PAR UNE SEULE ET MÊME RÈGLE

L'auteur du nouveau système a l'honneur de prévenir ses confrères Architectes, Ingénieurs, Arpenteurs, Professeurs de Géométrie, de Dessin et de Mathématiques, les Directeurs d'Université, Collèges, Séminaires, Couvents et autres institutions d'éducation, les professeurs et élèves des Ecoles des Arts et Métiers et de Dessin industriel, les Mécaniciens, Toiseurs, Mesureurs, Jaugeurs, Officiers de Douane et d'Accise, Constructeurs de navires, Entrepreneurs, Ouvriers et autres du Canada et à l'étranger.

Qu'il a confectionné son " Tableau Stéréométrique " afin de réduire à la pratique sa formule universelle pour trouver le volume

Avertissement. — Pour protéger son œuvre et en prévenir toute oontrefaçon, soit ïsi ou à l'Etranger, l'auteur a fait breveter sa découverte, son tableau, tant au Canada qu'aux Etats-Unis et en Europe.

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d'un corps de forme et dimensions quelconques. C'est au sujet de cette formule que le Séminaire de Québec, après l'avoir soumise à des personnes compétentes, s'exprime ainsi: " Parmi les théorèmes et les formules remarquables par leur nouveauté, ce qui frappe le plus, c'est l'expression générale du volume d'un solide quelconque. Un doute involontaire s'empare d'abord de l'esprit ; mais un examen attentif dissipe bientôt ce doute et Von reste étonné à la vue (V une formule si claire, si aisée à retenir et dont V application est si générale."

Un article du " Journal d'Education" parle de Vimpulsion soudaine que cette découverte imprime à la science.

Son système d'exposition, dit un autre journal, est neuf et d'une simplicité qui le met à la portée de toutes les intelligences.

Le tableau dont les dimensions sont d'à peu près 3 pieds de hauteur sur 5 pieds de longueur est en bois franc à fond teint on peint de couleur convenable. Fixés à la planche sont quelque 200 modèles en bois franc polis, et huilés ou vernis à demande. Chaque petit modèle s'ajuste à la planche au moyen d'une cheville en fil de fer fixée au tableau, et telle qu'on peut facilement en détacher le modèle et le remettre à volonté. Le tout est recouvert d'un panneau vitré qui en exclut la poussière, et que l'on peut ouvrir et fermer à volonté, avec serrure et clef au besoin.

Les modèles comprennent à peu près toutes les formes élémentaires qu'il soit possible de concevoir ou que fourniraient par division ou décomposition un corps composé quelconque. C'est ainsi qu'on y trouvera tous les prismes et prismoïdes, cylindres et cylindroïdes droits et inclinés, les troncs et onglets de ces corps: pyramides, cônes, et conoïdes droits et inclinés avec leurs troncs et onglets ; la sphère avec ses subdivisions en hémisphère, quart de sphère, demi-quart ou pyramide sphérique tri-rectangle, calottes ou segments, zones, pyramides, troncs et onglets ; le sphéroïde ou ellipsoïde allongé ou aplati avec ses segments, moitié, quart, troncs, etc. ; enfin, les fuseaux et leurs troncs, etc., y compris les futailles de toutes sortes, les polyèdres réguliers, anneaux concentrique et excentrique, et une foule d'autres formes pratiques des plus variées mais qu'il serait trop long d'énumérer ici.

