sur un nombre quelconque ; il ^ffili en effet, de retrancher les consonnes des consonnes et les ^^oyellesdes voyelles, en commençant par la gauche, et en observant l> correspondance des ordres d'unités, ce qui d'ailleurs est parfaitement désigné par les syllabes elles-mêmes.
Qn'onait à retrancher le nombre 43676 du nombre 56853, au-
Irement dit le mot adoca du mot uvyji ; de ce dernier, et d'abord
de b première lettre, nous retranchons la première lettre de adoc»^
^u lieu de uvyji nous avons donc ovyji dont il faut soustraire doca , ,
^--d^ ; ovyji devient donc obyji et le mot à soustraire oc« ; y— o
^ Ole résultat est donc maintenant oboji, et la dernière syllabe à
•^ïwiraire ca ; j— c cela ne se peut ; on prélève donc une unité sur
k dernier chiffre obtenu, et le mot devient obiaji , en se souvenant
que c'est de aj qu'on retire c ; comme le reste est t , le reste est
obiti ou obicbi, dont il faut encore retirer a ; on retire a de bi;
ce dernjer reste étant <, le mot cherché est obicc, c'est*à-dire que
Ï€ reste est 61377.
^oici deux autres exemples pour lesquels nous donnons les différents restes, c'est-à-dire les mots qui conduisent au résultat de l'opération ou au mot définitif :
!•' exemple : 69567 2* exemple : 663912
36785 /i365/il
1» De ofupg retranchons ipctu :
ofups, afupi, adupc, agbupe, agypi, agiaps, agils, agite •^Ipslu,— pUu, — «tu, —«tu, —tu, — tu, '— u,
Il reste : «igcte ;
2^ De podoibe retranchons vipuva :
podube, godrube, gada>be, g8ad(k>be, gt$coabe, g8cobe, gScIabe, gSdce — viputa, — Ipuva, — puva, — puva, — u?a, —va, —va, —a
Il reste : gscica.
On peut remarquer par ces exemples qu'en commençant par la gauche le système des emprunts se fait tout naturellement et par une décomposition toute simple du nombre dont on soustrait. Ce système abandonné aujourd'hui dans la pratique, parce qu'il oblige i\ faire des déductions sur les ordres du nombre à soustraire , et parce que la mémoire peut perdre de vue ces ejnprunts, est pourtant celui qui résulte régulièrement de la composition des nombres. L'autre méthode est un moyen artificiel qui , pour être plus rapide et plus sûr, est pourtant hors de la théorie dont la simplicité fait le mérite; elle semble prouver que la soustraction effectuée en commençant par la droite des nombres peut avoir des inconvénients. Notre procédé, en fournissant un mot nouveau pour la mémoire, ne peut jamais la mettre en défaut.
Par le procédé des emprunts ou de la décomposition du nombre le plus fort, on rencontre l'obstacle des zéros qui forcent à un travail plus compliqué pour cette décomposition ; en commençant par la gauche cet embarras disparait.
BIULTIPLICATION.
Pour effectuer cette opération de mémoire, il faut, comme pour l'addition et la soustraction , savoir faire le calcul des produits d'un seul chiffre avec les consonnes comme avec les voyelles.
Lorsqu'on sait la table des produits d'une voyelle par une voyelle, les produits des consonnes sont faciles à retenir : la consonne est toujours, en effet, analogue à une voyelle : d est analogue ki,vh o, tk y, etc. ; le produit de v parj ou par u revient donc toujours ' au produit de c> par u , c'est-à-dire à 20 (g8 ou eb). Celui de p par t est le même que celui de p par y, ou de a par r , ou , enûn , de « par y, c'est-à-dire Zi8 (vy ou ot). Or, comme on a dû s'exercer dans la numération à celte substitution de la consonne par la voyelle et réciproquement, il sera toujours Tacile d'arriver ou produit d'une lettre par une lettre.
U faut maintenant connaître le nom véritable du produit d'une leure par une lettre, puisque ce produit peut fournir un nombre de dizaines ou un nombre d'unités, autrement dit être terminé par une consonne ou par une voyelle. Or, lorsqu'on multiplie un nombre par les unités du premier ordre, les ordres du multiplicande ne se trouvant pas changés, puisque chaque ordre est répété un certain nombre de fois dans lequel il n'entre pas de dizaines, les produits seront alternativement voyelles et consonnes. Les autres ordres impairs du multiplicateur donneront également » en les multipliant par les unités du multiplicande, des ordres impairs, et, comme il y a alternativement voyelles et consonnes, chaque produit des lettres voyelles da multiplicateur se trouve ainsi complètement déterminé. Le produit des consonnes du multiplicateur par les unités du multiplicande donnant un ordre de rang pair, toute la série des prodoits de ces lettres sera aussi déterminée'. En examinant la manière dont cette loi se pratique sur deux nombres disposés pour obtenir un produit, on peut déduire cette règle :
ZS15U itcjo
6492 pofe
IjC pt-cduit de deux consonnes ou de deux voyelles donne toujours un ordre de rang impair (ou est terminé par une voyelle) ; le produit d'une consonne multipliée par une voyelle ou réciproquement donne toujours un ordre de rang pair (ou est terminé par une consonne I,
80 APPLICATION AUX SCIEISCES.
Ces notions préliminaires sont indispensables et suffisantes pour assurer de mémoire le produit d'un nombre multiplié par un nombre quelconque. Supposons d'abord que le multiplicateur soit formé par un seul chiffre et soit :
897653 , twcaji
3590612 ijubabe
En commençant par la droite, on dira: 8X^ (tXo) —32 (ou ig), le nombre tft>caji est donc devenu igwcaji ; 9X4 (w X o) =36 (ou doc), et le nombre devient igdacaji, ou, en contractant gd, ijoccaji; 7X4 (c X o) =28 (ou et), le nombre est donc ijaeteeji , ou, en contractant, ijytaji; 6 X 4 (« X ^) «==24 (ou go), et le nombre estijytgoji, et, par contraction, ijwhoji (1) ; 5X4 (j X o) «=20 (ou eh), le nombre devient ijeuhoehi, par contraction, ijwhcehî; enfin ,3x4(ixo) = i2 (ou be), le nombre est donc ijuhcdibe, et, en contractant , ij&>habe qui est le produit demandé.
