De sable, d’argile et de calcaire

25. Quelles conclusions générales peut-on tirer de, la solution de ces questions?

La méthode la plus propre à élucider ces questions ne fut pas trouvée d’emblée; des recherches préliminaires durent être faites. Mais, pour abréger, je ne m’arrêterai pas à ces essais préliminaires, et j’aborderai immédiatement la description de la méthode qui a le mieux répondu à l’attente.

Je remarquerai , en premier lieu , que l’eau servant aux expériences était de l’eau de pluie deux fois filtrée , une fois à travers un filtre de papier , et une fois à travers un filtre composé de couches alternatives de fragments de verre et de ouate. Cette seconde filtration fut reconnue nécessaire , parce que l’eau passée à travers le papier déposait encore sur la ouate , au bout de quelque temps, une couche grise d’impuretés. Si l’on néglige de filtrer l’eau, la couche de sable à travers laquelle on la laisse couler agit elle-même à la manière d’un filtre ; les interstices entre les grains ténus du sable se bouchent plus ou moins complètement, et la quantité d’eau écoulée diminue rapidement. C’est là la faute la plus grave qu’on puisse commettre dans ces recherches.

L’appareil dont j’ai fait usage se composait essentiellement des parties suivantes:

1. Du tube à pression. C’était un tube large de 4 centimètres et haut de 1 mètre % , sur lequel pouvait encore être placée une rallonge, de sorte que la hauteur totale était alors de 2,5 mètres ; une échelle était tracée sur le tube.

Dans le tube à pression débouchait l’une des branches d’un long siphon, laquelle branche portait un filtre de ouate à son extrémité inférieure; l’autre branche du siphon plongeait dans un vase plein d’eau, dont le niveau était maintenu constant au moyen d’un flacon de Mariette.

Le siphon avait encore une troisième branche, qui s’élevait au-dessus des deux autres (voir PI. IX , fig. 1 ) , et par laquelle on amorçait le siphon. Cette branche servait en outre à laisser échapper les bulles d’air qui pénètrent facilement dans le siphon , dont elles entravent le fonctionnement normal.

Le siphon était suspendu à une petite poulie et pouvait être aisément placé à toutes les hauteurs voulues.

Cette disposition permet de maintenir l’eau à un niveau rigoureusement constant dans le tube à pression.

2. La seconde partie de l’appareil était le tube au sable. Les tubes employés avaient des dimensions différentes , que j’indiquerai à l’occasion des expériences auxquelles ils se rapportent; c’étaient ordinairement des tubes en ü à branches égales , placés dans une position verticale. Les tubes en L ont le grand avantage que la pression de la colonne d’eau peut être exactement mesurée à partir de l’ouverture du tube en U, et qu’ainsi se trouve entièrement éliminée la pression que l’eau exerce entre les grains du sable (cas dont il sera traité séparément).

Le tube au sable était pesé, d’abord vide et ensuite rempli d’eau; après cela, on procédait au chargement, de la manière suivante. Le sable était bouilli sous l’eau dans une capsule , pour chasser l’air, puis il était introduit peu à peu dans le tube entièrement plein d’eau ; la descente du sable est alors facile et le tube se remplit uniformément. On le frappait ensuite à petits coups sur un corps dur, pour que le sable se tassât, puis on y introduisait de nouveau du sable , et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne fût plus possible d’y rien faire entrer. De cette façon, aucune bulle d’air ne peut rester dans le tube , et tous les interstices sont entièrement remplis d’eau. Le tube ainsi chargé était pesé de nouveau.

Tout d’abord, un fait des plus imprévus se dégagea de ces pesées.

Les expériences se faisaient avec du sable de mer , du sable de bruyère et du sable de la rivière le Lek. Or , quand on pesait le tube rempli de sable préparé , il se trouvait que le poids était toujours le même , sur quelque espèce de sable qu’on eût opéré et quelle que fût la différence de grosseur des grains de ces différentes espèces. Non-seulement le tube rempli de sable et d’eau •avait pour toutes ces espèces le même poids, mais la quantité de sable que le tube pouvait contenir était aussi la même pour toutes, ainsi qu’on s’en assurait en faisant couler le sable dans une capsule tarée , puis séchant et pesant. Il suit de là que , en

troisième lieu, la quantité d’eau comprise entre les grains de sable est aussi la même pour toutes les espèces de sable examinées , après purification préalable. (Les poids , pour des tubes donnés, seront communiqués plus loin).

