III. La différence

P QP' — PQ'

ensuite

R g Qr+ P . Q PQ' — QP'

R' Q'~ QV-t-P'~Q'~Q'(Q'r-f-P')’

ce qui montre que le numérateur de cette différence est égal et de signe contraire à celui de la différence précédente, en retranchant toujours chaque réduite de celle qui la suit ; il suffit donc de connaître la première différence. Or

ab -+- i

par conséquent , pour la seconde différence, le numérateur serait — i, pour la troisième — t— i , et ainsi de suite. Ainsi, !c numérateur de la différence de deux réduites est ifc i , suivant qu’on retranche une réduite de rang impair d'une réduite de rang pair, ou inversement. : on prend toujours pour première réduite la quantité

-, même quand a — o.

IV. On conclut de là qu’«fle réduite quelconque est toujours un nombre fractionnaire irréductible. En effet, puisque l'on a numériquement

QP' - Q'P = i, • • ,

un facteur commun à P et à P' diviserait aussi le second membre, ce qui est impossible puisque ce second membre est l’unité.

V. On a vu que toute réduite de rang pair est plus grande que la réduite de rang impair qui la précède, et comme elles comprennent la valeur r. de la fraction continue, il en résulte que toute réduite de rang pair est plus grande que x, et toute réduite de rang impair est plus petite que x. Comme d’ailleurs elles s’approchent toujours de x, on voit que les réduites paires vont en décroissant et les réduites impaires en croissant.

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 33