Lever et coucher du Soleil et de la Lune

Quatre colonnes font connaître les heures de ces phénomènes pour Paris. Ces heures sont celles du lever du centre de l'astre, ou de son coucher, en temps solaire vrai ou apparent, en ayant égard à la réfraction et à la parallaxe. Tout ceci exige quelques explications.

8. Les astronomes se servent pour diviser le temps de trois espèces d'heures :

i°. Les heures sidérales, comptées chaque jour de o à 24 » à partir de l'instant où le point équinoxial T passe au méridien supérieur, jusqu'au retour de ce même point. Cette durée est limitée par la révolution apparente des étoiles nies - elle est constante à jamais, parce que la rotation diurne de la Terre sur son axe se fait d'un mouvement rigoureusement uniforme : c'est ce qu'on appelle le temps sidéral. Les pendules des observatoires sont ordinairement réglées sur les étoiles.

U ascension droite d'un astre, en temps, est V heure sidérale de son passage au méridien.

2°. Les heures solaires vraies ou apparentes, comptées aussi de o à 24 9 depuis raidi , instant où le centre du Soleil traverse le méridien, jusqu'à son retour à ce plan. Cette dorée de 24 heures constitue ce qu'on appelle le jour astronomique de temps vrai ou apparent.

Gomme la marche du Soleil n'est point uniforme, que d'ailleurs cet astre ne parcourt pas l'équateur céleste , mais l'écliptique, les jours solaires ne sont pas égaux entre eux. Les heures vraies sont donc aussi inégales; car quoiqu'on soit convenu de partager en 24 la durée qui sépare deux midis consécutifs , comme la durée totale change avec les dates , les parties ou heures sont aussi un peu plus longues à certaines époques qu'à d'autres. Le*; heures de temps vrai sont indiquées par un bon cadran solaire.

3°. Les heures solaires moyennes, comptées aussi -de o à 24, sont données par un Soleil fictif, qu'on imagine se mouvoir annuellement sur l'équateur avec une vitesse uniforme. Cet astre est d'accord, à certaines époques convenues , avec le véritable Soleil, le devance un peu à d'autres, ou en est devancé. Sa vitesse diurne, constante sur l'équateur , lui fait décrire ce cercle dans l'année tropique , ce qui donne un peu moins d'un degré de marche vers l'est, chaque jour (5ç/ 8" j. V. n°$ 73 et 262). Cet astre fictif est appelé Soleil moyen; ses retours au méridien déterminent le temps mqyem le jour est formé de 24 heures constamment égales et régulières toute l'année. {V. YVranographie , p. ^3, ou cette théorie est expliquée, et le n° 3i ci-après.)

9* Comme l'uniformité des mouvemens est la condition essentielle des pièces d'horlogerie , on comprend qu'elles doivent être réglées de manière à marquer le temps moyen. Les pendules, montres, chronomètres, horloges , sont en effet composés pour cet objet. Cependant on peut , par un mécanisme très ingénieux, parvenir à hâter ou ralentir l'aiguille des minutes , de manière à lui faire suivre la marche du Soleil vrai. Ces pendules, appelées à équation, indiquent donc à la fois le temps vrai et le temps moyen , à l'aide de

deux aiguilles de minutes. On peut comparer les indications de ces pièces avec celles d'un bon cadran solaire; mais cet appareil compliqué est inutile à l'astronome , qui ne fait cas que de l'exacte précision des mouvemens , et l'on sent que la combinaison des rouages est ici une cause permanente d'irrégularités.

' Ainsi les pendules à équation ne sont qu'une sorte d'exception. Les chronomètres , les pendules, indiquent le temps moyen , qui est leur régulateur général ; et même aujourd'hui on ne se sert plus du temps solaire vrai à Paris , à Londres et en d'autres lieux : les horloges publiques y sont réglées sur le temps moyen. Cest donc toujours à ce temps qu'il faut rapporter les durées écoulées.

Dans les usages de la société, on ne compte les heures que de o à douze , de midi à minuit , après quoi on recommence de o à 12, de minuit à midi , et ainsi de suite. Le jour civil a encore 24 heures \ mais on en forme deux périodes. 11 diffère en outre du jour astronomique par son origine ; car il commence à minuit , tandis que l'origine de ce dernier est à midi. Le jour civil compte ses 24 heures d'un minuit an suiiant. La première période de 12*, de minuit à midi, s'appelle le matin; la 2* est le soi rv Ainsi , quand on dit que le Soleil se 1ère le 21 avril à 5* du matin temps civil, un astronome dit que le lever arrive le 20 avril à 17*, parce que, pour lui , le 20 avril commence à midi , et ne finit qu'à midi du 21, temps civil.

10. Ces trois espèces de durées sont employées dans la Connaissance des Terns, selon des circonstances que nous indiquerons dans la suite ; mais le plus souvent on s'y sert du temps solaire vrai. Les levers et les couchers sont rapportés à ce temps (*).

(*) Comme maintenant les horloges publiques ne marquent plus que le temps moyen , il serait a désirer que la Conn. des Tems s'en servit , dans certain cas , de préférence an temps Trai. Il y a quelques années encore les civils étaient réglés sur le Soleil vrai j mais puisqu'avec raison on Ta

Comme les astronomes ont sans cesse besoin de convertir l'un de ces temps en l'autre , nous indiquerons dans la suite (n° 108) les procédés à suivre pour opérer ces conversions.

11. Les prédictions de lever et coucher ne sont vraies que pour Paris, ce qui les rend d'une importance médiocre , d'autant plus que Ton n'attend aucune précision de ces indications, qui ne sont faites qu'à une minute près. Cette partie de V Annuaire n'a aucun intérêt pour le reste de la terre. D'ailleurs, un habitant de Paris , qui ne voit jamais l'astre à l'horizon , ne peut songer à régler sa montre sur l'instant de ce phénomène. Les heures données dans la Conn. des Tems ne ser* vent guère qu'à apprendre si l'astre est levé ou couché à un instant où il se passe quelque événement céleste pour Paris | tel qu'une éclipse, pour juger si elle sera visible en cette ville.

12. On sait que la réfraction élève, en apparence, les astres au-dessus de leur lieu véritable; près de l'horizon , cet effet va jusqu'à 33' de degré , et même , selon M. Bessel , jusqu'à 36'. Nous voyons donc lever un astre un peu plus tôt qu'il ne nous apparaîtrait sans la réfraction : cette durée peut se calculer. Dans la Conn. des Tems on a tenu compte de cet effet , en sorte qu'on y lit l'heure civile du lever apparent du centre de l'astre, tel qu'on pourrait l'observer d'un lieu découvert. Ce sera plus tard le sujet de nos recherches. (V. ci-après, n° 219.)

Tout ceci doit s'entendre du lever et du coucher du Soleil et de la Lune. La parallaxe de ce dernier astre est si grande , qu'on ne peut manquer d'y avoir égard ; et comme elle tend à abaisser la Lune au-dessous de son lieu réel, et

remplacé par le Soleil moyen, le temps vrai n'est plus d'usage qu'accidentellement.