Si les grains de sable étaient tous exactement sphériques, le rapport constant du volume des sphères à celui des espaces qui les séparent, dans l’état de densité maximum, pourrait être calculé d’après la théorie des piles de boulets. Mais les grains de sable sont polyédriques, et le rapport entre le sable et l’eau diffère de celui qui existe entre des sphères et leurs intervalles. Cela n’empêche pas , toutefois , que dans le sable , à cause du grand nombre des grains , toutes les inégalités de forme se compensent de telle sorte que le rapport devient constant.

Ce résultat était de la plus haute importance pour la suite de mes recherches, attendu qu’il fournissait un signe auquel on reconnaissait , en opérant sur des sables différents , qu’on avait toujours le même degré de condensation dans le tube , ce qui rendait les expériences comparables entre elles. Les différences de poids du tube chargé s’élevaient rarement à plus de quelques centigrammes , vu que le tube , dressé à l’émeri à son extrémité supérieure, pouvait être raclé exactement.

Les angles des grains du sable du mer sont plus arrondis que ceux du sable du Lek , lequel est un peu plus rude au toucher ; le microscope permet aussi de constater cette différence.

La forme des grains de sable , si diverse qu’elle puisse être , se rapproche pourtant, en 'moyenne^ d’une forme déterminée, laquelle paraît être un rhomboèdre, circonstance probablement liée à la direction des clivages dans les cristaux de quartz.

En tout cas , le fait que la diversité de forme des grains , au moins pour les sables employés , n’a pas d’influence sur la perméabilité, ce fait trouvera plus loin, quand nous nous occuperons de l’influence de la grosseur des grains , une preuve encore plus péremptoire que celle qui se déduit de la constance de poids , dont il vient d’être question.

Le tube chargé de sable était fixé par une de ses extrémités

402 F. SEELHEIM. LES LOIS DE LA PERMÉABILITÉ Dü SOL.

au tube à pression, de façon que l’eau y eût librement accès; l’ouvertui-e de cette branche du tube n’est pas couverte; comme l’eau n’y pénètre que très lentement, elle ne produit aucune agitation dans le sable. Pour empêcher que du sable ne soit chassé, par la pression, de l’autre branche du tube, voici la disposition qui a été adoptée. Un cylindre en cuivre , de 5 centim. de hauteur et d’un diamètre trois fois aussi grand que celui du tube à sable , est partagé , par un crible métallique soudé transversalement en son milieu, en deux moitiés cylindriques égales.

Ce cylindre s’adapte par un bouchon de caoutchouc sur l’extrémité du tube rempli de sable. Comme le crible a été choisi suffisamment fin, aucun grain de sable ne peut s’échapper par ses ouvertures; comme il a une surface beaucoup plus grande que la section du tube, il laisse écouler beaucoup plus d’eau que celui-ci n’en peut fournir , et par conséquent il n’entrave en rien le passage de l’eau à travers le sable; mais il empêche complètement que ce dernier ne soit déplacé dans le tube, vu que le crible est appliqué directement sur la surface du sable. Si le crible n’est pas beaucoup plus large que la section du tube, il oppose à l’écoulement, surtout quand l’eau passe avec rapidité,

'une résistance très appréciable, et donne des résultats dénués de valeur.

Dans l’autre moitié du cylindre en cuivre , un second tube en U est fixé par l’une de ses branches, de la même manière que le premier , mais dans une position renversée , les ouvertui-es en bas. Ce tube, qui ne contient que de l’eau, est donc séparé du tube au sable par le crible.

La seconde branche de ce tube en U renversé, débouche dans un entonnoir rempli d’eau, de telle sorte que les quatre ouvertures des deux tubes en LT sont de niveau et placés en ligne droite. Dans l’eau de l’entonnoir plonge la boule d’un thermomètre divisé en dixièmes de degrés. A la partie inférieure de l’entonnoir est soudé un troisième tube en U, qui est muni d’un tube abducteur latéral, tandis que l’extrémité libre de ce tube en U reste ouverte. J

Le tube abducteur se trouve au même niveau que les ouvertures des deux autres tubes en XJ et touche la paroi d’un cylindre jaugeur divisé en demi-centimètres cubes (voir fig. 1).

