Le oaténoïde est tme surface d'équilibre
Cherclions la forme de la surface d'équilibre d'une lame liquide s'appuyant sur deux circonférences A et A' {/iff. 21) dont les plans sont perpendiculaires à la droite 00' qui joint
leurs centres.
ls catbnoÏde est une surface d'équilibre 67
Cette surface doit être de révolution autour de 00'. L'un des rayons de courbure principaux au point M est alors le rayon MN de la circonférence d'in- f
terseclion de la surface par un plan perpendiculaire à l'axe 00' ; l'autre est la rayon de courbure MC de la courbe méridienne AMA' de la surface. La forme de cette courbe doit
donc être telle que l'on ait MN = MC, et en exprimant cette condition on aura l'équation de cette courbe.
Mais il est plus simple d'écrire que la surface engendrée par cette courbe doit être minimum.
En effet, soient l la longueur de la courbe et GP la distance de son centre de gravité G à l'axe 00'. D'après le théorème de Guldin, la surface engendrée par cette courbe est 27t/.GP. Il faut comparer la méridienne AMA' de la surface d'équilibre à d'autres courbes passant par les points A et A' et pour lesquelles le produit ^GP doit âtre plus grand que pour la courbe AMA'. Mais nous pouvons nous borner à faire la comparaison avec celles de ces courbes qui ont même longueur l que la courbe AMA'. Le minimum de notre produit a lieu en même temps que celui de GP pour des courbes de même longueur /, Par conséquent, la courbe cherchée est celle pour laquelle le centre de gravité est le plus rapproché de 00', c'est-à-dire le plus bas possible si l'on suppose la courbe AMA' dans un plan vertical. Or, c'est ce qui arrive pour une ligne pesante soumise à l'action de la pesanteur, et la forme de cette ligne est une chaînette. En tournant autour de 00', cette chaînette engendre une surface que l'on appelle caténolde.
Le caténoïde est donc une surface d'équilibre d'une lame mince.
29. Sur la stabilité de l'équilibre. — Pour que l'équilibre soit stable, il faut que Ténergie potentielle passe par un minimum relatif. Par conséquent, la condition de la stabilité de Téquilibre est que la surface S soit un minimum relatif. Or, en exprimant que la courbure moyenne d'une surface est nulle, nous écrivons seulement que la variation du premier ordre est nulle. Pour qu'il y ait minimum relatif, il faut, en outre, que la variation seconde soit également nulle. Il y a une discussion assez délicate qui a été faite de la façon la plus élégante par M. Schwarz.
La considération des lignes géodésiques va nous servir d'exemple simple pour nous aider à comprendre l'esprit de
la méthode.
Soit AMB [fig. 22) une ligne géodésique d'une surface. S'il est possible de mener une ligne géodésique très voisine A'M'B' ne coupant pas la première, AMB est un minimum relatif.
En effet, considérons une ligne quelconque AM'B tracée sur la surface et aboutissant aux points A et B. Cette ligne rencontre la ligne géodésique A'M'B' voisine de AB en un point M'. Menons par M' une trajectoire orthogonale coupant AB au point M et par un point N infiniment voisin de M menons une seconde trajectoire orthogonale. Celle-ci rencontre la ligne géodésique A'M'B' en N', et les deux segments MN et M'N' sont égaux. Le segment correspondant M N, de
Fio. 22.
SUR LA STABILITÉ DE l'ÉQUILIBRE 69
la courbe AM'B est plus grand que M'N', puisque le petit triangle M'N'N^ est rectangle en N. Par conséquent, à chaque élément de la ligne géodésique AMB correspond un élément de plus grande longueur de la ligne AM'B et celleci est plus grande que la première. La ligne géodésique est donc bien un minimum relatif.
Les surfaces minima présentent une propriété analogue. Avant de l'établir, montrons que, si on trace un tube coupant orthogonalement une série de surfaces minima, les aires des sections de ces surfaces par le tube sont égales entre elles.