Supposons maintenant' que le multiplicateur et le multiplicande aient tous deux plus d'un chiffre et soient :
84 to
X 49 X Va,
m 16 vaba
Commençant encore par la droite, nous formons le produit de 8 par 4 » ou t par V , il donne 32 , ou de^ que nous retenons mentalement ; 8 X 9 (t X cd) = 72 , ou cg , que nous joignons k de , nous formons ainsi deg ou d&jg ; 4 x 4 (v x o) = 16 , ou ap, da»g joint à ap forme doi>agp, et, en faisant la double contraction, v8t; 4 X 9 (o x «*>) =>36 , ou doc qui avec v8t forment v8tda ou vaba: ce dernier nombre est le produit cherché (2).
(1) g + 1 donnent ah : le nombre ijytgojl est donc yyahoji, ou, en contnc- Unt, U<uhoJI.
(2) Nous ne répétons pas, pour chacune des opéraUonsde mémoire, qne ce qui est long k écrire représente un calcul fait avec la plus grande rapidité ; les hommes d'expérience le comprendront sans peine ; pour les autres, les faits parleront plus tard.
Noos pouvons maiotenaot aborder les nombres les pins considérables, par exemple :
68495 atofu
X 9637 X fodf
6X9 (a X f) =56 ou uv; 8 X 9 (t X f) « 72 ou ce : uvçe ou obe ; ce produit que nous conservons dans notre mémoire est celui de 68 par 9 ; passant maintenant aux unités de troisième ordre , nous achèverons celui de 684 par 96 en ajoutant à abe les produits partiels que fournissent le 6 et le 4 qui appartiennent à cet ordre d*QDilés : 6 X 6 (« V «) s=36 ou da ; ce produit joint à abe donne a?y; 8}x 6 (t X a) «a48 ouot; ce résultat joint à avy donne ajet; de même 4 x 9 (« x f ) =» 36 ou ip joints à «jet produisent «jecv ; enfin, ce dernier avec go, qui résulte de 4 x 6 (o x a), donnera «japo.
Parvenus aux unités du deuxième ordre, 9 et 3 (f etd), nous allons joindre à notre résultat tous les produits des ordres supérieurs auxquels ces deux chiffres donnent naissance : 6 x 3 (a x d) B=i8 on ac; ce nombre, joint à la syllabe «p de «japo, forme le sonveau nombre (ojoatpo, ajctpo) ajyvo; en ajoutant 8 x 3 (t x d) «24 ou go, il vient (ajyvgoo, ajypoo) «jypy; puis de 9 x 9 (f X f)=»81 ou ta, on forme (ajyptay, ajwvay) «jwvw; 3 x 4 (o x d) «12 ou ag, donnent (aj(iaVû>ag) ajwjHg; 9 x 6 (fxa)= 54 ou uv, produisent («jwj8uvg, «jwjuvg) ajwjup ; et enfin 9 x 3 (f x d) ■« 27 ou gc, conduisent au nombre (ajcujupgs) aj&>jut(. /
Un raisonnement identique achèvera le produit avec les unités de premier ordre. Voici le calcul :
«joiJoU ; 6X7 (« Xe)=A2 ou ye ; d'où («j-vjYcuti , ajwfeuU) «jwfits. i^itf ; 8X7 (t X () =56 ou up ; d'où (aj(uftupU , api$hept:) «ptfhiTS. «pahhc; 5X0 (uX0ss45 OU oj; d'où (ocptfhiojvt, acptfhsjve) aptfhtfc. opBbtfc ; 6X7 (oX*)»: 28 ou gy ; d'où («ptfbcfgyf , (xpShybyc) ap8hygu. opSbygu ; 5X6 (uXa) a 30 ou d^$ ; d'où (ap8hygd8u , aptfhyJ8u) «p8hyju. «pSbyJu ; 0X7 (fX() b 63 ou ad; d'où («ptfbyjuad) aptfhypad. «pHfiypad ; 5X3 (aXd) = 15 ouaj; d'où (ap»hypaajd, op^bypejd) apbbypet flcpobypet ; 5X7 (uXc) s 35 ou du; d'où (apDhypetdu) ocpbbypibii.
Le produit cherché est donc 660086315.
L' opération mentale que nous reproduisons si péniblement sur le papier, et qui se présente ainsi sous Tapparence la plus compliquée, est de la plus grande simplicité, parce qu'elle n'impose jamais à Fesprit qu'un mot à retenir. Au reste, chacun , suivant son aptitude, peut pousser ce genre de calcul aussi loin qu'il lui plaira; mais la mémoire la moins favorisée poursuivra le calcul mental trois ou quatre fois plus loin qu'elle ne le ferait avec l'autre nomenclature.