Pour éviter les erreurs causées par la confusion des trois espèces de temps, il serait convenable que les têtes de colonnes de la Conn. des Tems indiquas-* sent celle dont on y fait usage. Ainsi, on devrait y marqner

Lever du centre du Soleil en temps civil vrai ,

et en faire autant pour les autres colonnes.

3o CONNAISSANCE DES TEMS.

surpasse beaucoup la réfraction , nous ne voyons au contraire la Lune à l'horizon que quand elle est élevée au-dessus de ce plan. {V. n° 90.)

i3. On n'a pas indiqué l'heure du lever le jour du premier quartier , ni celle du coucher le jour du dernier quartier ; en voici la raison. Le retard du passage de la Lune au méridien est, en termes moyens , de a4& 5o' £ ; ce retard est aussi celui des levers et couchers , toute compensation faite de la marche en déclinaison. 11 y a donc , dans la lunaison , un jour civil où la L'une- ne se lève point , et un autre où elle n'a pas de coucher. On trouve, par exemple, en janvier i83o :

Janv.

Lever.

Coucher.

Janv.

Lever.

Coucher.

ii^^M.

se

etc.

etc.

etc.

etc.

Le 17, la Lune se lève à 17' après minuit, ce qui équivaut au 16, à iih 17' temps astronomique; et comme elle s'était levée le i5, 43' avant minuit , il s'était écoulé, d'un lever à l'autre, n5h :.en sorte que dans l'intervalle de ces deux minuits, c'est-adire dans la durée du jour civil du 16 juillet , la Lune ne s'est pas levée*, c'était l'époque du dernier quartier.

Pareillement, le coucher de la Lune qui vient après celui du 1er janvier (à nA 57' du soir), arrive le 3 à i*5' du matin , c'est-a-dire le 2, à i3A5' temps astronomique. Le retard du coucher a été de a5fc 8' à cette époque du premier quartier, et c'est dans cet intervalle que se sont trouvés compris les deux minuits qui limitent le 2 en temps civil ; il n'y a donc point de coucher ce même jour.

Du reste , le retard , soit des levers , soit des couchers , d'un jour à l'autre , varie avec la déclin, de la Lune et les inégalités de la marche de cet astre (y. n° 219) , tantôt plus, tantôt moins; mais, à chaque lunaison, il y a toujours uue date où l'on trouve un jour sans lever, et une autre où il n'y a pas de

PREMIÈRE PAGE. 3l

coucher , ce qui arrive quand ce phénomène se trouve tomber d'abord un peu ayant minuit , puis le lendemain un peu après.

Cette exposition explique le renversement qu'on doit faire, depuis le Ier jusqu'au dernier quartier, dans Tordre de lecture des heures du lever et du coucher de la Lune , pour les énoncer comme ils arrivent successivement ; car il faut, dans ce cas, lire le nombre de la seconde colonne avant ce* lui du lever, pour que les phénomènes suivent leur ordre d'avènement.

Ainsi , en janvier i83o , on voit que la Lune se lève le iar a \ih 26' du matin , et se couche le même jour, à 1 \h 5*f du soir. Le 2, l'astre se lève à 11* 55' du matin (ou 5' avant midi), mais ne se couche que le lendemain matin (en temps civil), à ih 5' de nuit. Le 3 , il se lève 26' après raidi , et il se couche le 4 à 2fc 23' du matin; et ainsi de suite , en continuant de lire le nombre de la 2* colonne avant celui de la ir#, lequel se rapporte au lever suivant. On arrive ainsi à la date du i5, et Ton trouve que la Lune se lève à n* 17' du soir, et se couche le 16, à io*54' du matin. Ce jour, elle ne se lève pas, et le plus prochain lever se fait le lendemain matin, 17' après minuit ; le coucher arrive le même jour 17 a nk2o' du matin , etc. L'ordre direct de lecture est rétabli.

i4* Longitude du Soleil.

La longitude d'un astre L (fig. 11) est un arc AI d'écliptique AC,qui est compté depuis le point vernal T, tel qu'il se trouve placé chaque jour solaire ; car on sait que la précession et la nutation font sans cesse varier ce point T d'une petite quantité. L'autre limite de la longitude est le pied de l'arc LI , mené par l'astre, perpendiculairement à l'écliptique. Quand il s'agit du Soleil , cet arc perpendiculaire Ll est nul (¥), parce que le Soleil I ne sort pas de l'écliptique, en sorte que sa

(*) A proprement parler, les perturbations produisent une petite latitude, mais elle est si faible , qu'on n'en tient pas compte ; elle ne dépasse guère 1". On trouve cette latitude dans les tables de M. Schumacher, exemple digne d'être imite.

longitude est sa distance AI au point T. On sait que le Soleil marche sans cesse de l'ouest à l'est sur l'écliptique, décrivant chaque jour un arc d'environ un degré (n° ^3) j ainsi, pour cet astre, la latitude est nulle, et la longitude va croissant à chaque instant. Dans la Conn. des Tems , cet arc est exprimé , pour chaque midi vrai, en signes (ou arcs de 3o°), et en degrés, minutes et secondes (*).

La longitude du Soleil se tire des tables' de Delambre, en tenant compte de toutes les perturbations et de l'aberration de la lumière. Nous exposerons plus tard la formation et l'usage de ces tables, n° 258.

Ainsi, on trouve à la date du 22 juin i83o, dans la colonne intitulée longitude du Soleil, 3'o°28'39" : cela signifie que cet astre a déjà traversé trois signes , savoir : Aries, Taurus et Gemini, et qu'il vient d'entrer dans le Cancer; il a donc un peu dépassé le solstice d'été. En consultant une carte céleste, telle que celle qu'on trouve dans VUranographie, on reconnaîtra que le Soleil nous paraît occuper au ciel un point situé près des pieds des Gémeaux; car les signes du Zodiaque , par l'effet de la précession des équinoxes , sont actuellement transportés chacun dans la constellation qui est à l'ouest de celle dont ce signe emprunte le nom.

i5. La longitude AI du Soleil va sans cesse en croissant: on la tire des Tables astronomiques. ( V. n° 258.) Cet arc sert aux astronomes à calculer les nombres de la seconde page de la Connaissance des Tems, ainsi qu'on va l'expliquer; car la longitude du Soleil est la base fondamentale des recherches de ce genre. Du reste, elle n'a guère d'usages directs, si ce n'est pour prédire les éclipses ( n° 193 ) , et dans les calculs des distances lunaires, pour la détermination des longitudes terrestres ( n° 175).

Comme on pourrait désirer faire la vérification des données contenues dans la seconde page de la Connaissance des Tems,

(*) Il ferait à désirer qu'on y trouvât encore les dixièmes de seconde , ce qui serait facile* puisque Iw calculs sont faits aux centièmes.

ou les obtenir avec une plat grande approximation', nous ex* poserons les procédés qui servent à les déduire de la longitude.

