IK

On reconnaît.

au premier coup

d’œil, que

les quantités d

sont entre elles dans le même rapport que les- nombres de la seconde ligne du tableau ; ceux-ci deviennent en effet , rapportés au même terme initial,

tandis que les quantités d’eau sont :

En égard à la grande difficulté des déterminations , l’accord entre ces deux séries de nombres peut être regardé comme très satisfaisant. Les autres séries du tableau des racines s’écartent beaucoup du rapport en question.

Nous arrivons donc à ce résultat, que les quantités d’eau sont proportionnelles aux racines f des poids des grains , ou , en d’autres termes , aux carrés des rayons des grains , ce qui s’exprime par la formule Q = {K)

Comparons cette formule avec la loi de Poiseuille pour les tubes de verre capillaires.

Quand on part de l’idée que les interstices entre les grains de sable sont des tubes capillaires, on peut à , c’est-à-dire au carré du rayon des grains de sable , substituer , c’est-à-dire ,

le carre du rayon des interstices; car nous avons vu plus haut que le rapport de la section horizontale d’un grain à celle d’un interstice est constant, et, vu le grand nombre des grains contenus dans le tube, on peut admettre qu’il y a égalité entre ce nombre et celui des interstices.

Or il pourrait sembler que le résultat ci-dessus obtenu , à savoir ,

la proportionnalité au carré, fût en désaccord avec la loi de Poiseuille , puisque , d’après celle-ci , les quantités d’eau qui s’écoulent par des tubes capillaires sont proportionnelles aux quatrièmes puissances des rayons de ces tubes , ou

La différence disparaît , toutefois , lorsqu’on réfléchit que , pour le sable, Q est en outre proportionnel à , c’est-à-dire, à la section du tube; doit donc encore être multiplié par , pour que la formule devienne comparable à celle de Poiseuille. En effet , dans le cas seulement où l’on prend deux tubes à sable dont les sections sont aussi entre elles dans le rapport des carrés des rayons des grains , dans ce cas seulement , le nombre des tubes capillaires devient égal de part et d’autre ; au contraire, dans les tubes à sable qui ont servi à mes expériences, c’est-à-dire, dans des tubes de même section, le nombre des tubes capillaires est différent, tandis que la somme des sections des interstices y est le même. En remplaçant par mr^, nous obtenons donc la formule

Q = KD‘^ r^={K)mr^ ,

où m peut être compris dans la constante.

Le résultat ci-dessus trouvé n’est donc pas en contradiction avec la loi de Poiseuille , mais prouve , au contraire , que cette loi demeure vraie pour des tubes ramifiés dans tous les sens possibles , tels que ceux qui existent entre les grains de sable. La loi de Poiseuille, obtenue pour des tubes de verre droits, est comprise dans la loi plus générale trouvée pour le sable. A ce point de vue, cette dernière intéresse donc aussi la physique pure.

Pour des tubes ramifiés en deux et en trois branches, la loi de Poiseuille a été récemment démontrée par M. J. Berthold Rostalski, Breslau, 1878.

La quatrième puissance de r , dans la formule qui vient d’être donnée, apparaît donc comme composée de deux carrés, dont l’un représente la section horizontale de l’espace traversé par le

liquide, tandis que l’autre exprime la manière dont le mouvement des particules aqueuses dépend du rayon des tubes capillaires.

Ainsi , d’une part , la quantité d’eau écoulée est proportionnelle à la section totale des ouvertures que l’eau parcourt.

D’autre part, cette quantité est proportionnelle au carré du rayon moyen des interstices particuliers.

Cette dernière loi , Ç = (K) , a la même forme que la loi de

la chute libre, S = ^

Si l’on considère que la cause de l’écoulement de l’eau n’est autre que la gravité , il devient très vraisemblable que la formule Q=zKr^ exprime la loi de la chute des corps pesants, dans laquelle, toutefois, l’accélération g est modifiée par la cohésion des particules aqueuses entre elles ou avec le sable.

L’accord devient encore plus manifeste quand on différentie les deux expressions. On a alors

d Q z=z K2 r d r et dS = K' 2 cdc.

d Q est ici l’accroissement moyen du chemin que chaque particule d’eau parcourt, dr l’accroissement du rayon du tube capillaire. On voit que la vitesse d’écoulement, nulle à la paroi du tube, croît proportionnellement à r, de la même manière que la vitesse dans la loi de la chute , vitesse qui est nulle à l’origine du mouvement.

On peut aussi se représenter dans chaque espace capillaire un système d’anneaux liquides élémentaires de forme cylindrique , dont la somme constituerait un corps limité par la surface de révolution qu’engendre une portion de parabole ; on retrouve ainsi l’expression précédente.

Notre formule renferme donc une combinaison de la loi de la chute avec la section d’écoulement, et par là elle offre un sens net à l’esprit, tandis que la formule Q-=:Kr‘^ n’était pas immédiatement intelligible jusqu’ici , parce qu’on n’y reconnaissait pas la loi de la chute.

Plus loin , à l’occasion des expériences sur le calcaire et l’argile, nous retrouverons encore la loi sous une troisième forme.

En réunissant dans une même formule les divers résultats auxquels nous sommes déjà parvenus, nous avons:

Q = ÆT (1 + 0,0136 t + 0,000704 f^).

