D É' L À DIVISION

lettres par des lettres; des quantités radicales par d'autres quantités radicales ; les numérateurs des fractions par des numérateurs ; les dénominateurs par des dénominateurs, etc.' Et de plus, dans les numérateurs , les dominateurs et les radicaux , il ne faut diviser les quantités d'une espèce quelconque que par leurs homogènes.

Si la quantité à diviser ne peut pas être décomposée par le diviseur , il suffit, lorsque les deux quantités sont entières, d'écrire le diviseur au-dessous du dividende, en les séparant par une petite ligne. Ainsi pour diviser a h par c , on écrit -^ — ; et pour diviser

a-^^b Vc X par tf , on écrit ''"^ ^ ou -^-^ — • Vc x. De même

Vax'-x^ divisé par VTx^ donne ''^— "" - ou l/'..lHlfL» Et

a^ + ab V^a* — ix^ divisé par a — b V a^ — :c*, donne

4tx- V ^^7211 • Et I ^ V/7 divisé par 4 V^ donne 3 VJ.

Lorsqu'il faut diviser l'une par l'autre des fractions, multipliez le numérateur du dividende par le dénominateur du diviseur, et le dénominateur du dividende par le numérateur du diviseur, le premier produit ^era le numérateur du quotient, et le second le dénominateur de ce même quotient. Ainsi, pour diviser -y- par

-j-, il faut écrire -^ , en multipliant a par d et b par c. Par la même raison, ^ divisé par ^, donne yf. Et -^V^ divisé par

yj", donne "t?" ^^^i mais divisé par — -^^j.=- , donne. . . . TX^-^^^='- De même ^ divisé par c, donne ^. Et c ou

-^ divisé par -^ , donne -jp-. Et \ divisé par 5, donne ^. Et 3 divisé par ^, donne -î^. Et -i±^ • V^77 divisé par «, donne. . . .* + * l/Txl Et â+l V'cT divisé par -^, donne '"j"*' ^^c*. Et 2 j/I^ divisé par 3 V^TZ, donne | j/^^-- ^^ ^ ^^-T divisé par 3 ^^^, donne f |/^^. Et j I^Tr divisé par

j V\\ donne y V^jj. Ainsi du reste.

Lorsque le dividende est complexe , il faut diviser chacun de ses termes par le diviseur. Ainsi tf*+ 3 tf a; — x^ divisé par a^ donne

pour quotient tf + 3 * • Mais lorsque le diviseur est aussi luimême complexe , il faut ordonner l'opération comme pour la division des nombres. Ainsi , pour diviser a^ -|- 2<z*c — a^ b — '^ab c + b"^ c par a --^ b^ dites : combien de fois a est-il contenu dans a^ , c'est-à-dire , le premier terme du diviseur dans le premier terme du dividende? Réponse, a*. Ecrivez donc a^ au quotient. Et après avoir retranché du dividende le produit du quotient a^ par le diviseur tf-r- *, ou a' — a^ ^, le reste sera \a^ c — '^ab c-^^V^ c^ qu'il faut encore diviser. Dites donc de nouveau : combien de fois a est-il contenu dans 2 a^ c ? Réponse , 2 ^ c. Ecrivez i.ac au quotient , et retranchez le produit de 2tfc par a — ^, ou 2tf*c — 2tf^c, le

reste sera — abc + b"^ c. Dites encore : combien de fois a est-il

contenu dans — abc? Réponse, — bc. Ecrivez — ^c au quotient, et retranchant son produit par a — A , ou — ^ * c + ^* c' du dernier dividende , il . ne restera rien. Ce qui marque que la division se fait exactement , et que le quotient est a* + 2 <i c — bc.

Au reste pour ramener des opérations de cette espèce à la forme

que nous avons employée pour la division des nombres y il faut ordonner les termes, tant du dividende que du diviseur , par rapport aux puissances d'une même lettre ; de manière qu'on placera au premier rang le terme où cette lettre a le plus grand nombre de dimensions ; au second rang , celui où les dimensions de cette même lettre approchent le plus de celles qu'elle a dans le premier terme, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à des termes où cette lettre n'est plus facteur , et qu'on placera pour cette raison au dernier rang« Ainsi dans la division que nous avons faite plus haut, qu'on ordonne tous les termes par rapport aux dimensions de la lettre a, et l'exemple que nous allons mettre sous les yeux donnera une idée de la forme que nous demandons.

On peut voir dans cet

exemple que le terme a\

où a est de trois dimensions. , . , . ,*

tf' + ia^€ — } atc + b^c

ôcaipe la première place du ^i^

lUvidende, et que les termes "t; r; :

ia*c et — a^by oh a est

• , ,. . o + 2tf*c — %abc-\rb^c

de deux dimensions, oc- . . ^ ,

+ 2tf «^ — xabc

cupent la seconde , et ainsi

du reste. On aurait pu écrire

le dividende encore ainsi: -«

a* + lac^bc

— abc + b^c

— abc-^b^c

«'tr

a^ — ^bca+b^Cy

OÙ Ton n'a écrit qu'une

seule fois au second rang la lettre par rapport à laquelle toute l'opération a été ordonnée. Si l'on voulait ordonner l'opération par fapport à la lettre ^, il faudrait disposer les termes comme on le

voit datïs Texemplé suivant, auquel on a cm à propos de joindre une explication.

Dites : combien de fois — t est-il contenu dans cb^} Réponse , — ^ A. Ecrivez donc — cb au quotient , et ii "*" 3 ^^

retranchez du dividende le

produit de — et par le di- ^** — ^*^

bC'\^ lac

viseur — *+tf, ou cb^ — o — %ac abcj et il restera au second

xac

b. Ajoutez à

-^ xac

ce reste , si vous voulez , ^

les quantités qui occupent le dernier rang, c'est-àdire , 1 > et dites en-

core combien de fois — b est-il contenu dans ~ '^ "2 b? Réponse ,

^ ^^/* Ecrivez ces quantités au c^fuofiént, èl les fbtiM^liant par le diviseur, retranchez du rerte du dividende leur produit, ou

%ac

lac

b] 2 > et il ne restera rien. D'où on peut conclure que a' ^ 'f- la c * *

la division est achevée, cl ()ue le quotient est comme auparavant — bc + lac + tf*.

31 i^ELADIVISION.

S'il faut diviser a V — a»c* + j^V +y' — iy*c* — a* — z/i*c* — <*V ?^ y* — "* — '^* » ordonnez les quantités par rapport à la lettre y en cette

manière y^

Ensuite faites la di-

^xd^c

l + tf*

+ tf*C

4— Ifl^

'tf c

vision comme dansj'^^ ^2

l'exemple ci-à-côté. 7

'^ .0 +itf

On propose aussi ^^ d'autres exemples de ^u»

division sur lesquels "• ^ il est bon d'observer , ^ que lorsque les termes ^ sont ordonnés par rapport à une lettre, et que toutes les dimensions de cette lettre

ne se suivent pas sç- o o

Ion la même progression arithmétique , mais qu'il se fait dans quelques endroits des sauts d'un terme à Tautre, il feut marquer les places vacantes par une astérisque *.

- arà

y -itfV

2 tx •• 1^ "

G — ab — ab — h'