SIGNIFICATION GÉOMÉTRIQUE DE LA MOYENNE

signification que ne semble pas comporter son mode de formation. Par exemple, si l'on relève la hauteur moyenne des maisons dans une ville ou dans un quartier, cette valeur ne peut avoir, en général, qu'un caractère descriptif bien peu utile; cependant, eu égard aux conditions climatologiques, il est évident que si la moyenne est prise pour des maisons de toute catégorie, on en peut tirer certaines conclusions sur l'état de comfort hygiénique dans lequel vivent les habitants. Cet exemple montre que la différence qui existe entre une moyenne en général et la moyenne de quantités qui varient de part et d'autre d'une valeur fixe, n'est pas toujours absolument tranchée, car il y a nécessairement un rapport entre l'élévation moyenne des demeures des habitants et la nature du climat. Ce rapport est sans doute modifié par les conditions générales de prospérité et de civilisation, mais il n'est certainement paS déterminé par ces conditions seules, et les faits prouvent l'influence du climat.

§ 75. — Quand la même valeur se trouve plusieurs fois parmi les quantités dont on prend la moyenne, elle entre comme unité distincte dans la formation de celle-ci autant de fois qu'elle se trouve répétée. Or, si y exprime la probabilité d'une valeur particulière de la variable a;, dans un très-grand nombre d'observations, il se rencontrera un nombre de valeurs égales à £r, tel que son rapport au nombre total des valeurs considérées tendra vers celui de 2/ à la somme des y, 2y. La moyenne sera

donc égale à

Hl

a et b étant les limites de œ.

Supposons y fonction de a?, == <p [œ), et passons à la

limite, nous aurons :

(x) dx

I ff{x)dx J a

Cette expression représente l'abscisse du centre de gravité de la surface comprise entre l'axe des abscisses et la courbe dont l'équation est y = <^ (œ). On voit que la moyenne absolue a une signification mathématique importante, qui devient celle de la moyenne arithmétique, quand le nombre des valeurs considérées est suffisamment grand. Dans la pratique, la forme de <p (x) étant le plus souvent inconnue, on construit la courbe à l'aide des valeurs correspondantes connues de œ et de y.

Une autre valeur de x, intéressante à considérer, est celle dont l'ordonnée divise la surface en deux parties équivalentes. Cette valeur est égale à X dans l'équation : 4 r^ . r^

ydx.

Certains auteurs la nomment valeur médiane ; elle peut aussi avec raison être appelée valeur probable^ si y exprime la probabilité de x, car il y a autant de chances de rencontrer une valeur plus grande ou une valeur plus petite qu'elle.