On appelle ti^oisième proportionnelle le premier et le
quatrième terme d'une proportion, dans laquelle il y a une
moyenne proportionnelle.
Dans la proportion f =r f , 9 est une troisième proportionnelle, par rapport aux trois autres termes ; il en est de même de 4.
286. Propriété fondamentale. Da7is toute proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Cette propriété fondamentale permet de trouver un terme quelconque d'une proportion lorsqu'on connaît les trois autres.
Exemples: 1^ Soit à trouver la valeur de x dans la proportion -y^ = • On é^ale le produit des extrêmes à celui des moyens, et
lea
15 V 42 un seul X égale 18 fois moins ou — ^ — = 80*
2° Dans la proportion -zr^ = , on trouve t
4 a; = 12 X 12, d'où a? = î^-^-^ = 86.
D'où l'on voit que pour obtenir la valeur cFun extrême^ il
faut multiplier Vun par Vautre lea deux VYioyens^ et diviser le
produit par Vextrême connu» Pour trouver un woyeuy il
faut multiplier Vun par Vautre les deux extrêmes^ et diviser
le produit par le moyen connu.
S^ Enfin, dans la proportion — =-r^,on aura, eu écrivant que le
produit des extrêmes est égal à celui des moyens :
a?2 = 8>08oul44; d'où X = /H4 = 12.
Ainsi, pour obtenir la valeur d'une moyenne proportionnelle^ appelée aussi moyenne géométrique, il faut extraire la racine csarrée du produit des extrêmes.
287. On dit, d'une manière générale, que la moyenne géométrique de deux nombres est la racine carrée du produit de ces nombres. Quant à la mienne arithmétique de deux nombres, elle est égale à la demi-somme de ces nombres.
DES GRANDEURS PR0P0RTI0NNEI/I.E8
288. Grandeurs directement proportionnelles. Deux grandeurs variables sont directement proportionnelles lorsque Tune d'elles, devenant 2 fois, 3 fois, 20 fois plus grcmde ou plus petite, l'autre devient en même temps 2 fois, 3 fois, 20 fois plus grande ou plus petite.
Ainsi le prix d'une marchandise et le poids de cette marchandise sonc des grandeurs directement proportionnelles, c'est-à-dire que le prix sera 2 fois, 3 fois plus grand si le poids 2 toîsb S ^<DÛi P^^ ooQsidérabla
DES FB0P0BTI0K8 167
De .;iême, le travail d'une machine est directement proportiG^inel au temps pendant lequel la machine fonctionne.
L'ouvrage fait par des ouvriers est directement proportionnel au nombre des ouvriers, si l'on suppose que les ouvriers sont également habiles.
Le w'hemin parcouru par un train, qui garde toujours la même âtesse, est proportionnel au temps, etc.
289 Grandeurs inversement proportionnelles. Deux grandeurs variables sont invers^^.ment proportionnelles lorsque Tune ^'elle devenant 2 fois, 3 fois, 20 fois plus grande ou plus petitt, l'autre devient en même temps 2 fois, 3 fois, 20 fois plus 2'^iiie ou plus grande.
Aii.si le temps employé à faire un ouvrage est inversement proportionnel au nombre des ouvriers, c'est-à-dire que le nombi^ des ouvriers devenant 2 fois, 3 fois plus grande le temps nécessaire pour faire l'ouvrage sera 2 fois, trois fois plus 'i^etit.
De .nême la longueur de la pièce de toile qu'on peut fabriquer a /ec le même poids de fil est inversement proportionnelle à la largeur de la pièce.
290. Il arrive souvent qu'une grandeur est directement propoi cionnelle à une ou plusieurs grandeurs, et inversement propoi cionnelle à d'autres grandeurs ; ainsi le temps qu'il faudra poar faire un ouvrage est directement proportionnel à la grandtiur de cet ouvrage, et inversement proportionnel au nombre des ouvriers qu'on y emploiera.
291. Remarque. Dans les opérations pratiques, les rapports sonD regardes comme des nombres abstraits.