La nouvelle règle ou formule dispense de toute considération, de tout calcul préliminaire quant à la nature, forme ou dimensions du solide entier dont le volume à évaluer fait partie. Ainsi, quand il s'agit de cuber par les règles

ordinaires un segment, tronc ou zone de sphéroïde par exemple, on a boni d'abord à s'enquérir des axes du solide pour les faire entrer en compte ; mais par le nouveau système on procède de suite à évaluer la solidité requise en y appliquant directement la formule (A + B + 4S) JK. De même, si l'on croit avoir affaire à un tronc <1 ■ pyramide par exemple, il y a tout d'abord à s'assurer si c'en est un, afin d'y appliquer les règles ordinaires du toisé} à cette fin, il y a à mesurer les longueurs respectives des arêtes des hases supérieure et inférieure pour établir" ensuite les rapports entre elles et s'assurer par la même si elles sont ou non proportionnelles, sans quoi le solide, à évaluer n'est pas un troue de pyramide; tandis qu'au contraire par la nouvelle formule, il suffit de s'assurer du seul parallélisme des arêtes (ce qui se voit d'un coup d'œil et sans mesurage aucun) pour procéder de suite à l'application de la règle — car, d'après le procédé de l'auteur, le tronc de pyramide, réputé tel, est regardé comme prismoïde et soumis par là même à la formule générale, tout comme la pyramide entière qui est aussi un prismoïde.

Mais à part toute considération préliminaire sur la nature du solide à estimer et des calculs longs et difficiles qu'il faut faire à cet effet quand on procède par les règles ordinaires — il est à remarquer que les calculs qui restent encore à faire pour trouver le volume du solide ou liquide dont il s'agit sont pénibles, difficiles, longs quelquefois à n'en plus finir, comme quand il s'agit par exemple du jaugeage d'une futaille, soit du toisé d'un tronc de fuseau. Ce sont très-souvent des formules algébriques, du calcul différentiel et intégral et une seule erreur d'impression dans la formule dont l'intelligence ne peut pénétrer ou suivie les mystérieux replis— erreur dont on ne s'aperçoit pas et qu'on ne saurait en conséquence corriger — une seule erreur de cette sorte, est assez pour rendre inutile le calcul tout entier et nécessiter de le recommencer ; au lieu que par le système maintenant proposé, comme il n'y a qu'une seule règle, une seule formule à apprendre et à retenir et qu'elle est des plus simples, l'intelligence peut la suivre pas à pas, et l'oeil même s'apercevoir de suite s'il y a erreur.

Aujourd'hui, il y a autant de règles diverses que de solides : une pour le prisme ou cylindre, une pour la pyramide ou le cône, une autre pour le tronc de cône ou de la pyramide, une troisième pour la sphère, puis trois autres pour le segment, la zone et l'onglet de ce corps, encore une pour le sphéroïde, avec des formules additionnelles et en nombre égal pour le segment, le tronc, l'onglet, suivant que le plan coupant est parallèle ou incliné au petit ou au

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grand axe ou à un diamètre quelconque du solide. Combien d'autres formules différant toujours l'une de l'autre et chacuue d'elles de toutes celles déjà éuuniérées, lorsqu'il s'agit d'en venir au Tolume d'un conoïde parabolique droit ou incliné, d'un segment de fuseau circulaire, elliptique, etc., d'un onglet de cylindre, de cône, de conoïde ou de fuseau. Eli bien ! on peut aujourd'hui mettre de côté toutes ces règles, toutes ces formules variées qu'il est impossible de retenir dans la mémoire et pour lesquelles il faut toujours avoir un livre à sa disposition ; on peut mettre de côté toutes ees formules avec les livres qui les contiennent, et armé du nouveau système s'attaquer à un solide quelconque pour en évaluer le contenu à l'aide d'une toute petite règle que l'on retient comme son pater, savoir : " à la somme des surfaces des bases opposées, ajouter quatre fois la surface intermédiaire et multiplier le tout par la sixième partie de la hauteur du solide."

