Condition d'équilibre d'une goutte d'huile

Dans ses célèbres expériences, Plateau s'est servi le plus souvent d'une masse d'huile placée dans de Teau alcoolisée de même densité et maintenue par deux disques circulaires, ou deux anneaux métalliques de même rayon.

Pour trouver la condition d'équilibre de la masse d'huile, il nous suffit, d'après Gauss, d'écrire que l'énergie potentielle du système, formé par l'huile et l'alcool, est minimum ou maximum.

Or, les forces qui agissent sur ce système sont la pesan» teur et les actions capillaires. Le centre de gravité du système ne se déplace pas, quelle que soit la déformation de l'huile, puisque le liquide qui l'entoure a même densité qu'elle. Par suite, le travail de la pesanteur est nul, et il n'y a pas lieu de tenir compte de cette force dans la variation de l'énergie potentielle.

Les actions capillaires sont de plusieurs sortes. Ce sont les attractions :

i* Des disques ou des anneaux sur Thuile ;

2° De rhuile sur elle-même ;

3** De l'eau alcoolisée sur elle-même ;

4* De cette eau sur Thuile ;

5** De cette eau sur le cadre ; en négligeant les actions de la matière du vase sur les liquides qu'il renferme, ces actions n'intervenant pas dans la variation de l'énergie potentielle résultant d'une déformation de la goutte, pourvu que celle-ci soit à une distance sensible des parois.

Si nous désignons par :

2, la surface de contact de l'huile et de l'alcool;

S|, la surface de contact de l'huile et des supports solides ;

S, la surface totale des supports solides;

6^ , la fonction relative aux attractions mutuelles des molécules d'huile ;

•r\^ , la fonction relative aux attractions des molécules d'huile et des molécules solides des supports;

0/ et 7| ^, les fonctions correspondantes pour l'alcool ;

7|2, celle qui est relative à l'action de l'huile sur l'alcool;

Nous avons pour l'énergie potentielle, résultant des actions capillaires énumérées précédemment,

en négligeant d'ailleurs les constantes.

CONDITION d'Équilibre d'une goutte d'huile 87

Par conséquent, Ténergie potentielle totale est, à une cons* tante près,

Mais, puisque le cadre est solide, la surface S demeure constante. Il suffit donc, pour avoir la condition d'équilibre, d'écrire que la variation des deux derniers termes est nulle, c'est-à-dire

Si nous comparons cette condition à la condition (4) que nous avons obtenue pour l'équilibre d'un liquide en contact avec Tair et des parois solides (§2i),nous voyons qu'elles sont de la même forme ; elles ne différent que par la valeur des coefficients de SS et de 88^, et par la disparition du terme relatif à la pesanteur. Or, en transformant l'égalité (4), nous sommes arrivés aux conditions suivantes

«p = const.

Il est donc évident que la condition que nous venons d'établir peut être remplacée par

p- + ^ = const.,

«p = const.

En d'autres termes, la surface de séparation de l'huile et

-de Teau alcoolisée doit être à courbure moyenne <;onstante et doit couper le support solide sous un angle constant.

87. Les méridiennes des surfaces d'équilibre de ré;volution sont données par le roulement d'une conique.

Dans les expériences de Plateau, les plans des deux disques

ou anneaux maintenant la masse d'huile sont perpendicu-

laires à la droite joignant leurs centres. Par suite, cette

droite est un axe de symétrie de la masse d'huile, et la surface

de séparation de Thuile et de Teau alcoolisée est une surface de révolution autour de cet axe. Dans ce cas, si F est un point de la méridienne et XY Taxe {fig. 31), l'un des rayons de courbure principaux est la longueur FI de la normale comprise entre F et Taxe, et l'autre est le rayon de courbure FC de la méridienne. Par conséquent, pour qu'il y ait équilibre, la méridienne doit être telle que l'on ait

Fi + FC = const.

Montrons que cette condition est remplie par la courbe engendrée par le foyer d'une conique, quand celle-ci roule isans glissement sur une droite.

Considérons une ellipse C dont F et F| sont les foyers, et faisons-la rouler sur une droite XY (fig. 32). Le point de contact I est le centre instantané de rotation, et l'on a

vitesse de F IF

vitesse de F^ IF4 ...

MÉRIDIENNES DES SURFACES d'ÉQUILIBRE 89

Prenons le symétrique G du foyer F^ par rapport à XY ; ce point aura nécessairement la même vitesse que F^. D'autre part, d'après les propriétés de l'ellipse, G se trouve sur le prolongement du rayon vecteur FI et l'on a