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Ç’est'Surtoui dans^^les calculs logarithmiques ^ue la pratique dout nous |iarj[^8 préSenlc. dcf avantages. Il pe faut recoui-ir * k, auxxomplémens arithmétiques pour changer les soustractions ' en additions, (^uCcdahs certoîns cas particuliers, (
. ^ ^Multiplictilib'n. Lçrs^ue les^acteurs sont accompagnés de ^ «fractions ^écim^éi, tu ne sc^^qqe des nombres approches, la 1 règle prescrite pouf fairfi^a multiplication doit subir qt^lque ' a modification. Soient deuî^acteurs approchés a et i , ^yant ar • * f ei y pour,erreunfî le vrai^roduit est
, • ,(a+^) (i!»-fj')=u6 + 6x^qy + <rr.,8 . . ’
N4gl igeons le dernier terme ay', qu’on peut. regarder comme'' * •une fort petite quantité.* L’erndir du produit ab est donc* t jt,hx-\-ay. On aflaihlit cette erreur en prenant l’un des facteurs ,
I ,* approché par excès, et l’autre facteur approché par défaut; » car alors x et sont de signes contraires, et l’erreur bx -^aj- '
' devient une dilférence. Il convjeritodonc , "autant que faire se, . pont, de choisir pour a et i des facteurs qui se* trouvent dans'^. ce cas. • ^ » .
Mais, le plus souvent, on n’est pas'maitre de satisfaire à cette . « condition, et même on ignore si elle est rqpsplie, parce que;
• les nombres donnés a el b provifennent d’opérations qui ne , .laTssent aucune ’instrùction à ce sujet. Soh b\ le terme "* ajr, qiii 'cstle plus influent de l’erreur ^s’affaiblit à mesure que .. . . jr diminue , ç’est-à-dire quand 6. est très approché. A^insi l’er.^ 7 . reur que l’on commet' en prenant ah pour produit*Bst d’autant^
.* l8 * ■ INTÏfÔDUCTlON. *
moindre le plus petit f<Kteur Ir est plus approché. Pm
*% ■ * ' exemple, pour * • , »
isi l’on néglige 0,74 au multiplicap<le, Je produit sera.
53 X I ,‘02 = 54,06 ;41 est en erreur de o,-j242. Mai* en né- . gligcanlÿOulera'fOt* 0,02 ap multiplicateur jjle produit 53,71 ^
e.s’t en ei rcur de i ,0742.' Ainsi l’erreur est icL presque le’doal)Je de celle du premier cas, quoique fa'partiç pégligée Q,02 soit : beaucoup moindre dans le second* ^ ^ . •
* En gcitérali lorsqu’on veut multiplier deux ponlhrite a et i ^
. qui sont affectée de fractions <*éciuialcs, la^règle prescriUd’y ^ supprimer la virgule, ce qui donne' les entiers' A et B, et le * prodnit'AP. Ce Vroduit est en erreur, comme ci-dessnt, de Bà: 4- Af, quand a et h sont, des videurs appi'ochéès. Mais x 'et jr sont toujourl < i, car si la prettailre déciitialB négligéç ■
’ est 5 au moins, on doit ajouter i au.dernier chiffre liu facteur.
. .Fa’isons donc‘x=jr =îi l’erreur a pour limite ï <A- + B.)-- ^ ^
\ Ainsi . pour muHiplier à par i, supprimez la virgule, ce.qui -s.
donne.les facteurs entiers A et B, et le produit AB. Cette •* quantité pe«* ^1''® enierreur d’au plus j B ). 11 est ^nc «1
facile de dislinguefrles ehiffres du produit. qui sont certains.,
4 de ceux qui’ peuvent être inexacts.^ ^ ^
i ' Banale proïluit.53,71 X i ÿ02 = 54, 7842 , si les facteurs^ sont approchés, comme leur demi-somme, suppression faite^ de la virgule, est coriiposée de quatre chiffres, les quatre déci- ^ ’ ' males peuvent être fautives. C’est ce qu’on reconnaît bientôt ^ en supposant que les vrais facteurs sont .«-■
. D’après cela , on voit qu’il est bien inutile de chercher au « produit de deux facteurs approchés , les chiffres dont on n’est ■• pas cerlai*, puisqu’on serait obligé de les supprimer ensuite; "
•• voici comment oh doit alors opérer. '
Pour cUercher le produit 53,74 X i ,0245, où l’on rie peut ^
^ ” compter sur Vexacütude des cinq chiffres placés à^droite , il n’y a ([ue deux ehiffres décimaux dont on soit certain. On en cher-
is.
iii?«db, -Jioogll
yPKRATIOî^ NUMERIQUES. U)*
cliera trois, sauf à né^ifjer ensuite lo troisième Jamais il faut prendre le plus petit factor plus àpprôclié que l’autre. Ou multipliera doue 53,71 par i ,oa45'j^ainsi qu’il suit,^iOn commenc^l’opération par le chiffre de la gauche du niultipli-y cale(kr..
