O TC

cinétique qui se trouve dans l’élément d r.

Cette manière de voir implique deux conditions. Il faut d’abord que la force et l’induction magnétiques aient une telle signification physique qu’elles puissent déterminer le mouvement électromagnétique dans chaque élément de volume. En second lieu, les coefficients (w dans les équations (6) doivent être tels que l’expression a« + ^ + c/ soit toujours positive. Dans tous les cas connus cette condition est satisfaite.

L’intégrale (12) doit être étendue à l’espace infini, et il en sera de même de plusieurs autres intégrales que nous rencontrerons. Je supposerai que toutes les fonctions qui servent à déterminer un dérangement de l’état naturel du système, telles que u, v, w, a, [3, y , a, b, c, sont nulles à l’infini, et qu’à une grande distance elles diminuent même si rapidement que des intégrales telles que celle de l’expression (12) restent finies.

J’aurai plusieurs fois à appliquer l’intégration par parties à des intégrales relatives à un espace. Si cet espace est contenu dans une surface fermée S, cette opération conduit, comme on sait, à une intégrale étendue à cette surface. Or, je supposerai, une fois pour toutes* que dans les cas que nous aurons à étudier cette intégrale tend vers la limite 0 si les points de la surface S s’éloignent vers l’infini.

Enfin, dans l’énumération des propriétés qui servent à déterminer telle ou telle fonction, la condition qu’elle s’évanouit à distance infinie sera souvent tacitement admise.

H. A. LORENTZ

Variation de V énergie cinétique.

§ 11. Supposons que les composantes u, v, w du courant électrique subissent des variations infiniment petites du, d v, â iv qui sont elles-mêmes les composantes d’un vecteur à distribution solénoïdale. Indiquons par le signe â les variations correspondantes des quantités qui dépendent de u% v , w et calculons la valeur de ô T.

L’équation (12) donne:

ê' Tz=z i f (aôa-hbdfi-j-cdy-i-c<da-h(îdb-t-ydc)dT,

mais en vertu des relations (6) et (7) cette formule peut être remplacée par la suivante:

S T = (a8« + bd(! +cSy)d,T . . . . (13)

§ 12 Introduisons un vecteur auxiliaire dont les composantes F , G, H sont déterminées par les équations :

dy '

dG dH dy dz

dG ’ dx

dF dy ■

Ft=Fi9 Gt

Grâce à la propriété fondamentale de l’induction magnétique (§ 9, 1), on peut toujours satisfaire à ces conditions ; de plus, on ne peut le faire que d’une seule manière. Le vecteur (F, G , H) se trouve donc entièrement déterminé.

L’équation (13) devient

ou, si on applique l’intégration par parties :

Dans la dernière opération on a eu égard aux trois dernières des formules (14) et à la condition de continuité:

qui découle de l’équation (11).

Des formules (10) on déduit

dày ddp . v dôu ddy . v 0 y d z d z dx

d ÔB dÔa . *

on trouve donc finalement :

d T=zj(Fdu+ G9v + H8w)dr

Quantités qui servent à définir un déplacement virtuel du système.

§ 13. Faisons abstraction pour un moment du mouvement réel que nous voulons étudier et portons notre attention sur le fait que le système, à un moment où il occupe une position déterminée W, peut être le siège de mouvements électriques très différents. Soient u, v, w' les composantes du courant dans un de ces mouvements imaginables, les signes u, v, iv étant réservés au mouvement réel.

Soit P un quelconque des points matériels qui prennent part au mouvement.

Je suppose qu’en vertu des liaisons entre les parties du système les composantes £, £ de la vitesse de ce point sont

des fonctions linéaires des valeurs de u\ v\ w' dans tous les points de l’espace, les coefficients dans ces fonctions dépen-

H. A. LORKNTZ.

dant de la position W, c’est-à-dire des coordonnées. Il va sans dire que les fonctions dont il est question pourraient être mises sous forme d’intégrales; cependant, je les présenterai comme des sommes. Si on divise l’espace entier en éléments de volume et qu’on désigne par u ', v\ w ' les valeurs de ces composantes dans le centre ou quelque autre point fixe de chaque élément, on aura

Ç=z2(Au' 4- Bv -h Cw'),)

chacune de ces sommes contenant autant de termes qu’il y a d’éléments de volume.

Si l’on prend pour A, B , C , A\ . . . les valeurs qui correspondent à la position que le système occupe au temps t dans le mouvement réel et qu’on remplace u\ v', w ' par u , v, w , les formules (16) font connaître la vitesse réelle du point P.

§ 14. Revenons au mouvement imaginaire déterminé par il, v\ w'. Supposons que ce mouvement ait lieu pendant un temps r infiniment petit, les composantes u, v, w ' restant constantes.