Au sujet des résultats expérimentaux que je vais maintenant faire connaître, je dois remarquer qu’ils ne sont valables que dans les limites entre lesquelles on a opéré ; ainsi , par exemple , les coefficients de température changent pour des températures plus hautes ou plus basses que celles auxquelles les expériences ont eu lieu. Toutefois, les résultats relatifs à la pression de la colonne d’eau , à la longueur et à la section des tubes employés , etc. pourront être étendus à d’autres pressions et à d’autres dimensions des couches traversées, tant qu’on n’aura pas trouvé de raison pour laquelle, avec d’autres pressions et d’autres dimensions, les lois devraient changer. Les expériences ont toujours été combinées de façon que chacune d’elles eût une part décisive à la solution d’une question déterminée. Le nombre des expériences a été réduit à ce qui était nécessaire pour mettre en pleine évidence la loi cherchée.

La quantité d’eau que laisse passer le sable est-elle , à conditions égales, toujours la même?

TJn tube de 50 centim. de longueur et de de diamètre,

qui avait été rempli, de la manière ci-dessus décrite, de sable à grains d’égale grosseur , étant traversé par un courant d’eau , à une température et sous une pression qui restaient les mêmes , l’écoulement fut trouvé constant dès le début de l’expérience; après une durée de plusieurs semaines, aucune différence appréciable ne put être constatée : les grains de sable étaient restés immobiles les uns à côté des autres , et le tube , après que l’écoulement eut cessé, était encore rempli exactement jusqu’au bord de son ouverture. Les légères trépidations qu’on produit en marchant près de l’appareil n’ont pas non plus d’effet sensible sur le fonctionnement. Quant à la série d’expériences spécialement

consacrée à établir le résultat en question , je puis m’abstenir de la rapporter ici , vu que chacune des séries suivantes est une nouvelle preuve de cette constance de l’écoulement. Xous passerons donc immédiatement à la seconde question, celle qui concerne l’influence de la pression.

Comment la perméabilité dépend-elle de la hauteur de la colonne d’eau qui pèse sur le sable?

Un tube en U , rempli de sable , a donné les résultats suivants :

Pression .

Durée de récoulement.

Température de l’eau.

Quantité d’eau

écoulée

! Quantité d’eau écoulée à la température coustante de 8 ' C , en 15 minutes.

min. à

cm.cub.

moyenne 41,0

1 mètre

min. à

moyenne 27,5

% mètre

min.

moyenne 13,7

Les quantités écoulées sont entre elles comme 41 : 27,5: 13,7 = 3:2,01 : 1,00, les pressions , comme 3:2:1.

On voit donc que la quantité d’eau transmise par un tube en U rempli de sable est proportionnelle à la pression , ce qui peut être exprimé par la formule

OÙ Q est la quantité d’eau, {k) une grandeur encore inconnue, et h la hauteur de pression.

Dans cette expérience, on n’a pas à s’occuper des dimensions du tube. La réduction à une même température a été faite au moyen des coefficients qui seront donnés ci-dessous , au paragraphe Y.

Lorsque , au lieu de tubes en U , on emploie des tubes droits , verticaux, il faut aussi tenir compte de la pression exercée par l’eau contenue dans la colonne de sable , et M. G. Hagen {l. c.) a trouvé que l’augmentation de pression qui en résulte est égale à la hauteur de cette colonne, diminuée de la hauteur à laquelle l’eau est soulevée dans le sable en vertu de la capillarité.

Cette dernière hauteur a été déterminée par M. Hagen en posant sur une assiette un cylindre rempli de sable, puis versant de l’eau dans l’assiette ; pour le sable sur lequel il opérait , et dont la grosseur des grains n’est pas connue , l’eau était soulevée à une hauteur de 18 lignes (du Hhin).