En effet, si S et S' sont deux surfaces minima voisines coupées par le même
FiG 23
tube T {/ïg. 23), la différence des aires S'
et S des sections est, d'après un raisonnement général déjà
fait
S' — S = / X ^^- -|- ^ ^ c?i 4- fx coig^ds.
Or, la première intégrale est nulle, puisque la surface S est une surface minima et que, par suite, son rayon de courbure moyen est constant. La seconde est également nulle, car (p désigne l'angle de la tangente à la surface S avec la tangente à la surface du tube. Comme ces deux surfaces se coupent orthogonalement, cet angle est droit et cotg op devient nul. Par suite, les aires S et S' sont égales.
Montrons maintenant que, si une surface minima AMB {fig. 22) se trouve dans une région où les surfaces minima voisines ne se coupent pas, l'aire de cette surface est plus
LAMES MINCES c loute autre surface AM'B limitée a
même
petite que celle contour que AB.
Pour cela, menons par un (■Isment MN de la surface AB un tube coupant orthogonale me lit cette surface. 11 découpe dans la surface AM'B un élémenl M'X, et dans une surface minima A'M'B' voisine de AMB un élément M'N' dont Taire est égale à celle de MN d'après ce qui précède. Le volume M'N'N, peut être considéré comme un cylindre à bases parallèles dont M'N' est la section droite. Par suite, l'aire de M'N, est plus grande que celle de M'N' ou de l'élément égal MN. Comme les surfaces minima voisines de AMB ne se coupent pas, par hypothèse, à tous les éléments de AMB correspondent des éléments de AM'B, dont l'aire est plus grande. Par conséquent, l'aire delà surface AMB est plus pelite que celle de toute autre surface limitée au même contour.
Nous arrivons donc à cette conclusion qu'une surface à courbure moyenne nulle est une surface d'équilibre stable quand on peut construire dea surfaces de courbure moyenne nulle iofmiment voisines de cette surface et qui ne la coupent
30. Équilibre instable. — Lorsque, au contraire, les surfaces de courbure moyenne nulle voisines de la surface d'équilibre coupent celle-ci, l'aire n'est pas un minimum et l'équilibre n'est pas stable.
Pour démontrer cette propriété commençons, comme précédemment, par la considération des lignes géodésiques.
Soit AMB [fig. 24} une ligne géodésique coupée en A et B par une autre ligne géodésique AM'B. Ces deux lignes ont des longueurs différentes et la différence du ces longueurs
ji
l'équilibre instable 71
est infiniment petite du troisième ordre, si l'on considère comme infiniment petite du premier ordre la distance de deux points M et M' des deux lignes.
En effet, nous pouvons caractériser une ligne géodésique passant par A en prenant pour paramètre Tangle que fait la ligne avec une droite quelconque menée par A. La longueur de la
ligne est alors une certaine fonction du paramètre. En appelant x et
CL -{- cfct les valeurs du paramètre correspondant aux deux lignes AMB et AM'B, nous avons pour les longueurs respectives de ces lignes
/•(a) et /"(a + rfa).
La différence de ces longueurs est donc
/• (o, + rfa) - r (») = r (*) rf* + r w 1:2 -^ ^" ^') râ^ ■*■ • ••
Mais, puisque les courbes considérées sont des lignes géodésiques, on a
f{%) = /" (a + rfx) = o et de ces deux égalités on déduit
Par conséquent, la différence de longueur des lignes géodésiques aboutissant en A et en B se réduit à
/• (a + da) -/•(*)= r (a) ^-^ + ;
elle est bien du troisième ordre.
Montrons que, lorsqu'une ligne géodésique AMB {fig, 25)
et les courbes géodésiques voisines se coupent, la ligne AMB n'est pas le plus court chemin pour aller de A en B.
En effet, si CM'D est une courbe géodésique coupant AMB, les longueurs
Fio. 25.