.io,a45 . M ‘
5i,aa5, produit par 5; on conservé' la [flaca de la virgule^"'^-,
• 3,0^4 par 0,3; on néglige le 5 à droite. i
717' par 0,07; on néglige 45. ‘
10 par OjOot ; en négligetAst »45-
prf>dult demande = 55, o3.
*. ' * Avant de négliger quelque partie à la droite du multipli- * cande, on cherche quelles sont les dixaines qu’on devrait re- )'K)rter au produit suivant, si rien n’ctalt négligé, aHu de cou- ”• ^ servir c^le retenue. Ainsi , daus la troisième multiplication partielle, ou 7 est le facteur , avant de négliger 45 au multiplicateur, comme 4 foi* 7 font 28 ^on doit retenir a ( et même , f. • 3 , attendu que 28 est plus voisin de 3o que de 20). On dira donc, 2 fois 7 font i4> plus 3 de retenue font 17, et l’on posera n , etc. • • . »
. Remarquez que nous avons déplacé la virgule dans les deux ' facteurs proposés : l’un a été rendu lo fois plus grand, pt J- . l’autre 10 fois moipdçe, ce qui ne change pas le produit. , • . Cela nous a permis de reconnaître aisément la place^ de la
..^virgule dans le premier produit partiel, et pa'f suite sa place dans les autres. '* •
V Dans les exemples que voici, on n’a pas pris ce soin , dont il est facile de se dispenser , puisqu’on peut trouver la place' de la virgule en séparant dans l'un des produits partiels au—.* tau^de décimale.^ qu’il y en a dans le multiplicande et dans le,
, multiplicateur. Dans l’exemple suivant , le produit complet'*
aurait 16 chiffres décimaux; mais Jes 9 derniers pouvant être fautifs , on se contente d’en cl/crcher,. 8. Or ,' |e premier chiffre du multiplicateur est 7,’ qui 'vaut 0,007 ; faut.donc
^NTRODlCg'ION^.
coramcrfcer l^bpéralion pp la 5* décimale du muUipli(?ande , et Soé^liger ce qui^se trouve à drorte. ; * , ' •
i^,oa.^3aia '
“tf, 0078.53187
)n.u,3oi i7oa.5,
produil par 0,007
• *' 344io4G .
ne 11
lia
.. -Sala
. a43aia oa43aia . .3oa43jia
^tres exemples.
ç,oa873
' aa
o,oioa8
^ o.oioaS
• ' Division. La recherche du quotient d’un nombre divisé paj:
^u® autre conduit à dès conséquences analogues aux pijécédentes. Pour bien comprendre cette théorie , observons que ce n’est jamais la multitude des chiffres du dividende qui est gênante , .
puisque chacun* est descendu à son tour près du reste ^une ■ division partielle : c’est donc la complication du diviseur qu’il ’’’ faut éviter. Voyofis-dans quel cas on peut négliger une petite "partie x du diviseur, sans altérer le quotient, dan» l’ordre ^ ‘d’approximalibn que le problème exige. Soit D le dividende , eXd-{- X le diviseur : en divisant l’un et Bautre par d, on ^
. ' , » D / ^ 1 ** P Da:
.... ’—dV~d^d^'‘)~dy .
•ai.
A)PEAATIO.NB NUMERIQL’ES.
Ur , supposotis.que l’on soit en rlroît de négliger x au fliviseur*
* *1**® quotiefl^^it le premier terme , Icfrsqu’on Veut
« le quotient à môhjs ^e — près. Jl'.faudra que ^ soif-iasscz
H MB • ^ a * V ^ '
petit pour èlre'^de l’orflre des quanlités*négligeables, Vlaas le '
••*• # .cas supposé; ainsi, il fauf, pour qu’on puisse négliger JT au di- * Viseu#, qu’on ait i
Dx I ‘ ' * . .
0“ Dma:<rf',
» . Soit proposé, par: exemple , de faire celte divicioi] ’
* Voyons si, en se contentant d’appçpcher ,a un millième, on peut réduire le diviseur à 4»5.0n a ici m=iooo, d — ^^S\ ^ 0
P =^5,433,... X ==■ 0,04 (ce serait x =s 0,04298* mais ^ comme^u n’a besoin que de Caire la vérification d’une inéga- * *' *
lilépour reconnaître si elle a lieu, du calcul approcbé siiflîl). " ‘
du trouve 6mx = %433 X o,'o4 = 217,32, résultat qui sur- .
passe visiblettieut d* ou (4,5)“. Ainsi l’inégalité n’jjst pas vé- , * ■'■*
riliée. Mais prenons 4 = ^-,54 , et nous troùveVons qé’eHc ' * l’est, puisque D*jt = 5433 X O,oo3 = 16 environ , qui est ’ ’
<C (4»^4)’- On diviscrà doue S,i[33...*par 4»?4» l’on trop- . *. .* vera i,ig6, comme cela est en,effet. ' •'* * ' ^ ■
. Observez que plus le dividende D, la partie* négligée et ,
)e déiioininateur m de la fraction ~ jeut petits, par rapport*
à d^ et plus l’inégalité approche d’être satisfaite, *.