16. La longitude n'est donnée que pour chaque midi vrai au apparent à Paris : lorsqu'on la demande pour une autre heure, il faut faire une interpolation analogue à celte qu'on emploie pour trouver le logarithme d'un nombre intermédiaire à ceux de la table , c'est-à-dire qu'on doit partager la différence entre deux longitudes consécutives proportionnellement à la durée écoulée depuis midi.

Soit h l'heure proposée; prenez la différence v entre les arcs de longitude qui répondent aux deux midis successifs entre lesquels tombe-cette heure A, et poses cette proportion :

Si 24* donnent y, combien h heures donnent-elles?

1 7. Observez qu'en multipliant les deux termes de la fraction

—7 parai, on 8—7 = 77^. doîi x = -J-^-, en faisant &s= 1. *4 24 00 60 .

pour obtenir la marche du Soleil en longitude pendant une heure.

Ainsi, pour avoir le mouvement horaire du Soleil , ajoutez v à lui-même et à sa moitié; puis, au Jieu de diviser par 60, changez lés degrés en minutes , les minutes en secondes et les secondes en tferces.

Si, par exemple, la différence v est ^7' 14*, voici le calcul

qui donne \lfîn 5" pour la marche en, une heure.; 67' 1 4"

en divisant ensuite les 14 dixaines par 6 pour ^7aI4

extraire les minutes entières , on trouve. 2'a3"5"; £ ... 28. 37

enÇâf divisant 5* par 60 pour, réduire, en déci- i43" 5*

maies <je secondes (savoir 5 par 6, ej,c.), on trouve = 2' 23",o8 : c'est le mouvement horaire demandé.

18. Une fois ce mouvement horaire connu, il ne reste plus qu?àcle mùltiplien par> la datée des h heures ^écoulées depuis midi* Ordinairement cette durée est donnée eiè heures, minutes

et secondes; on réduit ces fractions en décimales , et l'on opère à l'ordinaire.

Par exempte , on demande la longitude du Soleil le 3 juin i83o à 6*54' i8" du soir, temps vrai de Paris, ou 6*54'>3=s6*,go5. Je trouve dans la Connaissance des. Tems

3 jain, longit. = a' iz° 19' 43"

4 =2.13.17. 6 Difib'r. e = 57' a3*

i43" 46 (f. pag«ig.) 57. a3

6,go5 a8.4i,5

860,76 Mouv.hor. = i43" 27*5 ;

139,11 A malt, par 6*f$u5

990,58 = 16*30", 58 Long, Ie\3.. 3.13.19.43 \-

Long, demandée. 2' 1 a* 3^ 1 3", 58 .

On peut encore opérer par les parties aliquotes.

A«wul|iplier par.. 6*54S8// i

ao'^ 47>8a

i5"(le 16e). ..'.... o,5g

Mônv. demande.... 16. 3o, 58, en6*54'i8".

Les deux procédés .que. nous venons d'expos.çr . conduisent également au résultat. L'appareil de chiffres est assez grand , mais les opérations sont faciles , et l'on né peut guère s'y tromper* Les calculs ont été poussés jusqu'aux centièmes de seconde pour en montrer la marche; mais On les abrège 'en se bornant aux dixièmes, ce qui est très suffisant; car la tongîtudè <fu Soleil n'étant donnée qu*à la seconde , l'interpolation ne peut même faire trouver exactement la longitude aux dixièmes près.

' 19. On préfère ordinairement opérer t par. logarithmes , aiçsi qu'il soit. On réduit les facteurs de l'équation (1) en seconde»,

savoir h , v et a4* ; et d'abord 24* = 86400%

log 24' = 4 • 9365 1 37 compl. = 5 . o634863 ,

le — placé au-dessus du 5 , iudîqae que cette caractéristique est seule négative et doit être retranchée, au lieu d'être ajoutée , et réciproquement.

Quant à la réduction de h et v en secondes, aucun calcul n'est nécessaire, parce qu'il se trouve tout fait dans l'une des colonnes des tables de Callet. Chaque page destinée à donner les log. des nombres présente , à la gauche de celle des nombres, deux colonnes ou l'on iudique les arcs qui , réduits en secondes, produisent ces nombres ; le log. de ce nombre est le même que celui de l'arc exprimé en secondes, sauf h prendre 3 pour caractéristique, quand Varc est dans la première colonne de la page, et 4 lorsqu'il est dans la deuxième. . Par exemple / au nombre 2485, répond dans la deuxième colonne à gauche, l'arc 6° 54' 10"; les 6° se lisent en tête de la colonne, les, 54' plus bas, en gros caractères, puis les secondes de 10 en 10. Ainsi, pour réduire en secondes, ,1'arc 6° 54' 18", on aura 24858* t e* pour avoir le log. de cet arc, on prendra celui de ce, nombre, à la manière accoutumée. Mettant 4 pour caractéristique, il vient 4*3954662 pour le log. de l'arc 6° 54' 18" exprimé en secondes. Les trois premiers chiffres 3g5 se prennent, comme on sait, hors ligne , et les quatre derniers dans la colonne qui porte en tête les unités 8. Et si l'arc eût été 6*54' i8",47> on aQrait cherché la partie proportion nelje addftive 82 provenue de 0,47, dans la petite tahle des différences, qui donne les dixièmes de la différence logarithmique : on aurait donc eu pour log. As l'arc proposé =£ ' 4 ^9^4744 = log 24858%47. '

Bien que l'on puisse trouver dans la colonne des nombres rare réduit en secondes, lorsqu on nen veut que le log. , il n'est nullement nécessaire d'y lire ce nombre de secondes; on nTaBesoin"que~de chercher Tare dans" Ta "deuxième colonne , et son log. dans lit table,1 là où il se trouve étçe eh correspondance

Pareillement, au nombre 3443, répond l'arc o*5rfi>y, dans la i*e colonne; on lit encore o° en tête, les 57', en haut, un peu au-dessus de o°; puis les secondes sont indiquées de 5 en 5 dans la colonne, de manière qu'on lit 20", et que les 23" sont trois lignes plus bas. On voit donc que l'arc o°57'23" exprimé en secondes vaut 3443", et que le log. se trouve dans la colonne o des log., savoir log. 3443/==log.o°57'23"=3.5369370«

Et si l'on avait o° 57'23",47> on prendait les quatre derniers chiffres dans la colonne 4 > et pour le 7. on chercherait la partie proportionnelle relative à 0,7 : enfin , on ferait comme pour le nombre 3443",47> savoir, log = 3.536gg63.

On voit pourquoi la caractéristique n'est que 3 , quand Varc est pris dans la ire colonne, tandis qu'elle est 4 dans la 2*.

Réciproquement , quand le log. est donné, on trouve, dans la colonne des nombres, l'arc correspondant exprimé en secondes , et dans la iw ou la 2e colonne ( suivant que la caractéristique est 3 ou 4 ) cet arc en degrés, minutes et secondes. Il est inutile d'en donner des exemples, cette opération étant l'inverse de la première.