Comme le sable contient de l’air, qui n’est pas expulsé par l’eau et qui gêne considérablement l’ascension, j’ai cherché à déterminer la capillarité d’une autre manière.

Trois tubes de verre, pourvus d’un crible en dessous, furent chargés, comme il a été expliqué précédemment, de trois sortes de sables, chacun d’une grosseur différente de grain; puis les tubes furent placés sur l’eau , de façon que leur extrémité inférieure touchât seulement la surface du liquide. Je déterminai alors de combien l’eau s’abaissait dans les tubes, c’est-à-dire, à quelle hauteur elle restait stationnaire; c’est un point qu’il est facile d’observer, attendu que sur la portion du tube d’où l’eau s’est

retirée la lumière éprouve en partie une réflexion totale, de sorte que cette portion devient plus ou moins brillante. !N'ous distinguerons les trois sortes de sables, en allant du plus gros au plus fin , par les numéros 1 , 2 , et 3. Les hauteurs des colonnes d’eau retenues dans les tubes s’élevaient à:

1 = 10 cm., JS'o. 2 = 15 cm., N®. 3 == 30 cm.

Dans les tubes capillaires , les hauteurs de l’eau sont en raison inverse des diamètres des tubes. Si les interstices des grains de sable se comportent comme des tubes capillaires , le même rapport devra donc exister ici.

Pour s’en assurer , il fallait connaître les diamètres des espaces capillaires qui restent entre les grains de sable. Comme nous avons déjà trouvé que le volume du sable est à celui des interstices dans un rapport constant , on peut aussi , au lieu des interstices , prendre le volume des grains de sable ; en d’autres termes , les hauteurs de l’eau doivent être entre elles comme les rayons des grains de sable.

La grosseur des grains de sable sera déterminée au paragraphe YI; je fais ici usage par anticipation des chiffres auxquels cet examen conduira.

Le poids d’un grain de sable est:

pour le 1 Ogr, 0004288

En comparant avec ces nombres les hauteurs d’ascension de

l’eau dans les tubes, c’est-à-dire

1 10 centim.

on voit que celles-ci sont en raison inverse des racines cubiques des poids des grains, et par conséquent en raison inverse des diamètres de ces grains. Ces diamètres , en effet , sont entre eux comme les nombres

La loi ci-dessus rappelée de la hauteur d’ascension dans les tubes capillaires se vérifie donc pour les masses de sable, car la hauteur d’ascension est au diamètre des grains dans le rapport inverse des nombres:

Hauteur d’ascension 1 : 1,5 1,5 : 3 1:3

Diamètre du grain 1,5 : 1,06 3 :1,42 3 : 1,01

Si l’on tient compte de l’extrême difficulté que présente la détermination de la grosseur d’un grain de sable isolé, on trouvera cet accord très satisfaisant.

Les colonnes d’eau qui sont retenues dans le sable par l’effet de la capillarité ne peuvent naturellement pas exercer de pression, et par conséquent, si le raisonnement et les expériences de M. Gr. Hagen sont corrects, il n’y a à tenir compte, pour la pression , que de la hauteur H de la colonne de sable , diminuée de la hauteur H' de la colonne d’eau retenue par la capillarité.

Pour contrôler l’exactitude de la manière de voir de M. Hagen , j’ai fait les expériences suivantes.

Un tube droit, portant à son extrémité un crible dont le diamètre était trois fois plus grand que celui du tube , fut chargé de sable 1 par le procédé qui a été décrit. La longueur de la colonne de sable s’élevait à 50 centim. La pression , calculée à partir de la surface de cette colonne verticale, était de 150 centim. Une seconde série d’expériences fut ensuite exécutée avec une pression h de 50 centim. Yoici les résultats obtenus:

Pression m 150 cm. , épaisseur de la colonne de sable 50 = cm.

Temps.

Quantité d’eau écoulée.

Quantité d’eau en 10 minutes.

moyenne 22,5

Pression h = 50 cm. , épaisseur de la colonne de sable = 50 cm.

Temps.

Température.

Quantité d’eau écoulée.

Quantité d’eau en 10 minutes.

moyenne 11,25.

On voit que dans ces deux séries d’expériences les quantités d’eau écoulées ont été exactement dans le rapport de 2:1.

