MESURE D UN ANGLE AZIMUTAL
haut; dans ce mouvement, le fil du réticule doit toujours bissecter l'image de la mire; on le déplace, s*il est nécessaire, jusqu'à ce qu'il en soit ainsi.
2" Mode de pointé, — Ce nouveau réglage étant effectué, on vise les points S, S'. Pour cela, on imprime avec la main au cercle alidade un premier déplacement, qui amène à très peu près la lunette dans la direction de S; on fixe alors au cercle azimutal, à l'aide d'une pince à vis, une vis de rappel dont l'écrou est attaché au cercle alidade, et, à l'aide de cette vis de rappel, on communique au cercle alidade de très petits déplacements jusqu'à ce que le fil du réticule vienne bissecter l'image de S.
3* Lecture de fangle. — On lit alors l'angle azimutal à l'aide du vernier porté parle cercle alidade. L'approximation donnée par le vernier est assez faîble; pour un cercle de 16 centimètres de diamètre, par exemple, dont le limbe est divisé de 10* en 10', le vernier est au 60«, c'est-à-dire qu'il porte 60 divisions réparties sur un arc égal à 59 divisions du limbe. On lit alors les 10' et, par estime, les 5". Les cercles de plus grand diamètre, munis de microscopes micrométriques, permettent d'atteindre beaucoup plus de précision. Le microscope, avec lequel on lit les divisions, est muni d'un micromètre : celui-ci se compose d'un réticule formé de deux fils parallèles entre lesquels peut être vue l'image d'une division {/ig. 20); ce réticule peut être déplacé à l'aide d'une vis micrométrique, dont les tours sont comptés au moyen d'un
peigne métallique AB devant ^
lequel se meut le fil du réti- ^^^' '^^*
cule. La largeur d'une dent de ce peigne correspond à un
tour de la vis et la position initiale du fil du réticule, qui détermine Taxe optique du microscope, est indiquée par une cavité circulaire G. En amenant successivement les fils du réticule à comprendre entre eux les traits qui limitent un intervalle de deux ou trois divisions delà graduation, et notant le nombre de tours et de fractions de tour de la vis correspondant, on a pu déterminer le nombre de tours de vis correspondant à une division, et, par suite, la fraction de division correspondant à un tour ou à une fraction de tour de la vis. Pour faire la lecture, on pointe avec le réticule la division dont l'image est la plus rapprochée du zéro ; puis on compte le nombre de tours et fractions de tour de la vis nécessaires pour amener le réticule de cette division au zéro; on en déduit la fraction de division qu*il faut ajouter à la division lue.
Mais la mesure d'un angle, ainsi effectuée à Taide d'un cercle divisé, est affectée de deux sortes d'erreurs, les erreurs d'excentricité et de division, dont l'élimination est de la plus grande importance et qu'il convient d'étudier avec soin.
18. Erreurs d'excentricité. — I. Cercle fixe et repères MOBILES. — Supposons d'abord le cercle divisé fixe. Quel que soit le soin apporté à la construction de Tinstrument, le cercle alidade, qui porte la lunette et le vernier ou le microscope, ne tourne pas exactement autour du centre du cercle gradué, c'est-à-dire autour du centre de la graduation que porte ce cercle. Le constructeur eût-il obtenu ce centrage parfait dans une position de l'instrument, il ne subsisterait pas pendant la rotation, en raison du jeu qu'il faut laisser à l'axe pour lui permettre de tourner dans la gaine qui le contient. Il suit de là que le centre du cercle ou de la graduation étant
ERREURS d'excentricité
en {fig. 21), le centre de Talidade est en 0', de sorte que, l'angle dont la lunette et le vernier ont tourné étant AO'B, Tangle lu est AOB, qui n'a pas la même valeur. La différence.
FJg. 21.
FIg. 22.
OU Tangle qu*il faut ajouter algébriquement à AOB pour obtenir AO'B, est la correction dCexcenh^icUé,
!• Cercles munis (Tun seul vernier. — Supposons l'objet visé placé aune distance infinie dans la direction O'A (fig. 22). La direction de l'alidade, si elle était centrée sur la graduation, serait OA' parallèle à O'A ; la lecture serait A' au lieu de A. Dans une seule direction, la lecture se fait sans erreur ; c'est lorsque l'alidade est placée suivant la ligne 00' qui joint les deux centres. Prenons cette direction inconnue pour origine des angles, et soient oc la lecture correspondante, e la dislance 00', r le rayon OA'. Lorsque l'alidade est venue en O'A, la lecture est A, correspondant à un angle au centre aOA = A — Qt, plus petit que l'angle vrai aOA' de l'angle AOA' ou O'AO que nous désignerons par p : c'est la correction d'excentricité. Or, on a, en considérant le triangle OAO', l'égalité :
sinp sin(A — a)
Mais, en abaissant O'D perpendiculaire sur OA, on voit que Ton a aussi :
(2) r = O'A cosp + e cos (A — a).