D'après cela, voici le calcul de l'exemple précédent 7 en se servant des log. et sans chercher le mouvement horaire :

Gomp. log 24* 5 . o634863

Nombre = 990" , 58 * . 2 . 9958895 .

Divisant qg par 6 pour extraire les minutes entières,, on trouve i6'3o",58, comme ci-devant.

Observez que dans cet exempt^, si la caractéristique eût été 3 où 4 ) on n'aurait pas eu besoin d'écrire le nombre de secondes de l'arc et d'en extraire les minutes et les degrés entiers , parce que l'on aurait trouvé directement cet arc dans la ire où la. 2e colonne de la table (*)• ■

(*) La. table; ne s'étend que depuis l'arc de 17' jusqu'à, 3o° j mais on peut encore s'en* servir hors dé ces limites , car,

i°. Si Tare est < 17', outre qu'il est bien aise' de multiplier les minâtes pat

Si , au lieu d'un arc, on a une durée exprimée en heures, minutes, etc., pour en trouver le log. en secondes de temps, tout ce qu'on vient dire s'applique exactement : en effet, l'heure se divise en 60' comme le degré, etc. ; c'est ce qui a été fait dans l'exemple précédent.

Nous aurons, par suite , de nombreuses occasions d'employer ce procédé, qui est très expéditif.

20. Lorsque la longitude du Soleil est demandée, pour une heure évaluée sous un autre méridien que celui de Paris, il faut chercher l'heure vraie comptée au même moment en cette Tille, et opérer pour cet instant. Or , pour avoir cette heure de Paris, il faut, à celle qu'on donne, ajouter la différence des méridiens en temps : une longitude terrestre à l'est de Paris est censée affectée du signe — • j ainsi , l'addition se chajpge alors en soustraction. En général, toute station à l'est de Paris compte midi avant cette ville, et le chronomètre qu'on aurait mis à l'heure de Paris, retarderait sur le méridien de cette station. Le contraire arrive pour les lieux situés à l'ouest de Paris.

Quelle est la longitude du Soleil le 3o octobre i83o, à 5*4<>' du soir au méridien de Strasbourg? La longit. de cette ville est — 21 '38" de temps, parce qu'elle est orientale; ainsi, eti retranchant, on a 5*i8'22# pour l'heure correspondante de Paris, ou 5*,3o6. Voici le calcul par nos deux procédés.

6, pour en faire des dizaines de secondes , et , par suite , d'avoir l'expression de l'arc en secondes , les premières pages de la table des log. de Callet {Grillade I) donnent les minutes en léte des colonnes, et les secondes, de 10 en 10, se trouvent au-dessous. La caractéristique n'est plus alors que 2. Ainsi, pour i3' 24"» 1e 1°§- est a>9o5'j5(>o5t qui répond au nombre 804". Cette partie de la table ne convient plus dès que l'arc a des fractions décimales de leçon de.

20. Si l'arc passe 3o<>, on change les o en ', les ' en ", etc.; et, comme cela revient & diviser cet arc par 60, on ajoute & son log. celui de 60, {ni est log 60 = 1.778151 3. Pur exemple, pour 36° 54' Mw,8 , je preuds le

log. de oo36v54//,38, qui est = 3.345a5*3

• log 60 = 1.778 i5i3

L* 3f> 54' aa" ,8 = 5.u34o3b,

Le 3o octobre i83o, longit. 0 à midi vr. a *]' 6° 33' 5o*. Diff. en 2^, v=i° oV.

Ie' Procédé. 2e Procédé.

i. o.a Mouv. hor. 5* 18' aa" £.3810788

o.3o.i . .. comp. 24* 5.o634863

a/3ow5*=i5o//o8 796,/,35 a. 9011088

5,3o6 on i3'i6",35

75o,4o A midi = 7.6.33.5o

45,oa Long O = 7.6.47. 6,35

21. La dernière cotonne de la première page de la Conn. des Tenyï donne l'âge de la Lune à chaque date du mois, en comptant 1 le jour civil de la nouvelle Lune vraie, si elle arrive avant midi , et le lendemain , si elle vient après midi. Ainsi en oct. i83o, la néomcnie arrive le 16 après midi; on ne compte pour Ier jour de la Lune que le 17, depuis minuit du* matin jusqu'au minuit du soir (temps civil). En septembre, la .nouvelle Lune est le 17 à 2*38' du matin; c'est donc ce 17 d'un minuit à l'autre qui est donné pour le 1 de la Lune.

Les autres dates lunaires s'en suivent, la lunaison se trouvant avoir à peu près, tantôt 3o, tantôt 29 jours, alternativement. Ces dates ne sont pas employées en Astronomie : on ne les donne guère que pour l'usage des almanachs; le public attache de l'importance à les connaître, soit pour savoir si la Lune éclairera certaine nuit , soit pour donner carrière aux prédictions d'évènemens politiques ou atmosphériques, que les préjugés populaires attribuent aux influences de cet astre.

22. On lit, au bas de la ire page , les dates des phases lunaires , et l'heure de temps vrai où elles arrivent. Voici comment on trouve ces nombres. A la néoménie, il y a conjonction; à la pleine Luné, opposition; le i*r et le dernier quartier sont les quadratures : cela signifie qu'en comparant la longitude du Soleil à celle de la Lune , on les trouve égales lors de la néoménie, différentes de 1800 à la pleine Lune, de 900 au ieï ywor-

SECONDE PAGE. 3g

lier, de 270° au dernier quartier. 11 s'agit donc d'avoir l'heure rraie où l'une de ces circonstances arrive. Cest ce que nous exposerons après avoir donné le moyen de connaître la longitude de la Lune à une époque désignée. {V. n° 86.)

Seconde page de chaque mois.

23. En correspondance avec chaque date, on lit des nombres rangés en trois colonnes , dont nous allons expliquer le sens.

Soit AGBE ( fig. 11) l'écliptique , cercle céleste que le Soleil nous semble parcourir en une année; ARDBO l'équateur céleste : les plans de ces cercles font entre eux un angle A qu'on appelle obliquité de Vècliptique ; nous désignerons cet angle par #, selon l'usage reçu de tous les astronomes. Les points A et B d'intersection sont les équinoxes : A est le point vernal T, origine de toutes les longitudes et de toutes les ascensions droites, comptées de T vers SICBE pour les irrt, et vers RDBO pour les autres , en faisant le tour entier, ou de o° à 36o°. Le Soleil étant supposé situé en S, AS est sa longitude; abaissant l'arc SR perpendiculaire à l'équateur AR , AR est l'ascension droite ; l'arc SR est la déclinaison. Nous désignerons ainsi ces arcs coordonnés , / = AS , A = AR , D = SR.