La pression h de la première série , augmentée de l’épaisseur de la colonne de sable, dopne 200 centim.

Dans la seconde série , la pression était h nz 50 cm. ; en y ajoutant la hauteur de la colonne de sable zn 50 cm. , on a un total de 100 cm.

Les pressions sont donc dans le même rapport 2 : 1 que les quantités d’eau écoulée, quand on tient compte de la hauteur entière de la colonne de sable ; quant à une influence de la capillarité, il n’y en a pas trace dans l’expérience.

Il suit de là que , pour des tubes verticaux , l’épaisseur totale de la couche de sable doit être ajoutée à la pression h. Il est d’ailleurs facile de comprendre que dans une colonne verticale de sable, sur laquelle repose encore une colonne d’eau, aucune action capillaire ne peut se faire sentir; car l’ascension de l’eau dans un tube capillaire est la conséquence de la formation d’un ménisque, et celui-ci, dans le cas où une colonne d’eau s’élève au-dessus du tube capillaire, vient se placer dans le large tube de pression , où son action est si petite qu’elle s’évanouit en quelque sorte.

Si, dans les conditions supposées en dernier lieu, une partie de la pression était contre-balancée par la capillarité, le phéno-

mène accusé par l’expérience suivante ne pourrait pas non plus avoir lieu.

Un tube droit chargé de sable, et muni d’un crible à son extrémité inférieure, est relié par un large tube de caoutchouc à un autre tube droit, mais vide, de manière que l’ensemble forme un long tube en U ; dans un second tube vide , fixé au sommet du tube rempli de sable, on verse de l’eau, qui doit donc traverser la couche de sable pour arriver dans la branche vide du tube en U (fig. 2).

Si le sable, par son action capillaire, compensait une partie de la pression exercée par l’eau, il faudrait, l’état d’équilibre une fois établi dans les deux branches du tube en U, et l’eau s’élevant au-dessus du sable dans la branche chargée , il faudrait , dis-je, que le niveau de l’eau fût plus bas dans la branche restée vide.

Or, l’expérience montre qu’au bout de quelques heures l’eau se trouve exactement au même niveau dans les deux branches du tube en U.

Cette expérience est donc une nouvelle preuve que, dans les conditions dont il s’agit, aucune partie de la pression n’est détruite par l’effet de la capillarité.

Ainsi se trouvent réfutées, à mon avis, les déductions et les expériences de M. Hagen, et l’écoulement à travers un tube vertical rempli de sable est représenté par la formule

où les lettres ont la signification qui leur a été attribuée ci-dessus.

Quand les conditions sont différentes, c’est-à-dire, lorsque la couche de sable ne supporte pas la pression d’une colonne d’eau supérieure , mais que le niveau de l’eau se trouve dans la couche même , — cas qui peut se présenter entre autres dans les puits artésiens et les sources , — l’action capillaire doit au contraire être prise en considération. Il se forme alors des ménisques dans la couche de sable , lesquels réduisent la pression totale d’une quantité équivalente à la hauteur de la colonne d’eau soulevée.

Archives Néerlandaises, T. XIV. 26

Cette hauteur W est une constante, inversement proportionnelle au diamètre des tubes capillaires.

Nous pouvons donc , au lieu de H' , écrire — , où C désigne

la constante de la capillarité et r le rayon de la section horizontale d’un des interstices des grains de sable.

Yoici de quelle manière on peut trouver cette section. Le rapport entre le volume des grains de sable et celui de l’eau est connu d’après le paragraphe IX , et comme on peut admettre , à raison du grand nombre des grains de sable, que dans une section du tube il y a autant d’interstices que de grains, le rapport du volume d’une grain unique à celui d’un interstice unique sera le même que celui de leurs sommes.

1 OR RQ

Ce rapport est : 22,72 zz: 1,729 , le nombre 2,635 repré-

sentant la densité du sable.

Les interstices , ramenés par la pensée à la forme sphérique , auraient pour rayon

ATo O 3 0,0001525

N®. 2 r zz iK — . — ’

zz 0,02819 cm.

zz 0.02000 „

zz 0,009526 „

Les hauteurs d’ascension sont:

N®. 1 Jï' zz 10 cm.

