DÉFINITION DES PROBABILITÉS
1. On ne penl guère donner une définition satisfaisante de la Probabilité. On dit ordinairement : la probabilité d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables à cet événement au nombre total des cas possibles.
Ainsi, si le premier nombre est n et le second N, la probabilité est-j^; celle définition, dans certains cas, ne soulève aucune difficulté. Dans un jeu de Sa cartes, la probabilité de tirer un roi est t-) puisque le nombre total des cas possibles,
c'est-à-dire des caries, est Sa, et que parmi ces cartes il y a quatre rois: on a donc ici N = Sa, n =: 4- Quand on jette
un dé, la probabilité d'amener le point 4 est ^» car N^^ô cl
« rr: I, le dé ayant 6 faces dont une seule porte le point l\. Dans une urne qui contient n boules blanches et p noires, on tire une boule; la probabilité qu'elle soit blanche est
2. Prenons nn exemple un peu plus com[)liqué. Deux urnes, qui ne diffèrent pas extérieuremenl, renferment la première n boules blanches et /> noires, la seconde n' blanches et p' noires.
DRPfNtTION DES PRODADILITKIS. 2^
On fait tirer une boule à une personne, et on demande quelle est la probabilité pour amener blanche. On pourrait dire que le nombre total des cas est n + n' ->r p -\- p' et que
la probabilité est ; -.. On peut dire aussi que
deux cas peuvent d'abord se présenter, soit la première, soit la seconde urne; la probabilité de prendre dans la première
est -> et dans la seconde -» car il y a autant de chances de mettre la main dans l'une que dans l'autre. Si j'ai mis la
main dans la première urne, la probabilité est pour
^ ^ n -hp "^
que, prenant dans ia première urne, on ait une boule blanche; en vertu du théorème de la probîibililé composée, que je ne tarderai pas à établir, la probabilité de mettre à la fois la main dans la première urne et d'en tirer une boule
blanche est '—: la probabilité analogue pour la seconde
2 H -tp
urne est -
2 n' -^ p' J.a somme
est l'évaluation correcte de la probabilité demandée, et il n'y aura égalité entre les deux évaluations que dans un cas particulier
c esl-a-nire - r= -
A quoi tient celte divergence? A ce que les n -\- n' -^ p -\-p cas Jie sont pas également probable?.
Ainsi, supposons qu'il y ait deux fois plus de boules dans
26 CHAPITRR I.
la première urne
La probabilité pour que je prenne une boule donnée dans celte urne est — -: et pour que je la prenne dans la
Seconde elle est
A la définition de la probabilité, il faut donc ajouter : à condition que tous les cas soient également vraisemblable?. Citons deux autres exemples dus à Bertrand.
3. Problème des trois coffrets. — Trois coffrets identiques, A,B,C, ont chHCuu deux tiroirs, a, (3; ceux de A contiennent chacun une pièce d'or, ceux de B une pièce d'argent, et ceux de G ont l'un une pièce d'or, l'aiilre une pièce d'argent :
A li c
a or argent or |3 or argent argent.
Quelle est la probabilité pour que, en ouvrant au hasard un des six tiroirs, l'on ait une pièce d'or? Six cas sont également probables : Aa, A(3, Ba, B(3, Ca, 0^3; de ces sixcas, trois sont favorables à l'arrivée de la pièce d'or : A a, A ^, (la.
La probabilité est donc -•
Si l'on prend un des trois coffrets au hasard, la probabilité pour prendre C est -•
J'ouvre au hasard un des tiroirs, j'y trouve une médaille d'or; quelle est la probabilité pour que la deuxième médaille soit en argent?
niîKINITlON OKS PAOBABILITÉS. V)
Ou bien, je suis tombé sur le coffret C, ou bien sur le coffret A : dans le premier cas, la seconde médaille sera eu argent, datjs le second en or. La probabilité semble
donc-- Cette conclusion est fausse.
Avant d'ouvrir le tiroir, je savais que j'y trouverais utje pièce d'or ou ur»e pièce d'argent avec une probabilité égale,
c'est-à-dire-; or, je puis trouver la pièce d'or dans trois
cas, Aa, A^, Ca, et de ces trois cas un seul, Ca, est favorable ;» l'arrivée de la pièce d'argent dans le second tiroir.
Dans la première évaluation de la probabilité â -> les deux
cas envisagés étaient inégalement probables : le cas A correspond à Aa et à A (3, et est deux fois plus probable que le cas C, qui ne correspond qu'à Ca.
4. Problème du jeu de boules. — Deux joueurs également habiles, Pierre et Paul, jouent aux boules; Pierre a deux boules à lancer, Paul une boule, et la victoire est à celui des deux dont l'une des boules approchera le plus du bul.
Quelle est la probabilité pour que Paul gagne?
Soient A el B les bojiles de Pierre, € celle de Paul; six cas peuvent se présenter, en rangeant les houles suivant leur proximité du but.
ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BAC.
Ces six cas sont également probables; ceux qui donnent la victoire à Pierre sont au nombre de (|ualre, ceux (|ui donnent la victoire à Paul au nombre de deux : la probabilité de gagner est donc -r pour Paul.
28 CHAPITRB i.
On pourrait raisonner aulrement : la boule A de Pierre est plus éloignée du but que C, ou bien c'est le contraire.
A>C ou A<C.
De même pour la boule B
B > C ou B < C.
Donc quatre cas »oni possibles
avec
Un seul cas, le premier, est favorable à Paul, puisque sa boulp est \ la fois plus rapprochée que A el B; la probabilité
serait donc y
Mais les quatre cas ne sont pas également probables.
A > C avec B > C correspond à 2 combinaisons CAB, CBA,