Voici le procédé de calcul qù’ottisuil, dans leç divisions*, lorsqu^ le diviseur est compqsé d’un' grand nombre de chiffres. LVxcmple suivant, qu’on vient de traiter, nous servira à* l’expliquer ; * • ' * • ,
»NTnOt)L’CTI«i>.
^)020'’ J* ( 1,1 gi 435g I
434 «te... *
Après ayQÎr trodvé le premier chifre i du quotient, au lieu . ^
d’abaisser, près du l'este, le 2 du dividende, «n supprime l&der- ^ nier cbilTre à droite du diviseur (c’est 3), et opérant à l’ordi- ' ■ nairc^on trouve i au quotient , et 43^9^ reste; ou supprime de nouvearf le dernier chlDTre du diviseur (c’es.t g) , et l’on Con— • 4inue^’opé^ion en suivaqt la même marche, etc. : seqlement, * dans chaque multiplication du diviseur par chaque chilTsedu quol?ent,on a soin de tenir .compte des dixaines qu’il aurait djonnées au produit , pour les retenir et les joindre au produi^-^ suivifbt. Ainsi, lorsqu’après avoir supprimé le 9 du diviseufj^ cm a trpuvé le quotient g, comme 9 fois g font 81 , on retient 8, et l’on dit g fois 2 fout 18, et 8 font 26, qui, retranches de .
■ 3i, dopne le reste 5 ; on pose 5, etcl ♦ ^ ^ • >
Cq procédé s’eitpli^e sy^ment .^lorsqu’on remarque qiîe la suppression du chiffre à droite, tant au div4dcnde partiel qu’au diviseur, rend l’un et l’autre 10 fois moindres, ce qui ne clian^q *pas Ip quotient, ou du moins l’erceur n’est de nature qu’a influer sur les chiffres éloignes qu’on troâvera • car il faudrait,
])Oup que l’errcctr fût nylle , que le chiftp négligé fût z4ro des . tleux parts. ,
• Rtcine car^e. Lorsqu’un teut avoir plus de 4 à 5 chiffres à ja racine, des calculs sc compliquent beaucoup; mais on les alirègO'Cn cherchant d’abord^ f»ar la méthode ordinaire, plu*
(le la moitié des chiffres donF la racine est composée , puis les autres chiffrés sc trouvent en ditlsant le reste de l’opération, par Ict double de la raciiy! trouvée. £n effet , soit 17' le nombre • proposé dont (^- demande la racine , et a la partie à .fauche déjà trouvée de cette racine, x le nombre qui la complète; on a
y/N = a-j-.r, d’où N '= (a -f" ‘
OPERATIONS NJÜ'iVlEniQU ES. ► ^.23*
donc =r 2ax i+- j:* =5 2û f x -j- —j ,
,? N — rt’ J. j ^ '
< , 20 ~ 2flV . -
,0r, N — O* est le reste obtenu , et 20 le doalrle «le la partie'
* trouvée à la racine. Si 20 est formé d’atrinains le' doubfe du
nombre de cb i fifres dont ’’x est coraribsé, le dernier terme —
pst <[i, et néglijçeabic qi^nd on ne cbercbe que les entiers; et < l’on sait qué l’eslractron des raeinesi^’amène toujours les choses ' à cet état. Donc x est le quotient du reste obtenu , divfisé par le double de la r«cine*trauvée. i '
^ Il y a urfe '^ob^rs’ation i faire «ur la nature des unités qui ■i composent N — a*, a et x ; car si la rjuane a g chilFrcs , «lont on ait déjà trouvé 5, il faut concevoir quatre zéros h la droite de ces 5 ch'ifl’resj pour que a soit sous la forme qui lui est propre : même, N — a 8 zéros. On peut donc , dans la
♦ division par 2fl, omettre les<4^z'éras dtf et n’en placer que . 4 à la droite ^u reste, c’est-à-dirp autant qu’on cherche encore ■* de chiffres pour compléter la racine. V „ ’ *
Voici un exentple : ^ '
. Il 73.1 » 1467X7
, Après avoir trouvé les 4 premiers cbififrea 7%P9 dè"la racine ,
et le'Teste i3474î pour obtenir les Iroi s, autres cbififresj 00 divise ce reste, suiji dé S zéros, par 147 58, double-de la racv^d *
i347io.oo 1.14758*
** • «t'igiSo r 9.3 ...
Ainsi la racine fcbercliée cst,7379gi-3,-^ . ■* * .
Âu lieu d’ajouter 3 zéros au reste 4 ^^aurait dd y adjoindre' les trois, cbififres suivans 8g6 du Itombne proposé.
Spit demandé la racine de 2.a\cc 8 «décimales. 11 faudrait