N®. 2 iî'zzl5 „

N®. 3 JT' zz 30 „

C est donc exprimé en millimètres par

N®. 1 Ozz 28,19 mm.

N®. 2 (7 zz 30,00 „

N®. 3 Czz 28,57 „

moyenne . . . 28,92 mm.

La formule pour l’écoulement devient alors

Q = (k) {H — — l- mm.); r

h est donc ici égal à zéro.

Pour résoudre la troisième question : comment la quantité d’eau transmise dépend-elle de l’épaisseur de la couche de sable traversée ? on a employé deux tubes en U. Ces deux tubes avaient été faits d’un tubq droit présentant un calibre bien égal, et ils étaient par conséquent de la même largeur; leurs extrémités avaient été usées de façon que les longueurs des deux tubes fussent dans le rapport de 2:1. A l’endroit de la courbure ils avaient été légèrement soufflés à la lampe, de manière à offrir en cet endroit un peu plus de largeur que dans les parties droites. L’écoulement se règle d’après la partie la plus étroite du tube , et un rétrécissement inégal , tel qu’il s’en produit facilement dans l’opération de la courbure, aurait de l’influence sur la quantité d’eau écoulée. C’est pour prévenir cet effet que la partie courbe avait été légèrement dilatée. Les expériences faites avec ces tubes , après qu’ils eurent été remplis de sable et introduits dans l’appareil décrit, ont donné les résultats suivants:

Tube long; pression 5^ m.

Temps.

Tempér. .

Ecoulement en

30 minutes.

moyenne 8,3 cc.

Tube court; pression \ m.

Temps.

Tempér.

Ecoulement en 30

minutes.

moyenne

Les expériences avaient lieu dans un local non chauffé, où la température était tant soit peu plus haute qu’à l’air libre. En allumant une série de becs de Bunsen et en ouvrant une fenêtre , on obtenait que cette température ne variât pas de plus d’un demi-degré dans le cours de l’expérience.

Il résulte de ces expériences que les quantités d’eau écoulées sont entre elles comme 1:2, c’est-à-dire , inversement proportionnelles aux épaisseurs des couches de sable. La quantité d’eau écoulée est donc exprimée par la formule

où h désigne l’épaisseur de la couche.

Ce résultat est conforme à celui qui a été obtenu, comme nous l’avons dit, par d’autres observateurs.

Comment la quantité d’eau écoulée dépend-elle de la section de la couche de sable? Les parois des tubes ont-elles quelque influence ?

On a pris deux tubes droits bien cylindriques, de même diamètre aux deux extrémités, et qui avaient été usés aux deux bouts de manière que leurs longueurs fussent égales.

Les diamètres étaient de 1%825 et 1%30. Les sections trans-

versales étaient donc entre elles dans le rapport des carrés de ces nombres : 3,3306 : 1,690 2 : 1,014.

Un crible ayant été fixé à l’extrémité inférieure de chacun des tubes, ceux-ci furent chargés de sable de la même espèce. Les résultats obtenus sont consignés dans le tableau suivant:

Sable 3.

hz=z% mètre, D ~ 1,825 cm.

Quantité d’eau en

Temps.

Tempér.

Quantité d’eau écoulée.

5 minutes.

30 cc.

moyenne 29.6 cc.

h=i% mètre ,

D zz; 1,30 cm.

15 cc.

moyenne 14,75 cc.

Les quantités d’eau écoulée sont donc entre elles comme 2 : 0,996 , tandis que les sections des tubes sont dans le rapport 2: 1,014.