Comme les coefficients A, B , C, A \ ... . peuvent être regardés comme invariables pendant l’intervalle r, on trouve pour les déplacements du point P dans les directions des axes :

ô x =r 2 ( A u' v 4- B v' t 4- C iv r), )

Ü y 2 ( A' u r 4- B’ v' r 4- C' iv' r), | (17)

d z ” 2 (A" u t 4- B"v' v 4- C"wr t) ;

expressions dont les valeurs sont complètement déterminées par les produits u' t. v ' r, w' r.

§ 15. Ces produits ont une signification bien simple.

Si C' est le courant électrique en un point de l’élément de surface d (>, élément fixé dans l’espace, la quantité

Cn t d a

représente ce qu’on appelle la quantité d’électricité qui, pendant le temps r, a traversé cet élément dans la direction po-

sitive. Pour l’unité de surface la quantité analogue devient C n r. On voit donc que les produits u' x, vf x, w' x ne sont autre chose que les quantités d’électricité, rapportées à l’unité de surface, qui ont traversé des éléments perpendiculaires aux axes des coordonnées. En désignant ces quantités infiniment petites par

on trouve:

dy = £(A'e* -f B' ey + 0' e*), ( (18)

ô z = ^ (A"e* -h B"zy 4- C"ez). )

Remarquons que le temps plus ou moins long que les quantités ©#, ©y, ez mettent à traverser les éléments de surface dont il vient d’être question, n’entre plus dans ces formules.

§ 16. Ce sont les quantités ex, ey, ©2 qui nous serviront à définir un déplacement virtuel du système. Elles doivent être regardées comme des fonctions de x, y et z. La nature du système leur impose la condition que la distribution du vecteur ©, dont elles sont les composantes, doit être solénoïdale.

Du reste, e#, ©y, Cz peuvent varier avec le temps. Dès que ces quantités ont été choisies comme des fonctions de x, y , z et t, on peut se former une idée du mouvement varié dans lequel se change le mouvement réel qu’on désire étudier. En effet, on peut en pensée arrêter tous les points mobiles dans les positions qu’ils occupent au temps t dans le mouvement réel. A partir de cette configuration on peut déplacer les points de la manière déterminée par ex, ©y, ez ; on obtient alors la position variée pour le temps t. La position variée pour tout autre moment s’obtient de la même manière, et le mouvement varié n’est autre chose que la succession de toutes les positions variées.

J’ai déjà remarqué que l’équation fondamentale (2) renferme seulement les valeurs de Sx , dy , ôz relatives au temps t. Il en est de même de la formule (3), qui n’est qu’une transformée de l’équation (2). En effet, les dérivées de ôx , dy, ôz parrap-

Arhives Néerlandaises, T. XXV. 26

H. A. LORENTZ

port au temps, qu’on trouve dans les deux termes du second membre, disparaissent si on développe ces termes.

Il en résulte que les conséquences qui découlent du principe de d’Alembert sont indépendantes de la manière dont ôx, ôy, ôz, ou, dans le cas qui nous occupe, e*, ey, e* varient avec le temps.

Dans l’application qui va suivre, ces dernières quantités sont supposées indépendantes de t.

Voici encore une remarque importante. Si l’on admet que le seul moyen par lequel on puisse déplacer les points du système consiste à y établir des courants électriques, on obtiendra tous les déplacements virtuels possibles en donnant aux quantités e ey et ez toutes les valeurs dont elles sont susceptibles.

Application du principe de d’Alembert .

§ 17. Pour appliquer la formule (3) je considérerai successivement les variations ô'T, ôT et le travail M.

Par ô'T nous avons représenté la variation que subit l’énergie cinétique si les vitesses des points matériels éprouvent des variations égales à celles qui sont apportées en réalité aux coordonnées. Or, dans le problème actuel, cette condition se trouve réalisée si, tout en maintenant constante la configuration qui se présente dans le mouvement réel, on augmente de e*, ey, e* les composantes du courant. En effet, si dans les formules (16) les coefficients A, B , C, A', ... . demeurent invariables et que les composantes du courant électrique reçoivent les accroissements e*, ey, e*, les variations de £, y et £ seront:

2 ( A ex + B ey -b C ez),

2 (A' ex -b B' ey -h C'ez ),

2 {A"ex -h B"ey -b C"ez ) ;

elles deviennent égales aux valeurs que les équations (18) donnent pour ôx, ôy, ôz.

On voit donc que la variation d' T peut être calculée au moyen de la formule (15) ; il faut pour cela remplacer du, dv, ôw par e*-, ©y. ©*. Comme ces quantités sont supposées indépendantes du temps, on trouve:

dd'T CfdF d G dH dt — j e'r+ e,!, + ~dte*

les valeurs de — — — — — se rapportant au mouvement

dt ’ dt ’ dt

réel.