En résolvant le triangle sphérique ASR , qui est rectangle en R, et dont l'angle A = # , les formules ordinaires de la Trigonométrie (équ. q et n, page 3) donnent

tang JX = tang/cos*, .. (2)

sin D = sin / sin m . . . (3)

Ces équations retiennent à celles-ci :

tang. ose. dr. vr. = tang. long. vr. X cas. obliq. appar. sin. déclin, vr. = sin. long. vr. X sin. obliq. appar.

Les mots vrai, apparent, dont nous nous servons ici, signifient qu'il s'agit de la position du Soleil vrai , et que l'obliquité *, qui entre dans ces équ. , est celle qui a réellement lieu en tenant compte de la nutation. {F. ci-après, n° 77.)

24* On comprend comment on tire, de la longit. du Soleil vr* chaque jour à midi vr. , son asc. dr. et sa déclin. La ire s'exprime toujours en temps sidéral, en évaluant cet arc à raison de i5° par heure. Ce qui a été dit n° 8 suffit pour comprendre que cette asc. dr. est l'heure que doit marquer une pendule à midi vr., quand elle est réglée sur le temps sidéral.

Tant que la longitude est < 6 signes , l'asc. dr. est <^ 180° ou \2h, et la déclin, est positive ou boréale, parce que le Soleil est au-dessus de Péquateur ARB 1 c'est ce qui a lieu au printemps et en été. Quand l'astre arrive en À ou en B, aux équinoxes, la déclin, est nulle; la longitude est o ou 1800, ainsi que l'asc. dr. Enfin, dès que la longitude surpasse 1800 ou 6 signes, l'asc. dr. est > 12*, et la déclin, négative ou australe, ce qui a lieu depuis l'équinoxe d'automne jusqu'à celui de printemps, pendant les 6 mois d'automne et d'hiver.

Aux solstices , la longitude est go° en été, 2700 en hiver, ou 3 signés et 9 signes-, l'asc. dr. est 3* ou g*; la déclin, est égale à l'obliquité m : c'est la plus grande valeur que puisse prendre la déclinaison solaire.

25. Au lieu de donner l'asc. dr. du Soleil en temps sidéral, la Conn. des Terris indique le corn pi. de cet arc à itf, sous le titre de Distance de Véquinoxe au Soleil. Ce n'est point l'arc AR qu'on entend par cet énoncé, mais l'arc RDOA, en faisant le tour de l'équateur, pour achever le reste de ce cercle et revenir en A. Par la suite, nous désignerons par ©T cette distance du Soleil à l'équinoxe; ainsi on a l'équation

Or = 24* — A.

26. D'après cela t il est clair que l'on peut toujours substituer ©Y àA dans les calculs, et réciproquement, pourvu qu'on prenne l'arc substitué en signe contraire : car les W\h qu'il faudrait ajouter ou retrancher, selon les occasions/ sont sans importance , puisqu'on est en droit de le faire toutes les fois que le calcul le rend nécessaire. C'est au reste ce dont on jugera mieux par la suite.

On a préféré donner, dans la Conn. des Tenu, la distance du

Soleil à l'équinoxe à son ascension droite, qui en est lecompl. k a4\ parce que, d'après la règle ordinaire des complémens arithmétiques! au lieu de soustraire l'a se. dr. , il faut ajouter 0T; or, c'est là ce qu'on se trouve conduit à faire , lorsqu'on cherche l'heure moyenne ou Traie du passage d'une étoile au méridien (n°n4); et l'on a pensé que l'addition était plus commode a faire qu'une soustraction (*)•

27. Leséqu. du n° a3 sont employées par les calculateurs de la Conn. des Tems pour déterminer les nombres des colonnes intitulées ose. dr. et déclin, du Soleil. On ne pourrait être conduit k appliquer ces formules qu'autant qu'on soupçonnerait quelque erreur dans cet ouvrage, ou pour obtenir ces arcs avec plus de précision qu'il n'en donne ; mais dans ces cas, il faudrait d'abord trouver la valeur actuelle de l'obliquité m de l'écliptique (n° 77 ), pour le jour proposé : la longitude du Soleil est connue; ainsi, il ne resterait plus qu'à faire le calcul par logarithmes.

Par exemple, le 2 octob. i83o, la longitude du Soleil à raidi vr. est = 6*8° 45' 3o*; l'obliquité * = 23° 27' 33',6; on demande l'asc. dr. et la déclin, de cet astre. Voici le calcul (¥¥) :

(*) Dans la Conn. des Tems , on appelle cet arc distance de Féquinoxe au Soleil; il me semble préférable de l'intituler compl. a &4* de l'asc. dr. O en temps sid., ou compl. du temps sid. a midi vr. : cet énoncé serait plus significatif. Au reste, on ferait mieux de donner l'asc. dr. du Soleil, ou le temps sidéral a midi vr. \ car s'il est plus commode d'employer son compl. a 34* dans un cas , c'est le contraire dans un autre. Dès qu'on doit retrancher Fa se. dr. O , il faut ajouter Tare O Y ; mais, réciproquement, il faut ajouter l'asc. dr. © quand on devrait retrancher QT • Après tout , ce n'est que pour remplacer, dans quelques cas, la soustraction par l'addition , qu'on a cru devoir préférer la distance O Y a l'asc. dr. du Soleil ; ce n'était pas la peine de changer un usage généralement adopté des astronomes, pour une cause aussi légère.

(**) Dans les tables de logarithmes, celui du rayon est 10,0000000. Pour se servir de ces tables et les appliquer aux formules dans lesquelles le rayon est appelé d'une lettre B , il suffit donc de faire log R = 10.

Mais le plus ordinairement, pour simplifier les calculs algébriques, on y prend le rayon égal à l'unité , on R = 1 ; alors il faut, lorsqu'on vent y appliquer les tables de logarithmes, user de l'un de ces deux moyens :

cota» 9.9605316 »in m 9.5999900

tang/ 9. 187 7001 8În / 9.189606a —

tang^R.... 9.i5oa3i7 siaD. ... 8.782596a —

Dans la valeur de / , on ôte les &, et Ton prend seulement / = 8°45r 3off; mais on ajoute 1800, ou iafc, à Pasc. dr. obtenue, et l'on prend D négatif, ou la déclin, australe. On a donc

Ai = 1880 2! 3ç/, 43, D = — 3° 28' 3o", 87.

Pour réduire l'a se. dr. en temps, on prend le rapport de i5° par heure, c'est-à-dire qu'on divise par i5, ou plutôt, on multiplie par 4> et l'on change les degrés en minutes, les' en ", etc. . ., ainsi qu'il sera expliqué plus tard, n° 72. On obtient donc

A= i2fc 32' io",63, coinpl. = ©T = 11* 27' 4ç/,37.

