Détermination de l'orbite d'une planète

1° — La troisième loi de Képler fournit le grand axe de l'orbite à partir de la durée de la révolution.

Reste à déterminer le périhélie et l’excentricité.

Quand il s’agit des mouvements du Soleil ou de la Lune qui sont ou qu'on peut considérer comme géocentriques, les observations faites à des temps quelconques peuvent servir. Il n’en est pas de même pour les planètes dont le mouvement est héliocentrique; pour ne rien introduire d’inconnu, on ne doit utiliser que les observations en conjonction ou en opposition, pour lesquelles les longitudes héliocentriques ou géocentriques sont égales ou diffèrent de 180.

J'emprunte les nombres suivants à Cassini. Il détermina les opposisitions de Saturne pendant une période entière, soit près de 30 ans.

En conjonction Saturne est ou invisible ou difficilement visible.

Voici les oppositions utilisées :

16 mars 4686. 10*28* longitude héliocentrique 176°47’ 6”

se 2 29 — 1687. 11 11 — — 189 25 26 3 9juin 1693. 19 32 — — 259 54 41 4 21 — 1694. 19 30 — — 271 6 40 - 5 3 septembre 1700. 3 14 — — 340 57 40 6 6 — AIO 220 — — 353 21 16 7 11 mars 1715. 16 55 — — 171 3 14 8 23 — 1716. 19 24 — — 183 48 1

Suivons maintenant son raisonnement. Les oppositions sont numérotées; la figure 154 les représente à peu près à leur vraie place.

2 — Cassini commence par déterminer le moyen mouvement annuel en longitude héliocentrique; il utilise pour cela les observations anciennes dont l’une remonte à 288 ans avant J.-C.

Pour une année commune de 365 jours, il trouve 12 13/24”.

C'est le point de départ obligé de tous les calculs ($ 120).

Entre 1 et 2 se sont écoulés 378 jours 43 minutes. Le vrai mouvement

w? LAS AN nt ME UE 2 rs ; 3 j à % x AXE, EE D PNY Re A 0] £ ’ à fE

a été 12° 38/20”, Mais pour ce même intervalle de temps, une règle de trois donne pour moyen mouvement 42° 39° 34", nombre qui ne diffère du mouvement vrai que de 1’14”, soit un sept cent cinquantième.

Donc en S,S,, Saturne est tout près du lieu de son orbite pour lequel

Aphélie ; Perhele .

= S Ss ; Pornt \Vernal

ù . Fig. 154,

son mouvement est moyen; il est donc tout près d’être à 90° de la ligne des apsides de son orbite ($ 90).

Une remarque fondamentale est ici nécessaire.

Si la loi des aires s'applique à une courbe, les rayons vecteurs étant issus d’un point S du plan de cette courbe, elle s'applique à la projection orthogonale de cette courbe sur un plan P quelconque pour les - vecteurs issus de la projection du point S sur le plan P. Conséquemment la loi des aires s'applique à l'ellipse qui est la projection sur l'écliptique de l’ellipse décrite par la planète dans le plan de son orbite. Mais le point S n’est plus foyer de l'orbite projetée, la ligne des apsides de ; cette orbite projetée n’est päs la projection de la ligne des apsides de l'orbite réelle: Toutefois il s'en faut de peu, l'inclinaison du plan de l'orbite de Saturne n'étant que de 2° 30" dont le cosinus est 0,9990.

Ce qui nous permet de raisonner sur les longitudes comme en toute rigueur nous devrions raisonner sur les anomalies. à

Lt +

Pour fixer les idées, la Connaissance des temps donne 91°6 pour longitude du périhélie, soit 484° 6’ pour longitude du point F..

3° — À partir du point F, la vitesse angulaire de Saturne vraie est plus petite que celle de Saturne moyen: Saturne vrai retarde sur Saturne moyen.