Le calcul se réduit, dans tous les cas, d'après le système de l'auteur, à celui des surface des bases opposées et de celle de la section médiane ou intermédiaire, et c'est précisément à cette fin que doit servir le tableau dont il s'agit, où l'on verra de suite la forme du solide, la nature des surfaces qui lui servent de bases, et au moyeu d'un trait ou ligne, la nature et les dimensions de la section, surface ou coupe à demi-distance entre les bases ou extrémités opposées du solide à estimer. C'est ainsi que l'on verra que dans la pyramide, le cône, le conoïde, le segment de sphère ou de sphéroïde, la surface supérieure se réduit à zéro ou est nulle, tandisque dans la sphère, le sphéroïde et certains prismoïdes, chacune des surfaces opposées devient nulle, ce qui réduit alors le calcul à multiplier 4 fois la surface de la section médiame par la sixième partie de la hauteur du solide.

La formule est mathématiquement exacte pour les prismes et prismoïdes, cylindres et cylindroïdes droits ou inclinés, pyramides régulières ou irrégulières et les troncs de ces solides entre bases parallèles, pour le cône droit ou oblique et son tronc entre bases parallèles, pour la sphère, calotte et zone sphérique, pour le sphéroïde et tout segment, zone ou tronc de corps séparé du solide entier par un plan incliné d'une manière quelconque aux axes ou diamètres, ou compris entre deux plans parallèles quelconques, pour les conoïdes parabolique et hyperbolique droits ou inclinés et les troncs de ces solides compris entre plans parallèles ; et ces divers solides constituent dans leur ensemble la presque totalité des solides élémeutaii'es que l'on puisse être appelé à évaluer.

Il n'y a que pour les fuseaux seuls et certains onglets de ces corps et des autres solides que la formule n'est pas mathématiquement correcte, et encore peut-on même (Lins ces derniers cas arriver à des résultats plus certains, plus satisfaisants au moyen de la formule générale qu'on ne saurait le faire par aucun des autres moyens auxquels on a d'ordinaire recours dans la pratique. Il suffit pour cela de décomposer le demi-fuseau ou tronc de ce solide en deux ou an plus en trois parties par dv> coupes ou plans parallèles aux hases et d'appliquer la formule séparément à chacune de ces parties pour arriver à un résultat 1res voisin dé l'exactitude parfaite, et de même pour les onglets de prismes et prismoïdes, de pyramidi . conoïdes et fuseaux, de sphère et de

sphéroïdes et les troncs de ces onglets entre bases parallèles, de partager le solide en 2, 3 ou ô parties au plus pour appliquer ensuite séparément la formule à chacune des tranches composantes, comme il est d'ailleurs évidemment nécessaire de le faire pour le cubai solides composés tels que la chaloupe, le bateau, le navire et autres formes analogues, composées qu'elles le sont dans tous les cas de quelques-unes des formes élémentaires que l'on trouvera parmi les modèles du tableau.

Et dans la plupart des cas, cette subdivision même du solide en 2, 3 tranches composantes, sera inutile, puisque pour les onglets de prismes, de cylindres, de pyramides et

de cônes, Terreur maximum entre le volume réel et celui obtenu par la formule proposée ne dépasse pas d'ordinaire un .(JOô ou un demi pour cent, comme on le fera voir.

Que l'on considère aussi l'immense avantage d'un pareil tableau pour la seule nomenclature des corps. Cela rend maintenant possible aux élèves les moins avancés des collèges, couvents et autres écoles une étude qui leur était auparavant interdite. En effet, pour saisir sur le papier et comprendre la représentation graphique d'un corps, il faut connaître préalablement le dessin, la perspective qui ne s'acquiert d'ordinaire que par les élèves avancés et dans les dernières années de collège; tandis qu'aujourd'hui le plus jeune, le moins avancé pourra détacher le modèle du tableau, le tenir, le manipuler j le Maître ou Professeur, la Religieuse ou Maîtresse lui en dira le nom et lui en fera voir un exemple dans les mille et un i et besoins de tous les jours-

6 LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

Ce que peuvent représenter les divers modèles du Tableau.