10. Faire en sorte que le rayon des tables soit un , en retranchant 10 de tous les log,, ce qui donne ordinairement une caractéristique négative :

les log. ont alors pour partie entière 1 au lieu de 9 , a au lieu de 8. .. . Les opérations à faire sur ces parties négatives sont aussi aisées que sur les positives, et Ton acquiert aisément l'habitude que cette pratique exige. C'est ainsi que sont disposés tous les calculs numériques de Y Uranographie. {V. cet ouvrage.) Nous n'aurons pas recours, dans ce qui suit , à ce procédé.

a°. Le second moyen consiste à distiibuer le facteur R et ses puissances partout ou il en est besoin, pour que la formule soit homogène, c.-à-d. composée de termes qui aient mêmes dimensions. Voici comment il faut entendre cette expression. S'il s'agit d'un monôme , la dimension est le nombre des facteurs du numérateur , moins celui du dénominateur. Pour les polynômes, le numérateur de la fraction doit être homogène, et il faut aussi que le dénominateur le soit ; on retranche la dimension du dénominateur de celle du numérateur, et le reste est la dimension du polynôme. Enfin , si la quantité est affectée d'un radical, il faut diviser la dimension de cette quantité par le degré du radical.

Ou comprend qu'on doit diviser par R les seconds membres des équ. (a) et (3), pour qu'ils n'aient qu'une seule dimension, comme le premier membre. Ainsi, il faut retrancher 10 de la somme des log.

Ces puissances de R s'ajoutent de mémoire , et sans rien écrire. La suite nous en donnera de nombreux exemples.

SLCONDE PAGE. fô

Cest ce corn pi. à 24* V*i &t inscrit dans la Conn. des Tems, mais avec une moindre approximation.

28. Les dist. ©T et les déclin, sont accompagnées d'une colonne de différences entre ces nombres consécutifs; c'est la variation éprouvée par ces arcs en 24* Traies , ou la marche diurne en asc. dr. et en déclin. Noos allons bientôt en montrer l'usage.

Il faut observer que l'asc. dr. du © augmente sans cesse , et que par conséquent son compl. à 24* va en diminuant ; ainsi la dist. ©T décroit toujours. La colonne différence exprime donc la quantité variable dont ces dist. ©T décroissent chaque jour.

Quant à la déclin., depuis l'un des équinoxes T jusqu'à l'autre tir, elle est boréale; elle devient australe depuis ce dernier jusqu'au Ier. La déclin, croît depuis la longitude o jusqu'à 90°, pour décroître de 900 à 1800, restant toujours positive, au printemps et en été. Au-delà, elle devient négative ou australe, en automne et en hiver -, elle recommence à croître depuis la longitude 1800 jusqu'à 2700, et diminue ensuite jusqu'à 36o°.

11 faut faire attention à ces cbangemens dans tout ce qui sera dit par la suite.

29. La distance ©T et la déclin, ne sont données que pour Fheure de midi vrai de Paris ; si l'on veut l'obtenir pour une autre heure, ou un autre lieu, il faut opérer précisément comme on l'a fait n°* 16 à 20 , en se servant de l'équation (1) , page 33, c'est-à-dire en répartissant la marche diurne proportionnellement au temps écoulé depuis midi. L'exemple suivant indiquera la marche du calcul.

On demande l'asc. dr. et la déclin. © le 5 août i83o, à 10*22' du soir, t. vr. de Brest. La longitude de cette ville est 26' 16" en temps, à l'ouest de Paris ; ajoutons, il vient 1 oh 48' 16* pour l'heure comptée à Paris à l'instant désigné. Il s'agit donc de faire le calcul pour cette heure , après le midi vrai du 5 août, à Paris. On trouve dans la Conn. des Tems, à cette date,

Dist. ©T. Déclin, bor.

i5*o'n",6 i7°4,aair

Diff.en*4* - 3'5o",5 — 16' i8*.

On suit l'un des deux procédés suivans, exposés p. 33 et 36.

Ier Procédé,

Moitié i.55,a5 10*806 8. 9 10,806

Par heure. . 9" 36**5 = 9"6oî ^45"== Jo^5

— i'43*8= io3w78i -7'ao"3 = 440,34

i5. o.if,6 17. 4«as>°

i4.58.3778=OY + 16.57. 1,7= D.

On a retranche' les variations obtenues, parce que OY et D vont en décroissant.

2e Procédé.

Comp. de a4*. ... 5.o6349 5.o6349

io3",8. .. a. 01606 44°">3... a. 6^73.

3o. Quelquefois l'heure proposée est un peu avant midi de Paris; il est alors plus facile de calculer la marche de l'astre pendant cette durée, et de l'apliquer en sens contraire, au lieu de la rapporter au midi précédent.

Ainsi, pour avoir la dist. ©V, ih u'44'' avant midi du 5 août i83o, on a

Mouvement en 1* = 9*604, ou bien 3'5o",5 a.36a67

9,604 Conip. a4*..« 5.o6349

960 n",48.. .,... i.o6oo3

864 comme ci-contre.

A ajouter à 0 Y • • 1 ï"47^> parce que cet arc croit en rétrogradant. i5.o.n,6 i5.o.a3.o8 = G Y demande (*).

(*) Dans les Éphémiride* de M- Schumacher, au lieu de donner la diffe-

Les centièmes de seconde sont inexacts, puisque Parc 0T n'est donné qu'aux dixièmes; pour la déclin. , les dixièmes seraient fautifs, par la même raison. Dans les observations, les dixièmes de seconde sont très douteux ; mais dans les calculs on les conserve toujours, sauf à les négliger après coup , pour ne pas augmenter les erreurs d'observations, de celles qui proviennent des calculs (*).

3i. La dernière colonne de la seconde page est formée de Y équation du temps et de ses différences diurnes; elle porte le titre de temps moyen à midi vrai , parce qu'en effet c'est l'heure que doit marquer une pendule réglée sur le temps moyen, à l'instant où le centre du Soleil vrai est au méridien.

Rappelons ici les principes qui déterminent le temps moyen. On substitue , par la pensée , au véritable Soleil , dont la course annuelle se fait sur l'écliptique, avec une marche inégale, un Soleil fictif qui parcourrait l'équateur en un an, par un mouvement uniforme. Voici comment la situation de cet astre hypothétique est déterminée à chaque instant.

Imaginez un mobile qui parcourrait uniformément l'écliptique dans la durée de l'année tropique, partant en même temps que le Soleil vrai de l'apogée et du périgée de cette orbite. Dans l'intervalle , ce mobile devancera ou suivra l'astre , pour que , conservant sans cesse une vitesse constante, il remplisse la condition imposée. Chaque jour sidéral, il aura décrit le même arc, et son lieu, distant de l'é-

renée entre les déclin, d'un midi à l'autre, on lit le log. de cette différence, on plutôt log ft , ft désignant la somme des variations de déclin, ea deux jour», savoir, Je jour proposé et la veille. Ce nombre /*, d'api es la remarque de M. Gauss, peut être considéré comme le double de la marche diurne en déclin., ou le mouvement en 48*, «t lo^^u sert a trouver la déclin, pour une heure donnée. Il serait bon d'imiter cette pratique.