On déduit de ces deux équations la valeur suivante de tgp:
-sinfA — a) igp= -
i cos(A — a)
La valeur du petit angle p est alors donnée par la série très rapidement convergente, en raison de la petitesse de- :
(3)p = ^sin(A-x)+|^;sin2(A-a)+i^^%in3(A-a) + ...
ou, en secondes d'arc :
p = — r— TT, sinfA — i) + a • a// sin 2 (A — - x) r sin 1 ^ ^ r' sin z ^ '
On peut se borner, en général, au premier terme, ce qui revient à faire O'A = r dans Téquation (1) et à remplacer le sinus de p par Tare.
Le cercle étant muni d'un seul vernier, que l'on suppose tourner autour d'un centre fixe 0' différent de 0, on obtiendra la correction qu'il faut ajouter à une lecture A pour la rapporter au centre de la graduation en déterminant les
inconnues - et a de la formule (3). A cet effet, on mesure un
angle connu <o, Tangle de deux objets terrestres très éloignés.
ERREURS d'excentricité 49
distants d*uae quantité connue, ou Tangle de deux étoiles connues. Soient A et B les lectures: on aura pour la correction p de A :
P = ;8În(A - «)
et pour la correction p' de B :
P =1 8in (B - (x)
avec l'équation de condition :
cû = A — B+p— p'.
On en déduit :
(D = A — B -f - [sin (A — a) — sin (B — a)]
ou, si Ton appelle L l'angle lu A — B, de telle sorte que B = A — L:
û) = L + - [sin (A — (x) — sin (A — ot — L)]
ou:
0) = L + - [sin (A — x) (l — cosL) -|- sin L cos(A — a)"
équation qui contient trois inconnues,
-> sin (A — a), cos(A — a).
On observera donc au moins trois angles a>.
Ce procédé de correction suppose Texcentricité fixe ; si elle est fluctuante^ suivant l'expression de M. Paye, en raison du
COUat D* ASTRONOMIE . 4
jeo des axes, on multipliera les observations et Ton Obtiendra un grand nombre d*équations de condition, d*où Ton déduira
les meilleures valeurs des inconnues-» sm{A — a) et cos(A — a)
par la méthode des moindres carrés. Les variations de Texcentricilé sont alors considérées comme des erreurs accidentelles d*observation, qui s'éliminent les unes les autres par la répétition des mesures d'un même angle faites pour diff érentes positions de Talidade. Il faudra donc aussi multiplier de la même manière la mesure de Tangle auquel on veut appli quer la correction d'excentricité. On corrigera chaque lecture en particulier d'après la formule, et l'on prendra la moyenne des diverses valeurs obtenues. Cette méthode est celle qu'on emploiera avec le sextant, qui n'a qu'un seul vernier.
2" Cercles munis de plusieurs vernier s. — Dans les instruments d'astronomie ou de géodésie, on fait usage de plusieurs verniers ou microscopes, dont l'emploi permet Vélimindtion
complète de l'erreur d'excentricité sous certaines conditions que nous allons étudier.
Prolongeons la direction O'A (Jîç. 23) de l'alidade au-delà de Cet soitB la lecture du cercle à Tautre extrémité de l'alidade ainsi prolongée. Faisons de même pour le rayon 0»
de la ^graduation ; la leclure ^ l'extrémité du diamètre sera 180* + «. La lecture B 4€ra trop forte de la même quantité p dont  est trop pelit,
Fig. 23.
ERREURS d'excentricité
-donc
sera la vraie mesure de Tangle dont a tourné Talidade: Tangle inscrit est mesuré par la demi-somme des arcs compris entre ses côtés.
De plus,' la différence à 180^ de la 'différence des deux lectures A et B donne le double de la correction p. Il suffira donc de faire un certain nombre de pareilles lectures aux deux
-extrémités de l'alidade, pour déterminer a et - {par la
relation déjà employée. Mais la connaissance de ces quantités •est un pur objet de curiosité et n'intervient pas dans la mesure -exacte des angles. Si AB [fig, 24) ^st la direction de l'alidade quand 'la lunette est dirigée sur une •étoile, A'B' sa direction quand on vise une autre étoile, l'angle •dont a tourné la lunette est mesuré rigoureusement par la de- Hni-somme des arcs AA' et BB' (*).
Ce mode de mesure n'exige nullement que le point 0' soit
ifixe ; rexcenlricité peut être fluctuante et - atteindre des va-
Fig. 24.