Il ne reste plus qu’à déterminer la constante K.

YIL

Pour trouver la constante, faisons h D L = l métré,

r z=z yiç millim. et ^ = 12" C; en calculant alors r à l’aide du

poids , suivant la formule r = y — . , nous obtenons :

pour N". 1 TT =

0,10639=0,42556 m^. par heure.

4 ir=-M^0J^40^5^0,1059 =0,4236 „ „

K en moyenne =0,106426=0,42570 „ „

Cette valeur de K correspond à:

à = 1 mètre

r = millim.

T'= 1 heure.

Ainsi se trouve entièrement déterminée la loi de l’écoulement de l’eau à travers du sable à grains de même grosseur.

Je ferai encore remarquer que le sable N®. 1 et N®. 2 était

du sable de mer , N®. 3 du sable de 'bruyère , ou sable diluvien , et N®. 4 du sable du Lek. Comme ces quatre sortes de sables obéissent à la même loi , on voit que , sous le rapport en question , l’origine du sable , pourvu qu’il soit d’ailleurs parfaitement purifié, ne fait aucune différence.

YIII.

Comment l’écouiement se fait-il à travers des couches de sable superposées , différentes quant à la finesse du grain ?

Le même tube qui avait servi aux expériences mentionnées dans le paragraphe YI fut chargé de deux sortes de sable différentes, à savoir, la partie en cuivre et l’une des branches de sable hT®. 4, l’autre branche de sable N®. 2.

Après que , sous l’action de chocs répétés , le sable se fut tassé de manière à ne plus éprouver de déplacement, le tube fut d’abord fixé au tube de pression par la branche remplie de sable fin; ensuite, dans une seconde série d’expériences, le tube fut retourné, de façon qu’alors l’eau traversait en premier lieu la branche chargée de sable grossier.

Les expériences donnèrent les quantités suivantes d’eau écoulée :

Sable fin en avant, sable grossier en arrière. % mètre.

Temps. Température réduite à Quantité d’eau écoulée,

5 min. 12^ 16,5

moyenne

Archives Néerlandaises, T. XIY.

Sable grossier en avant , sable fin en arrière, h -=1% mètre.

Temps. Température réduite à Quantité d’eau écoulée.

5 min. 12° 17,5

moyenne

De ces expériences il ressort, en premier lieu, que, toutes choses égales d’ailleurs , les quantités d’eau écoulée sont les mêmes ; quand deux couches de sable sont superposées , il est donc indifférent, pour l’écoulement, que l’eau traverse d’abord le sable fin et puis le sable grossier , ou bien qu’elle les traverse en sens inverse.

La longueur de la colonne de sable fin était de 15cm^3. Par le tube entier , d’une longueur de 40c°i,85 , il s’écoule , d’après le paragraphe YI , quand le tube est entièrement rempli de sable fin, 2Qcc,2 en 15 minutes, c’est-à-dire 6cc^73 en 5 minutes. Les quantités d’eau étant en raison inverse des longueurs des tubes , il faudrait donc que le tube, s’il avait la même longueur que

dans la série expérimentale VIII, fournit — ^ 6,73 cc. 17,9

cc. d’eau, tandis que l’expérience n’en a donné que 17 ce. Si l’on considère que le sable fin , là où il est en contact avec le sable grossier , peut bien , d’après les dimensions de ses grains , s’insinuer un peu dans les interstices du sable grossier (quoiqu’un mélange ne puisse avoir lieu), ce qui ralentira un peu l’écoulement, on voit que la quantité d’eau trouvée doit effectivement être un peu moindre que la quantité calculée. La différence est toutefois si petite, qu’il demeure évident que le tube chargé de deux couches de sable se comporte comme si le sable fin existait seul et que le sable grossier eût été entièrement supprimé.

Ce qui vient d’être trouvé pour deux couches de sable s’applique naturellement aussi à trois ou à un plus grand nombre de couches, et nous avons donc ce résultat général, important pour la pratique: lorsque des couches de sable de différents degrés de finesse se succèdent dans des tubes en U, l’ensemble agit comme si le sable le plus fin était seul, l’influence des couches de sable plus grossier étant égale à zéro. Pour les tubes droits verticaux , la même règle subsiste , avec cette différence seulement, que la pression h doit être augmentée de toute la hauteur de la colonne verticale de sable.

Nous donnerons à cette règle, suivant laquelle la succession de couches de sable de différents degrés de finesse est sans influence sur l’écoulement, le nom de règle de la commutativité.

Comment l’écoulement se fait-il à travers des mélanges sableux dont les grains individuels ne diffèrent pas assez en grandeur pour que les plus petits puissent se loger dans les intervalles des grands?

Le même tube qui avait servi pour la série expérimentale YIII fut aussi employé dans la recherche suivante. On avait: Poids du tube -|- sable + eau ..... —279,08 grammes.

„ du sable contenu dans le tube . . . = 103,39 „

„ du tube z= 152,97 „

„ de l’eau dans les interstices du sable z= 22,72 „

„ du tube rempli d’eau seule , à 10,®4 C. = 214,33 „

On déduit de là :

Eau déplacée par le sable = 214,93 — 152,97 — 22,73 = 39,23 ,