GOUTTES REPOSANT SUR UN PLAN HORIZONTAL

surface libre de cette goutte est toujours donnée par Téquation

Cherchons son volume U. Le plan sur lequel repose la goutte étant pris pour plan des œy^ ce volume est donné par

\J = 1 1 z dœdy.

Par suite

^pu = I jJ(r -H s;) '^ ''y + p//**" ''y-

Si la goutte est de révolution, et si r est le rayon de la circonférence de raccordement AB (Jîg. 56), on a

f fdx dy = Ttr^.

D'autre part, nous ^ avons vu (§ 12) que Ton a

Fio. 56.

s cos a.

s étant le périmètre delà courbe de raccordement, etaTangle du plan tangent à la surface en un point de cette courbe avec la verticale. En appelant «p Tangle de raccordement, on a cos a = sin «p. Par conséquent, il vient

gç\] = -^ âirr sin » + picr*.

184 PROBLÈMES OU LA. PESANTEUR INTERVIENT La constante ^ peut se déduire de la hauteur h de la

goutte, quand cette goutte est large.

En efTet, la goutte étant de révolution, les deux rayons de

courburo sont égaux au point le plus élevé pour lequel

/, ^ h. Par conséquent, ou a

-gfh

relation qui détermine p en fonitioa de H el de h. Dans le cas où la goutte est large on a sensiblement H := oo, el il vient

Faisons observer que nous avons admis que la goutte est de révolution. Cette hypothèse est légitime, car, si la goutte n'est pas de révolution, nous pouvons toujours trouver une goutte de révolution dont les sections par des plans horizontaux aient des aires égales aux sections do la goutte considérée par les mêmes plans. Les volumes des deux gouttes sont alors égaux, et nous pouvons regarder l'une comme résultant de la déformation de l'autre, la surface de contact avec le plan restant la même. Or, il serait facile de démontrer, comme nous l'avona fait, à propos des expériences de Plateau (g 43), que la surface de la goutte de révolution est plus petite que celle de la goutte qui n'est pas de révolution. Par conséquent, quand on passe de celleci à l'autre, le travail des forces capillaires, qui se réduit à — 8j ES, puisque la surface de contact avec le plan ne change pas, est positif. Le travail de la pesanteur a pour expression

INDES DE LIQ01DE DANS UN TUBB CAPILLAIRE 185 Q étant la section de la goutte par un point horizontal ; comme Q a la même valeur pour les deux gouttes cette variation est nulle.

La somme de ces travaux, quand on passe de la forme non de révolution à la forme de révolution est donc positive. Par conséquent, l'énergie d'une goutte non de révolution n'est pas un minimum absolu. Une telle goutte ne peut donc être en équilibre stable, et il n'y a lieu de considérer que le» gouttes de révolution.

Cependant l'expérience montre que l'on peut obtenir, sur une surface plane, des gouttes qui ne sont pas de révolution. Dans ce cas, l'équilibre ne peut s'expliquer que par la viscosité du liquido. Encore faut-il entendre par ce mot une viscosité superficielle beaucoup plus grande que la viscosité ordinaire, ou résistance aux mouvements intérieurs.

60. Suspension d'un index de liquide dans un tube capillaire. — Considérons un tube conique de révolution, et soient AB et A'B' [fig. 57) les surfaces libres de l'index dans sa position d'équilibre. Prenons pour axe des x une horizontale passant parle sommet du cAne, et pour axe des x l'axe du tube que nous supposerons vertical.

Si Z est l'ordonnée du centre de gravité de l'index, le moment de la pesanteur par rapport au plan

des xy est i^pUZ. Ce moment est aussi égal au moment du volume, O'A'M'B' diminué du moment du volume OAMB. Si

nous négligeons les moments des volumes AMBD, A'M'B'D', et si nous appelons x et z' les distances du sommet O au plan AB, A'B' passant par les courbes de raccordement, nous avons

moment de OAB = az^,

a étant une constante qui est égale au produit de tt par le carré de la tangente de Tangle que forment les génératrices avec Taxe. Le moment de OA'B' étant donné par une expression analogue, nous obtenons

Par conséquent, le terme de l'énergie potentielle de l'index provenant de l'action de la pesanteur est

— ^pUZ = az^ — ax'^.

Si nous négligeons les variations des surfaces AMB et A'M'B', le terme provenant des actions capillaires est — t^S,. S| étant la surface de contact du liquide et du tube, cette surface est la surface latérale d'un tronc de cône de hauteur x' — x\ elle est égale à

h' étant une constante. Nous pouvons donc écrire pour l'énergie potentielle due aux actions capillaires

— 7iS< = ô (^2 ^'ï).

Pour qu'il y ait équilibre l'énergie potentielle totale

a Iz* — X*) + ô (^* — x'^)