CMD et CM'D ne diffèrent que par une quantité infiniment petite du troisième ordre. En négligeant cette quantité on a
CMD = CMD et
ACMDB = ACM'DB.
Joignons un point quelconque E du premier chemin à un point quelconque F du second par une ligne géodésique ; sa longueur est plus courte que le chemin ECF et en diffère d'une quantité infiniment petite du second ordre. Par conséquent
ACM'DB > AEFM'DB,
ou, d'après l'égalité précédente,
ACMDB > AEFM'DB,
ce qui démontre la proposition énoncée.
Passons maintenant aux surfaces. On démontrerait par un raisonnement analogue à celui employé pour les lignes géodésiques que, si deux surfaces mini ma infiniment voisines sont limitées par un même contour, les aires de ces surfaces ne diffèrent que par une quantité infiniment petite du troisième ordre.
Admettons ce résultat et considérons une surface minima
l'équilibre instable 73
s limitée par une courbe L et coupée suivant U par une autre surface minima voisine S' (L' sera un contour fermé intérieur au contour L). D'après ce qui précède, les aires limitées par L' et appartenant Tune à S, Tautre à S', peuvent être considérées comme égales si l'on néglige les infiniment petits du troisième ordre. Par suite, Taire S de la surface minima S limitée par L est égale à l'aire S" comprise entre L et L', augmentée de l'aire S' limitée par L' et appartenant à S'. Traçons sur la surface S un contour L^ intérieur à L, mais extérieur à L', et sur la surface S' un contour L| intérieur à L'. Par les deux courbes L, et L| faisons passer une surface minima S, dont je désigne aussi Taire par S et qui sera annulaire et limitée par les deux contours L^ et L J .
J'appelle alors S^ Taire de la portion de S comprise entre L et L| , Sj Taire de la portion de S comprise entre L^ et L', S3 Taire de la portion intérieure à L'.
J'appelle S^' Taire de la portion de S' comprise entre L' et Lf, et S2 Taire de la portion de S' intérieure à L|.]
On aura alors aux infiniment petits près du troisième ordre
S3 = S4 -j- Sj.
D'autre part
S <Sa-hs;.
Donc
S| + S, + S3 > S, + S + Si.
Ainsi S| -|- Sj + S3, c'est-à-dire Taire totale de S, sera plus grande que Taire S| -|- S -j- S^, limitée comme elle par le contour L. L'aire de cette surface n'est donc pas minima et l'équilibre n'est pas stable.
LAMBIJ MINCES
Par coiiséquenl, une surface d'équilibre correspondra à un équilibre instable si celte surface miiiiina peut être coupée par une surface minima voisine.
31. Au caténoïde peut correspondre un équilibre stable ou un équilibre instable, — CIktcIiuus s'il existe nne surface minima infiniment voisine du calénoïde et coupant celui-ci; comme surface minima, nous pouvons prendre un caténoïde ayant même axe, et le problème revient à chercher si une ehainette peut être coupée en deux points par une chaînette inQiiiment voisine.
Si nous pouvons mener un arc de chaînette A'M'B' infiniment voisin de AMB et ne coupant pas AMB, la révolution de ces deux arcs de chaînelle engendrera deux caténoïdes, c'est-àdire deux surfaces minima infiniment i et ne se coupant pas ; l'équie sera stable.
Si, d'autre part, nous pouvons mener uu arc de chaînette A'M'B' infiniment voisin de AMB et coupant AMB en deux points C et D (fig. 26 où le lecteur est prié d'ajouter la tangente PD qui a été omise), les deux calénoîdes se couperont suivant deux circonférences qui seront les parallèles de C et de D. L'ensemble des deux parallèles formera un contour fermé L' intérieur au contour L qui limite le caténoïde AMB et qui se compose des parallèles de A et de B. L'équilibre sera instable.
Soit AMB un arc de chaînette. Comme chaînette infini-
Fia. 36,