(1) Il est dit dans la plupart des traités d'astronomie que l'élimiDationde Vernsur d^excentriclté s'obtient en faisant deux lectures à deux repères distants l'un de Tautre de 180*.0n voit que cet énoncé n*est pas rigoureux, à moins qu'on n*enlenle par là que ces deux repères sont en ligne droite Turf avec l'autre.
leurs quelconques. Mais elle exige que A6 soit une corde du cercle sur la circonférence duquel est tracée la graduation. L*alidade ordinaire, combifée avec une graduation formée de traits convergents vers un centre sur un limbe plan, ne remplit pas cette condition. Les vernlers ne peuvent non plus être utilisés; car la théorie exige qu'ils soient centrés sur la graduation même. On remplirait les conditions voulues en faisant la graduation parpoints sur une circonférence du cercle Ûxe et en formant Talidade d*une règle dont les extrémités présenteraient latéralement deux biseaux en ligne droite Tun avec rautre, ou mieux deux fenêtres munies chacune d*un 01 fin, les deux fils étant dans le prolongement Tun de Tautrc.
Le mode de graduation adopté par Gambey dans le cercle mural de FObservatoire de Paris, où les divisions sont tracées sur la couronne, se prêterait au contraire très bien à Tapplication du principe. Les repères seraient tracés sur la
tranche des extrémités de Talidade et, celle-ci étant à fort peu près centrée sur le cercle, on pourrait faire usage de deux verniers.
II. Cercle MOBILE ET repères fixes. — Supposons maintenant les repères fixes, et le cercle gradué tournant entre ces repères en entraînant avec lui la lunette. Soient R R' (fig, 25) la droite qui passe par les deux repères, le centre du cercle c^està-dire de la graduation, dans une première position, A et B les lectures faites sur le cercle. Dans une deuxième position
ERREURS D*EXGENTRIGITÉ 53
0' du cercle, la corde AB est venue en A'B', et les lectures suivant la ligne des repères fixes sont A^ et B^ . L* angle dont a tourné le cercle, et en même temps la lunette, est A, CA', qui a pour mesure exacte
Il est donc donné sans erreur par les lectures faites directement suivant la corde fixe RR', quelle que soit la distance au centre de cette corde et quel que soit le mode de rotation du cercle.
La graduation par traits sur limbe plan, avec verniers ou microscopes fixes, ne satisfait pas aux conditions de ce mode de mesure. Sur un tel limbe, la graduation devrait être faite par points distribués sur une circonférence de centre 0; les repères pourraient être deux lames fixes percées de fenêtres sous lesquelles tournerait le cercle; deux fils tendus dans ces enêtres détermineraient la direction fixe RR'.
Le mode de graduation du cercle de Gambey et la position des microscopes qui en est la conséquence semblent être la réalisation la plus parfaite de la construction géométrique précédente. Il suffirait que les microscopes opposés fussent assujettis à la condition d'avoir leurs axes exactement dans le prolongement l'un de l'autre, et que l'observateur ait le soin de déterminer chaque lecture par des pointés sur les deux divisions qui se trouvent de part et d'autre du zéro. Le mode de construction de ce cercle lui assure donc un avantage réel sur les cercles gradués sur limbe plan ; et, en effet, il est à remarquer que Terreur d'excentricité est beaucoup plus faible k cet instrument, malgré la manière défectueuse dont est établi son axe de rotation, qu'aux cercles à limbe plan des deux autres instruments méridiens de l'Observatoire.
III. Conclusion. — L'erreur d'excentricité peut donc être éliminée sous certaines conditions, par remploi de deux microscopes opposés. En général, elle subsiste, au moins en^ partie, dans la plupart des cercles tels qu'on les construit, et elle est représentée par une série très convergente de la forme :
p = a8in(A— a) + a* 8in2(A— a) + a» sin3(A — »)+....
A cette erreur s'ajoutent les erreurs de division.
19. Erreurs de division. — Les cercles des grands instruments ont été parfois divisés directement ; tel est celui de Gambey. Mais, le plus souvent, quand le constructeur a tracéune division exacte sur un cercle de grand diamètre, il 8*en sert comme de plateforme pour diviser les cercles égaux ou« plus petits {*), Il centre le cercle à diviser sur le premier et,, à l'aide d'un tracelet fixe, il reporte sur le limbe du plus petit les divisions du plus grand qu'il amène successivement sous un repère fixe. Ce mode de graduation laisse donc subsister les erreurs de la graduation type et il en introduit de nouvelles.
i* Le centrage du petit cercle sur la plateforme n'est pas parfait. Il en résulte que le centre de la graduation tracée ne coïncide pas avec le centre de rotation du petit cercle; d'où une erreur d'excentricité dans les lectures, qui peut se représenter par une série de même forme que la précédente;
2* Le plan du limbe à graduer n'est pas rigoureusement parallèle à celui de la plateforme. On projette sur le cercle AB
CO Sar la eonslructioD de cette plateforme, voir le TraiU d'astronomie^ pratique de Brûnnow-André, t. II, p. 44.