Pour éviter une difficulté très réelle, qué le Hoisde ne confonde pas les expressions « être en retard sur » et « retarder sur ». Le premier signifie que les deux.astres ne coïncident pas, que l’un est derrière l'autre. La seconde signifie que l’un va moins vite que l'autre. Ainsi en F; Saturne moyen est en retard sur Saturne vrai alors que les vitesses sont les mêmes. En P les astres coïncident, mais Saturne vrai retarde sur Saturne moyen.

Le retard croît pendant 6 signes environ, soit 180° (S 89).

Pour connaître la valeur de l'équation, utilisons donc les oppositions 5 et6. Nous connaissons les temps qui séparent les observations, et les déplacements qui leur correspondent. Nous pouvons calculer les déplacements qu'aurait l’astre moyen pour les mêmes intervalles de temps. Voici la comparaison des mouvements vrais ét moyens.

Entre 1 et5 mouv. vrai. 164° 103%" mouv.moyen . 476° 56 34”

Entre 1 et 6 — 476 34 40 — 189 36 0” La première comparaison donne comme différence . . . . 41246 0” La seconde / — — AC ACTE E ne à En comparant 2 et 6; Cassini trouve comme différence. . : 43° 0° 34” Cassini conclut que Fe plus grande‘équation est. . . . . : 6° 30 55”

En effet c’est au périhélie et à l'aphélie que l'équation est nulle, que Saturne vrai passe en même lemps que Saturne moyen (abstraction faite des perturbations). En F Saturne moyen est en retard sur Saturne vrai, l'équation ést positive. Saturne moyen allant alors plus vite que urnes vrai (en vertu de la loi des aires), ils arrivent ensemble en . À. Saturne moyen avançant toujours, l'équation est maxima et négative au voisinage de E. Après quoi Saturne moyen retarde sur Saturne vrai de manière qu'ils arrivent ensemble au périhélie : l'équation ‘s'annule.

4° — Pour déterminer l’aphélie, Cassini compare les oppositions 1 et 8. La variation de longitude est 83° 735”. Le mouvement de Saturne moyen dans cet LNOTAATE est 88°29’ 27”. La différence est 5° 24’ 59”.

Elle est plus petite de 1°9°3” que la plus race équation ci-dessus déterminée. Donc en S, Saturne n’est pas encore à l’aphélie.

Cassini utilise alors l'opposition 4. Il trouve pour mouvement vrai 94° 19° 34”, pour mouvement moyen 101° 651”; la différence est 6° 47/17”. Elle est maintenant plus grande que la plus grande équation de 16° 22”,

Cassini interpole et trouve pour le lieu de l'aphélie 268° 58.

Nous avons aujourd’hui 271° 6’.

Ver CR LT SUN] EM US “Dre RER EP MR TE EE ITT AN V EE CPP SEE

I détermine le temps de passage à l’aphélie : 11 avril 1694 à 44° 39n,

On peut reprocher à ces calculs d'être faits avec les longitudes et non pas avec les distances angulaires à la ligne des nœuds, c'est-à-dire, à une constante près, avec les anomalies vraies. Mais l'erreur est petite; elle n’a pas d'importance au point de vue qui nous occupe.

9° — EXxCENTRICITÉ.

Appliquons la formule : 6 = w 1 + %e sinwk, (1) qui donne l’anomalie vraie 8 en fonction de l’anomalie moyenne wf.

L’équalion est 2e sinwt; la plus grande équation est 2e. Ona donc:

2e — 6° 30° 55"— 0,1137 en radian.

D'où : ; e—0,0568.

On admet aujourd’hui 0,0359: mais la formule (1) n’est qu'approchée.

J'imagine le lecteur assez intelligent pour trouver tout cela admirable de simplicité. I] laissera volontiers la précision aux membres du Bureau des longitudes; il se contentera aisément de comprendre l'ensemble des phénomènes, en quoi il est très supérieur à la plupart de nos astronomes officiels. S'il en doute, qu'il lise leurs ouvrages!