(*) Ce serait faire une chose très utile que de donner dans la Conn. des Tems les a se. dr. du Soleil au centièmes ,de seconde, et les déclin, aux dixièmes. C'est ainsi que les tables de MM*. Schumacher, Enckc, etc., sont composées.

quinoxe T d'un arc appelé longitude moyenne, différera plus ou moins de celui du Soleil , selon l'époque de Tannée. Concevez maintenant un Soleil fictif! appelé Soleil moyen, qui décrirait uniformément l'équateur en un an, de manière à se trouver éloigné du point T d'un arc précisément égal è celui de notre mobile, lequel décrit uniformément l'écliptique, 6a voir ,

Longitude moyenne = asc. dr. © moyen.

Ce sera ce Soleil imaginaire qui déterminera le temps moyen; chaque jour il sera midi moyen à l'instant où ce Soleil passera au méridien. Dans les mesures de la durée, on substitue ce Soleil fictif au véritable, -lorsqu'on veut avoir des temps égaux pour des arcs décrits égaux; c'est ce qui arrive à nos pièces d'horlogerie, dont la marche est uniforme. Le temps sidéral et le temps moyen le sont l'un et l'autre ; mais celui-ci , qui s'éloigne peu du temps vrai dans ses plus grands écarts , est regardé comme plus convenable pour mesurer les durées qu'on veut accorder avec les besoins de la vie , parce que les travaux de l'homme sont. réglés spécialement sur le Soleil vrai, {V. XXJrano graphie , n0ê 72 et 388, où ces notions sont développées avec plus d'étendue.)

3a. D'après cela, on est convenu d'appeler équation du temps l'excès de l'heure moyenne sur l'heure vraie :

Equ. du temps = heure moyenne — heure vraie. (4)

Les astronomes appellent du nom &'équation]es petites quantités qu'il faut ajouter à celles qui résultent d'une irrégularité hypothétique, pour les ramener à celles qui existent en effet. Cette partie régulière est toujours facile à calculer , à raison de son uniformité; et la -correction qu'elle doit subir pour se trouver d'accord avec les phénomènes est cherchée à part , pour l'appliquer, sous le titre adéquation, au résultat primitif, qui n'est qu'une première approximation.

On peut encore diréqtie •

Equ. du temps = asc. dr. vr. © — asc. dr. mpy. (5)

En traitant des tables solaires, nous montrerons comment on peut obtenir les deux termes du 2* membre , dont la diff. est l'équation du temps. Nous dirons seulement ici que pour trouver, par l'observation, l'équation du temps, il suffit d'obtenir l'asc. dr. vr. en temps, et d'en retrancher l'asc. dr. moy., toujours facile à calculer (q° 106). C'est cette différence qui est donnée dans la dernière colonne de la a* page du mois. L'équation du temps est toujours exprimée en temps moyen.

33. Observez que si le Soleil vrai précède celui dont le mon* vement est uniforme, décrivant l'équateur, le Soleil vrai avance, et l'équation du temps est négative ; si au contraire le Soleil vrai retarde, l'équation est positive. C'est ce qui résulte de l'équation (4)*

Dans la Conn. des Tems, on a jugé à propos de remplacer ces nombres négatifs par leur complément à 1 2*. Ainsi , le 2 août i83o , on trouve que l'équation du temps est 5' 57" , 3 ; cela signifie que là pendule de temps moyen marque 5' 5*f $ k midi vrai de Paris , ou que le Soleil rnoyen avance d'autant suivie véritable. Et le 2 novembre , on lit 11* 43' 43*>7 P°ur ''heure de la pendule moyenne à midi vrai de. Paris*,1 ce qui indique 16' i6*,3 de retard du temps moyen sur le Soleil vrai ; en sorte que l'équation du temps est — 1& iù\S (*). ■ . . 1

34a Conêruons de là que la 3* colonne indique 'l'équ. du temps toutes les fois qu'elle est positive (sa valeur numérique surpasse. o& de o'à,i£') ; mftis Jlo^sque cctjte téqu. est. négative, on lui substitue son compl. à iih (le nombre indiqué est alors

(*) Il me parait tout atS ssî sYmpte A'fndid nef l'es eqti. du temps négative», -que d'en donner le coiripf. à : 1'**-; une sobstfVfttlon de nombres très peu composés est tout aussi faàlaai*aire qu'une addition ; et d'ailleurs ce compl. n'évite JftiÇQustraçiion que ^Uot certain* cas , pour la £ajre reparaître, dans d'autres où elle n'aurait pas lien , en se servant des nombres négatifs. Toutes les éphémendes étrangères sont rédigées ainsi que nous-k: demandons, et Ion n'a pas trouvé qu'elles lussent d'un nsagè plus difficile que les nôtres j elles ont au moins l'avantage de l'uniformité tbéoriqoe.

entre n* et midi), en sorte qu'il faut, potfr avoir cette équ.) retrancher ce nombre de 12*, et prendre la différence avec le signe — .

35. Si Ton veut vérifier par le calcul le nombre indiqué dans la 3e colonne de la 2e page, il faut donc, d'après l'éqa. (5), prendre l'asc. dr. vraie dans la ire colonne, et en retrancher l'asc. dr. moy. , que nous enseignerons à calculer plus tard <n° 106).

C'est ainsi que le 14 novembre i83o, on a pour midi Trai à Paris,

Asc. dr. vr... = i5Ai6/49//4° 4k

— Asc. dr. moy. = — i5. 3a. 17,08 ^

Éq. du temps. = — i5.a7,G8

Temps moy. à midi vr. sa 11 .44* 3a, 3a = compl. à ia*.

Ce procédé de calcul est aussi usité pour trouver, au contraire, l'asc. dr. moy. , lorsqu'on connaît l'asc. dr. vr. et l'équ. .du temps. (V. ci après, n° 104.)

36. L'équation du temps sert à traduire l'heure de temps .vrai en temps moyen, et réciproquement, d'après Péqu. (4)>

Il suit de ce qu'on vient de dire qu'0/1 peut toujours substituer le temps moyen à midi vrai à V équation du temps; mais il faut observer que lorsque cette première quantité est entre 1 \h et 12* (le Soleil vrai retarde sur le moyen), comme l'équation du temps en est. alors le compl. .à I2A, pris en — -, savoir,

Equ. du temps = temps moy. à midi — «- 12*,'

il faut retrancher 12* du résultat si l'on a ajouté, et ajouter 12* si l'on a retranché l'équ. du temps.

37. Comme la Conn. des Tems ne donne l'équ. du temps .que pour midi vrai ou apparent au méridien de Paris , si

l'on veut l'obtenir à une autre heure , il faut interpoler, c'est-à-dire répartir la différence diurne proportionnellement au temps écoulé, comme on l'a fait n0< 16 et 29.

3* ET 46 PAGES Dl? MOIS. $9

Par exemple, un phénomène a e'té vu le 39 novembre i83o, l'heure Traie

«tant i3*a5/i7*6

Temja moyen à midi vrai 11.48.97,4

Corr. pour i3*a3',6 "+-11,9

Somme — ia*j heure moj. de l'obtert 1 3. 11.56,9.