On voit que le rapport des quantités écoulées ne diffère pas sensiblement de celui des sections, et que ces quantités sont

par conséquent proportionnelles aux carrés des diamètres des couches traversées, ce qui s’exprime par la formule:

D’après ces expériences, l’influence des parois des tubes est donc si faible qu’elle tombe dans les limites des erreurs d’observation. Cette influence ne peut pourtant pas être tout à fait nulle, puisque, pour des diamètres croissants, la surface de la paroi augmente proportionnellement au diamètre, tandis que la capacité du tube augmente proportionnellement au carré de ce diamètre. A priori, il semble évident que la paroi ne peut agir que dans un seul sens, à savoir en augmentant l’écoulement. Si cette influence était appréciable, la qu^ÿtité d’eau écoulée par le tube étroit devrait donc être augmentée dans une proportion plus forte' que celle écoulée par le tube large. Bien qu’on ne puisse savoir exactement de combien les interstices entre la paroi et les grains de sable sont plus grands que les interstices entre les grains de sable eux-mêmes, il y a peut-être moyen de le calculer approximativement « et , par suite , d’évaluer la part d’influence qui pourrait revenir à la paroi. A cet effet , voici comment nous raisonnons: Admettons que les grains de sable soient des sphères, et qu’ils soient disposés de manière que le sable ait son maximum de densité ; ces sphères seront alors placées les unes par rapport aux autres comme l’indique la fig. 3, et par rapport à la paroi du tube comme le représente la fig. 4, de sorte que chaque interstice borné par la paroi sera plus grand qu’un interstice compris entre les sphères d’une quantité égale au segment sphérique qu’un plan tangent a h , mené intérieurement à une série de sphères, détache de chacune des sphères qu’il coupe. Or ce segment sphérique a pour volume: segm. z=zRh'^Ti — n. Le rayon d’un grain de sable supposé sphérique est = 0,01 143 cm. On a aussi h = R{2 — V 3), par conséquent :

segm. = I TT i?^3 5) = 0,000000306 cm^ ,

vol. du grain de sable =: 0,00000626 cm^.

Le volume du grain est donc à celui du segment comme

Le volume de l’interstice est à celui du segment comme

Mais cette augmentation de — ^ — ne s’applique qu’aux inter-

stices contigus à la paroi du tube , c’est-à-dire , seulement à —

du nombre total dans le tube large et à — dans le tube étroit.

L’accroissement total que le volume des interstices éprouve par suite de la présence de la paroi s’élève donc dans le tube large à

î — — , dans le tube étroit à — î

Quoique ce calcul soit basé sur des suppositions qui s’éloignent de la réalité, il en ressort pourtant que l’influence des parois ne peut pas être assez grande pour se faire sentir dans les expériences rapportées ci-dessus.

Comment la perméabilité dépend-elle de la température ? Pour résoudre cette question , on procéda de la manière suivante. Dans une grande salle , dont la température restait pendant longtemps constante, une série d’expériences fut d’abord exécutée; ensuite on chauffa la salle de façon à y élever lentement la température , qu’on achevait de régler, au besoin, en allumant un certain nombre de brûleurs de Bunsen. Les lectures avaient lieu de 15 en 1 5 minutes , et on prenait la moyenne des deux températures du commencement et de la fin de chacune de ces périodes. Le tube contenant le sable était en forme d’ U et avait été préparé de la manière ci-dessus décrite.

Yoici les résultats obtenus :

Temps.

Température.

Quantité d’eau écoulée.

15 min.

94 cc. ,

94,5 cc. ,

95 cc. , 93,

120 cc. ,

120,5 cc.

Traités par la méthode des moindres carrés , ces résultats conduisent aux équations:

« 14 -h (5 203*^, 5 + / 3096",75 = 1504 cc.

qui permettent de déterminer a, et /. On trouve

D’après ces données, la loi qui lie l’écoulement à la température peut donc être exprimée par la formule

Les coefficients de cette formule valent pour les températures comprises entre 9° et 19®,5 C.

La constante a convient seulement pour les dimensions du tube employé dans ces expériences; il n’y a d’ailleurs pas lieu de s’y arrêter , attendu que la constante générale sera déterminée plus loin.

Comment la perméabilité dépend-elle de la grosseur des grains de sable , ou de la grandeur des interstices qu’ils laissent entre eux ?

La solution de cette question présentait de grandes difficultés , parce qu’il fallait déterminer exactement le volume moyen du grain de sable individuel.

On a employé quatre sortes de sable, obtenues par le tamisage d’un sable qui avait été purifié par le procédé décrit plus haut. Nous désignerons ces quatre sortes, en allant de la plus grossière à la plus fine , par les Nos 1 , 2 , 3 et 4.