§ 18. La variation d T devient 0, si l’on introduit l’hypothèse suivante, analogue à celle dont Maxwell s’est servi dans sa théorie des circuits linéaires. (§ 2).

La position de chaque point matériel se trouve déterminée par les quantités d’électricité qui, à partir d’un moment fixe arbitrairement choisi, ont traversé les éléments de surface qu’on peut faire passer par les différents points de l’espace; ou, ce qui revient au même:

Si, après une série de mouvements, chaque élément de surface a été traversé dans les deux directions opposées par des quantités égales d’électricité, tous les points matériels se trouvent ramenés à leurs positions primitives.

Il est presque superflu de dire que la quantité d’électricité qui traverse un élément d a pendant un certain temps dans la direction positive est représentée par l’intégrale

J Cndt . da

et qu’on parle d’une quantité d’électricité e qui est passée vers le côté négatif, si cette intégrale a la valeur : — e.

L’hypothèse mentionnée donne lieu à ce théorème:

Si les quantités e*, ey, sont indépendantes du temps, le mouvement varié, bien qu’il diffère du mouvement réel par les configurations qui se succèdent, consiste en un système de courants dans lequel u, v, w ont les mêmes valeurs que dans le mouvement réel.

H. A. LORENTZ

Or, l’énergie cinétique dépend uniquement des valeurs de u, v et w; on trouve donc

§ 19. Voici comment on démontre le théorème du paragraphe précédent.

Soient TF, et W2 les configurations qu’occupe le système dans le mouvement réel aux moments t et t-\-dt, TF,' et W2' les configurations variées correspondantes. Le mouvement varié est celui qui fait passer le système de la position TF, ' à la position W2 ', ce passage s’accomplissant dans le temps d t et tous les points décrivant des lignes droites, infiniment petites.

Si donc on commence par la position W2 ‘, et qu’on donne successivement au système les déplacements:

TF2'— TF2, TF2 — TF,, TF, — TF,', le mouvement varié est celui par lequel la position primitive W2 se rétablit après un temps d t.

Pendant les trois déplacements, des éléments de surface perpendiculaires aux axes ont été traversés successivement par les quantités d’électricité:

— udt, — v dt, — w dtj

toutes ces quantités ayant été rapportées à l’unité de surface.

Si donc, à partir de la position W , ', on fait exister pendant un temps d t des courants u , v, w, la somme algébrique des quantités d’électricité qui ont traversé un élément devient 0 et d’après notre hypothèse le système est ramené à la position W2. Le système des courants u, v, w constitue donc bien le mouvement varié TF,' — W2.

§ 20. Reste à considérer le travail b A. Lorsqu’on en veut calculer la valeur, on peut passer sous silence toutes les forces qui servent à maintenir les liaisons du système, c’est-à-dire les forces qui sont mises en jeu, parce que la distribution du courant électrique doit être solénoïdale et parce que l’indue-

tion et la force magnétiques qui déterminent les mouvements électromagnétiques sont liées aux courants de la manière qui a été considérée au paragraphe 9. Les forces dont il faut bien tenir compte ne sont pas les mêmes dans des corps de nature différente. Cependant, comme on le verra plus loin, on peut dans tous les cas indiquer pour chaque point de l’espace trois quantités X, Y, Z, telles que

— J (X e* + Fey + Z e,) d x (19)

représente le travail des forces pour le déplacement virtuel défini par e.r, ey, e*.

La formule (3) devient donc:

J (X ex h- Y ey -h Zez) d r =

dt Bz

relation qui renferme à elle seule toutes les équations du mouvement. Pour en tirer toutes les conséquences, il suffit d’exprimer que la formule doit être vraie pour toutes les valeurs admissibles de e*, ey, e*. Cependant, avant de procéder plus loin, il sera utile d’étudier les valeurs de X, F, Z dans des cas particuliers.

Valeurs de X, Y et Z pour les diélectriques .

§ 21. Lorsque quelques-unes des forces qui agissent dans le système dérivent d’une énergie potentielle, le travail de ces forces est égal à la diminution de cette énergie. Or, suivant les idées de Maxwell , les forces qui agissent dans les corps non conducteurs ou diélectriques possèdent cette propriété.

Dans les diélectriques il existe un état d’équilibre naturel qui est dérangé par tout mouvement de l’électricité, et un tel dérangement donne lieu à une certaine énergie potentielle.

H. A. LORENTZ

Appelons /, g et h les quantités d’électricité qui, à partir de l’état naturel, ont traversé des éléments de surface perpendiculaires à O X, O Y et O Z, ces quantités étant ramenées à l’unité de surface ; alors on peut écrire pour l’énergie potentielle par unité de volume

5- [vx, x j 2 + vy,y g2 ■+• v z, z h2 -+- 2 vx, y f g 2 vy} z g h