MF -[-G + H
Il suit de là que la valeur de r qui rend - > C (§30) rendra à plus forte raison
Or, le terme M, affecté de jo"''^ (^"''' enaarg avant lui ; le terme L, pris r places avant M, en a donc arg' — r avant lui, qui pourront être partagés en ag — 1 groupes, composés chacun der termes, dont la subordination ira en croissant progressivement comme celle de P, Q, R... par rapporta F, G, H..., de sorte que la somme des termes de chaque groupe sera à celle des termes du groupe antérieur à partir du maximum, dans un rapport < -. Si maintenant on considère les rapports de
chaque groupe cà celui F, G, H..., ces rapports seront respectivement inférieurs à :
1 On pourrait évidemment employer à la démonstration une série décroissant moins rapidement que la progression géométrique; mais aucune n'est aussi simple que celle-ci. La démonstration resterait d'ailleurs la même, mais on aboutirait à un nombre moindre d'épreuves nécessaires pour obtenir la même piobabililé. Celui dont nous donnons l'expression est donc dans un certain sons une limite.
Or, ces fractions forment une progression géométrique dont la somme est :
JL*
cette somme est donc supérieure au rapport entre tous
les groupes à gauche de celui F, G, H... et celui-ci.
Posons :
ou
La valeur de C tirée de cette relation sera telle que 4a, somme des r termes F, G, H... du développement de (p -j- 5')'*'', surpassera i fois celle de tous les autres ternes à leur gauche.
Or on a, à très-peu près :
r>aq çuq — 1 Q — i
d'où
t = C— 4 et C = z + i.
La valeur de k (§ 29) est donc :
, log i + 4
log (ap + 4) — log ap et la valeur de r en résulte.
En général, comme ap est un nombre considérable, on peut remplacer
log {ap + 4) par log ap-]-— ^^,
^P 2 ap
DES LOIS DE LA PROBABILITÉ MATHÉMATIQUE. bi9
en négligeant les termes trop faibles
3 ap Aap
Il vient ainsi
^ ^ Iog(i + i) ^ 2âp^ X log(i + 4) i 4 2 ap — 1
Cette expression peut encore se simplifier en remarquant que 2 ap est, dans l'usage du théorème de Bernoulli, un grand nombre, et qu'on peut par conséquent ne pas tenir compte de la quantité — 1 au dénominateur; d'ailleurs, comme on doit aussi calculer
2? X log (i + 4) 2a(/ — 4
et prendre la plus forte des valeurs r ou r\ alors même que p ou g serait très-faible, la suppression de — 1 au dénominateur serait encore sans importance, puisque, dans ce cas, 2 ag ou 2 ap serait d'autant plus considérable.
Il vient donc :
k = ap X log (t + 4),
Mais
ap -\- i
Cette expression peut se réduire, en supprimant l'unité au dénominateur et en remplaçant q par . l —p, k :
90 THr:ORIE Di:S PRODABILITftS.
et enfin, si l'on met pour k sa valeur,
9 On trouverait de même pour r'
1' — a log(î -|- i) — P
a\og{i + \)~l.
La probabilité qui, dans l'énoncé du théorème de Bernoulli, est aussi approchante de la certitude qu'on le veut, est représentée dans nos notations par — ^ i
les limites d'écart du rapport du nombre de répétitions du même événement au nombre total des épreuves
sont de même ± , et enfin le nombre total des épreuves nécessaires est a X r.
Jacques Bernoulli applique les formules précédentes au cas où
p = -,q= ;i= -1000 et - =» -• i> 5 a 50
On obtient successivement :
k = 50 X - X 6,91 = 208,3 soit 209 r = 345,5 — -
on prendra donc r == 345 et le nombre d'épreuves nécessaires sera : 50 X 345 = 17,250. Il y a donc avantage à parier 1,000 contre 1 que, dans ces 17,250 épreuves, il n'y aura pas plus de/—] X 17,250= 10,695 répétitions de l'événement correspondant à p, et pas
moins de 1^] X 17,250 = 10,005 de ces répétitions.