Deux voies peuvent conduire à la connaissance de la grosseur du grain, à savoir, la mesure et la pesée. Je n’ai pas tardé à reconnaître, toutefois, que la première méthode, la mesure des grains sous le microscope, ne donne pas des résultats assez exacts pour la question que nous avons ici à résoudre, et en conséquence j’ai entièrement renoncé à cette méthode.

La détermination par la pesée a eu lieu de la manière suivante : Une plaque de verre, formant un carré d’environ 8 centim. de côté, fut divisée au diamant en 100 petits carreaux, sur chacun desquels on inscrivit un numéro. Une heure avant la pesée , cette plaque de verre était introduite sous la cage de la balance, afin qu’elle pût se mettre en équilibre avec la température et le degré d’humidité qui régnaient dans cette cage. On versait alors avec précaution , au centre de la plaque , une petite quantité de sable , dont on déterminait le poids, autant que possible, à un demidécimilligramme près. La pesée faite , la plaque n’était pas immédiatement enlevée du plateau de la balance, mais on humectait d’abord le petit tas de sable avec quelques gouttes d’un vernis de laque à l’esprit-de-vin, pour empêcher que des grains ne roulassent à terre. Ensuite les grains étaient éparpillés , à l’aide d’un fil lisse de platine, sur tous les petits carreaux de la plaque, de façon que nulle part il ne restât deux grains accolés. La plaque restait alors encore quelques minutes sous une cloche, jusqu’à ce que le vernis fût sec. Ainsi préparée, tous

les grains y sont fixés à leur place et peuvent être comptés à la loupe; pour cette opération, on se sert d’un fond obscur.

Pour le sable le plus fin, la détermination se fit encore par une seconde méthode, la pesée directe laissant dans ce cas quelque chose à désirer , vu qu’on ne pouvait prendre qu’un très petit poids de ce sable et qu’un décimilligramme en renfermait déjà environ 20 grains.

Dans un grand creuset de porcelaine on pesa 0g^^,2 du sable N®. 4, après quoi on ajouta environ 20 grammes de bichromate potassique pur et cristallisé. Ce sel fut fondu avec le sable , puis agité avec lui pendant le refroidissement jusqu’à ce que le tout fut réduit en une poudre ténue. On obtient ainsi , très facilement , un mélange uniforme de sable et de bichromate de potassium; car, en premier lieu, le bichromate fondu possède à peu près la même densité que le sable, de sorte que par l’agitation les grains se répartissent également dans toute la masse fondue, et, en second lieu, la poudre qui en résulte est encore une fois mélangée avec soin. De cette poudre, une quantité assez grande fut pesée sur un verre de montre , qui était divisé , comme la plaque, en cases numérotées; ensuite, on fit dissoudre le bichromate dans l’eau et on aspira la solution avec une pipette, opération qui fut répétée deux ou trois fois.

Le sable ayant enfin été fixé au vernis, on opéra le dénombrement des grains.

Voici les résultats obtenus:

Poids du sable.

Nombre des grains.

Poids d’un grain.

0,0789 gramme

0,0004288 gramme,

/ première méthode

^ 0,01025 gramme i seconde méthode

moyenne N®.

La grosseur des grains connue, on passa à l’étude de l’écoulement. Les quatre sortes de sable furent successivement soumises à l’expérience dans un seul et même tube en U. Ce tube se composait de trois parties : une partie inférieure , en laiton , qui faisait deux angles droits et avait deux courtes extrémités verticales ; et deux tubes de verre droits , qui étaient fixés au moyen de bouchons en caoutchouc dans les ouvertures du tube en laiton , plus large que les tubes de verre. (Voir fig. 1).

Les dimensions du tube étaient :

longueur de l’axe i= 40,85 centim.

diamètre de la partie en verre = 1,1 centim.

Pendant l’expérience la température était maintenue autant que possible à 12®. Quand des écarts avaient lieu sous ce rapport , les quantités d’eau écoulée étaient réduites à la température de 12® C à l’aide des coefficients trouvés au paragraphe Y.

Les expériences ont donné les résultats suivants :

mètre , poids d’un grain de sable = 0,0004288 gramme.

Temps.

15 min.

Température.

Quantité d’eau écoulée.