Soit la prc^ression géométrique suivante

On l'énonce ainsi, 2 est à 6 comme 6 est à 18 comme 18 est à 54.

178. Nous appellerons a le premier terme d'une progression géométrique ; &> le dernier terme ; g le quotient d'un terme par celui qui le précède ; n le nombre des termes, et s la somme de tous les termes.

] 70. Toute progression géométrique peut être représentée par la formule smvante :

TT <» : « X î : « X î* ; a X î^ ; « X î*. . . . »,

ou bien par celle-ci ,

suivant que la progression est croissante on décroissante.

180. Un terme quelconque o dtune progressiên géométrique es% égal au premier d^ multiplié par la raison q, élesféeà la puissance indiquée par le nombre des termes qui le précèdent , c'est-à-dire que ft> = a X ?""'•

Ce qui est évident d'après la formule de la prc^ressiou géom6triqueCi39>

DE L'AHITHMEUQUE. 63

l8i . Le quotient q de deux termes consécutif d*ime progretêion géométrique , est égal à la racine n — i du quotient du plus grand extrême par le plus petit.

En effet, puisque w = a X ?""" ? on aura

^ a yiq^- ^^^^ ^ c'est^-^re^ = y"-» (69).

Donc

c*est-à-âire ^ — = ?> c'est-à-dire y = jK — . Donc, etc*

182. Entre deux nombres donnés h etc^ insérer un nombre m de moyens géométriques.

Que c ^ ô; puisque m :=:n — 2 , d'après la formule

q = ^ — (i8i) , on aura q =: ^^ ■

et par conséquent

ce qu'il fallait faire.

Exemple. Soit propose' d'insérer entre 3 et 96 quatre moyens géométriques, on aura

et par conséquent la progression géométrique suivante t

i83. La somme des termes dune progression géométrique est

égale à .

Soit la progression géométrique

Oa peut écrire cette progression sous cette forme :

à : a X î : ; a X ^ ; a X y» ; ; a X y» : û X îSdonc

Mais le premier terme de la proportion B égale la somme de tous les termes de la progression ge'omélrique A, moins le dernier <3K X 7^9 et le second terme de la proportion B égale la somme de tous les termes de la progression géométrique A , moins le premier a; donc , si l'on nomme s la somme de tous les termes de la pro^ gression géométrique A , et &> son dernier terme , on aura

donc (* — »)XûXy=(^ — û)X a {1^2).

Faisant les multiplications indiquées, on aura

sX aX g — tùX aX q = s X a — aX a;

c'est-à-dire

donc (^Xg~»Xg)X^ (^-^)X^ f^g) ,

c'est-à-dire ^X y— w X y = « — a (Sg).

Donc

s X q — (i^Xq + tàXq=:s^^a + (^ X q (^6)j

c'est-à-dire *X y = *— a + « X y.

Donc s X q — sz=z s — a + wX? — s (27) ,

c*est-à-dire s X (q — i) = w X q — «.

Donc -^ ' = 2 (29)

c'est-^-dirc s = ^ ^ ^ "" "" (84).

Donc, etc.

184. C'est à l'aide des deux égalités to = « X ^"~S s = , qu'on a calculé la table suivante, au moyen

delaquelle,connaissanttrois des cinq choses, co> a, q, n, s, d'une progression géométrique,' on peut toujours trouver leS deux autres.

éTAVT BOïfXÉES.

DE UiattTgMÉTIQUE.