Le tronc de cône droit ou renversé sera suivant le cas, la représentation d'une tour, d'un phare, etc., d'un verre à boire, d'un saloir, d'une tinette à beurre, d'un seau, d'une auge ou cuve ordinaire ou connue on en voit dans les brasseries et ailleurs; le cône plat ou surbaissé fournira l'idée d'un couvercle ou d'un fond de chaudière, d'un toit, etc. ; la pyramide sera l'image d'un clocheton, d'une flèche de clocher, etc.: le conoïde droit, la calotte de sphère ou de sphéroïde sera un dôme plus ou moins élevé ou surbaissé pendant que le même solide en le renversant présentera à l'imagination un bassin, un réservoir, un vaisseau comme il s'en trouve dans la cabane à sucre, la distillerie ou autre manufacture.

Le conoïde incliné et renversé, la calotte ou le segment de sphéroïde également incliné et renversé sera la représentation, l'image de l'espace occupé par une liqueur, un liquide, un fluide quelconque au fond d'un vaisseau auquel on aura donné pour une raison ou une autre une inclinaison quelconque. Le prisme, le prismoïde, sera de même le modèle de ces mille et une toitures simples ou compliquées qui couronnent nos habitations domestiques, nos édifices publics, nos palais. Le toit de la lucarne ordinaire sera, si il est eu croupe, un prisme triangulaire oblique ou incliné ; s'il ne Test pas ce sera le tronc de prisme, et le corps de la lucarne sera indifféremment suivant l'aspect sous lequel on l'envisagera, un prisme droit triangulaire, ou un onglet de prisme quadrangulaire.

Parmi les prismoïdes l'on trouvera encore le plançon, le tronc d'arbre en grume, le déblais et remblais de la voie ferrée, le réservoir, le quai, le pilier, la tente à camper, l'ouverture ébrasée ou non d'un châssis, d'une porte, niche ou meurtrière dans la muraille. Le quart de sphère ou de sphéroïde, la demi-calotte sera la voûte du rond point d'une église, ou d'une salle terminée de la même manière. La sphère entière, le sphéroïde sera la bille de billard, la boule de clocher, la Terre, que nous habitons, la Lune, le Soleil, les Planètes. En un mot, l'on trouvera sur le tableau, et l'on maniera à volonté, afin de l'envisager sous tous les aspects possibles, le modèle de chacune des formes élémentaires qu'il soit possible de concevoir.

INTRODUCTION. t

Les bases, faces latérales, sections centrales ou intermédiaires des modèles du tableau offrent aussi à l'appréciation de l'élève dans l'étude préalable du toisé des surfaces, la représentation de chacune des figures planes et de toutes espèces de surfaces cenvexes ou concaves soit à simple ou à double courbure :

Le carré, rectangle, lozange, parallélogramme, trapèze, quadrilatère— le triangle équilatéral, isocèle, scalène, rectangle, acutangle obtusàngle — le polygone régulier et irrégulier — le cercle, demi-cercle, quart de cercle, recteur, segment, zone, lune, Panneau concentrique, excentrique— l'ellipse, demi-ellipse, segment d'ellipse moindre, plus grand que la moitié- — les autres sections coniques, parabole, hyperbole— le triangle spliérique équilatéral, tri-rectangle, tri-obtusangle, la calotte ou segment, zone, lune spliérique — segments et zones, etc., d'ellipsoïdes allongés et aplatis, etc.

Le tableau aura pour effet d'intéresser l'élève et de rendre attrayante une étude jusqu'à présent aride et à peu près impossible. On pourra au moyen du tableau et de la formule générale enseigner la stéréométrie, c'est-à-dire, la nomenclature, les propriétés et le toisé des corps dans les écoles, même élémentaires, où on aura d'abord enseigné assez de géométrie pour mettre, les élèves en mesure de déterminer la surface d'une figure plane quelconque, puisque le système proposé réduit en réalité le toisé des corps ou volumes à ce seul travail : ce qui reste à faire n'étant qu'une addition des surfaces ainsi trouvées et la multiplication de leur somme par la sixième partie de la hauteur du solide.