Voici le calcul de correction pour i3*,3g :

Var. diurne, .t . . at*3 >3,39 (V. p. 33.)

ai ,3 0,888

Moitié*. .... 10,7 ,0>7la

En 1 heure 53"' 3 = 0", 888 1,071

Corr. pour i3*,3g 11,890.

38. Au bas de la seconde page du mois , la Conn. des Tems donne l'arc qui exprime la grandeur du demi-diamètre du Soleil, le 1 et le 16; mais cet arc étant indiqué, à la 7* page du mois , pour des époques plus rapprochées, nous ne nous en occuperons pas ici. (V. n° Si.)

Troisième et quatrième pages du mois.

39. On trouve la longitude de la Lune , sa latitude , son asc. dr. et sa déclinaison pour chaque jour à midi et minuit vrais de Paris. Les deux premières coordonnées sont tirées des tables lunaires de Burckbardt , qui sont aussi exactes que le permet l'état actuel de l'Astronomie. La position d'un astre quelconque sur la route céleste est déterminée par l'un ou l'autre de ces deux systèmes d'arcs coordonnés.

Soit L la Lune ou tout autre astre (fig. 11). Si l'on abaisse l'arc LI perpendiculaire à l'écliptique ACB , LI sera la latitude , et Al la longitude comptée du point vernal T , actuellement en A» La situation de l'astre L est donc fixée par ces deux arcs AI = / , LI = A. Si l'on mène l'arc Lr perpendiculaire à l'équateur ARDf Lr est la déclinaison, et Ar Pasc. dr. , Lr=sD, Ar=^. Les longitudes et asc. dr. lunaires sont toujours croissantes de o à 36o°, et positives; les latitudes et déclin, sont boréales ou australes, c.-à-d. positives ou négatives , selon que l'astre est au-dessus ou au-des-

sous de l'écliptique pour la ire, de l'équateur pour la 2e. S'il est situé en L'entre ces plans, la latitude L'I' est australe, et la déclin.. LV boréale.

C'est à partir du nœud ascendant de la Lune , point où l'orbite de cet astre croise l'écliptique quand la Lune monte yers la région boréale , que les latitudes deviennent croissantes et boréales. Lorsque l'astre a atteint son maximum de distance à ce -plan , environ 5° 8' d'écartement ou de latitude, la Lune s'en rapproche, et la latitude décroît, puis devient nulle au nœud descendant, et enfin australe et croissante jusqu'à — 5° 8', etc.

4o. Nous donnerons plus tard l'exposé des procédés par lesquels on tire la longitude et la latitude de la Lune des tables de Burckbardt ; mais une fois ces deux coordonnées déterminées , la recherche de Vase. dr. et de la déclin, n'est qu'un objet de calcul : c'est un simple problème de Trigonométrie sphérique. Soient / la longitude d'un astre , A sa latitude , J& son asc. dr. , D sa déclin* , m l'obliquité de l'écliptique; on donne /, a et *, et il s'agit de trouver A et D.

Le problème inverse se rencontre plus fréquemment; on donne au contraire l'asc. dr. JR. et la déclinaison D d'un astre et l'on se propose d'en trouver la longitude / et la latitude A. En effet , on ne peut observer directement ces dernières coordonnées /tandis qu'il est très facile de mesurer les premières ; en sorte que le problème inverse dont il s'agit ici , se rencontre toutes les fois qu'on veut déduire la longitude et la latitude d'un astre , de l'observation : voici comment on opère.

On observe au quart de cercle mural le passage de l'astre au méridien , et l'on en obtient la hauteur, ainsi que l'heure du passage. Cette heure, exprimée en temps sidéral , est l'asc. dr. de l'astre , puisque , quand le cercle Lr se confond avec le méridien du lieu, l'arc d'équateur kr est le temps sid. écoulé depuis que le point V a traversé ce plan. {V. n° 8.) Quand la pendule n'est pas réglée sur les [étoiles , ce temps sidéral est toujours facile à trouver par le calcul (n°* 109).

3" ET 4* PAGES DU MOIS. 5f

D'un autre côte , corrigez In hauteur observée de l'astre L de la réfraction et de la parallaxe ( n°* 67 et 93 ). Soit pzn le méridien ( fîg. 20 ) , nr l'horizon , z le zénith, ck l'équatcur, p le pôle de ce cercle, pr est la latitude du lieu, qu'on suppose connue. La hauteur vraie de l'astre s 9 quand il est au méridien , est l'arc sen vertical : en est le complément depr-9 c'est ce qu'on nomme la colatitude du lieu , ou le complément de la latitude ; d'où l'on voit que si l'on retranche cette colatitude en de la hauteur sn , le reste est la déclin. D = se. Et si l'astre est en s' sous l'équateur, la déclin, est l'arc s'e, qui est au contraire = cn — s'n = colatitude — hauteur = D ; mais comme alors la déclin, est australe ou négative, on peut encore poser

D = hauteur — colatitude du lieu.

Voilà donc l'asc. dr. A et la déclin. D de l'astre connues par l'observation, et il s'agit d'en déduire sa longitude / et sa latitude V, tandis que, dans le premier cas, on supposait ces derniers arcs connus par le secours des tables astronomiques , et qu'on se proposait d'en tirer les premiers.

La solution de ces questions consiste à traiter le triangle sphérique VpL ( fig. 12 ), où l'astre est en L, et où DRT est l'équateur, dont le pôle est en P, etClT l'écliptique quia son pôle en p. L'angle ITR = * de ces deux plans est censé connu. Or, le plan^PCD qui passe par 'les deux pôles est perpendiculaire à la fois aux plans de l'équateur DA et de l'écliptique GA ; A est le pôle du cercle pVCD, et situé à go° de tous ses points. Ainsi , l'angle A = m a pour mesure l'arc CD , ou , ce qui équivaut visiblement, l'arc Pp = *, puisque PD=rpC=go°.

Dans notre triangle sphérique PpL, on a donc P/j = *, ph complément de la latitude LI, PL complément de la déclin. LR, ou ph -=z go° — A, PL = 900 — D : de plus, l'angle p est mesuré par l'arc CI d'écliptique, et l'angle CPL l'est par l'arc DR d'équateur, puisque/? et P sont les pôles des cercles CA, DA ; ainsi CPL = 900 — JX,

angle Jfc=go° — Z, LPp = 900 -f AL.

Les équ. 3a, 33 et 38, page 4 donnent donc

sin A = cos fi) sîn D — sin m cos D sin A, (i;

sin D = cos a> sin A + sin m cos A sin / , (2)

cos a cos / => cos D cos A , (3)

cos A sin / = sin * sin D -f- cos * cos D sin A. (4)

Lorsque l'on connaît D et A, la ire équ. donne A, et la 3e /; réciproquement, si A et l sont donnés, la 2e fait connaître D, et la 3e A.

Mais comme ces formules ne se prêtent pas facilement aux logarithmes , on préfère les suivantes.