SEULE ET MÊME RÈGLE

(1) À la somme des surfaces des bases ou extrémités opposées et parallèles du corps à évaluer, ajouter quatre fois la surface d'une coupe ou section parallèle à ces bases et également éloignée de chacune d'elles et multiplier le tout par la sixième partie de la hauteur ou longueur du solide.

(2) Pour abréger, nous dirons “ section ou coupe médiane ou intermédiaire ” la coupe dont il s’agit dans la formule ; ou encore, et à volonté : ‘ section au centre, ” % section du milieu ” et nous désignerons coustamment cette section par la lettre M, lettre initiale du mot milieu, comme nous désignerons par B et B’ les bases ou extrémités opposées du solide et par L ou H sa longueur ou hauteur.

(3) La longueur ou hauteur du solide sous considération, sera toujours la distance entre ses bases ou extrémités parallèles, c’est-à-dire la perpendiculaire menée de l’une de ces bases à l’autre ou au plan de cette base, prolongé s’il le faut.

Donc la formule s’écrira :

Volume = (Surf. B +4 surf. M+ surf. B’) x 4 L ou H. ou encore :

V.=(B+4M+B") + L ou H ou, pour disposer les surfaces de manière à en faciliter l'addition :

+ surf. B hu V= 4 +4surf. M. »; x4 Lou H,ou 4 +4M + surf, B. (+ Somme des 8.

x # L ou H.

Xxx CLEF SYNOPTIQUE OU ABRÉGÉE Nature et valeur des bases 3, B?.

(4) Tantôt l’une des bases ou extrémités du solide, comme poar la pyramide, le cône, le conoïde, le segment ou onglet de sphère, de sphéroïde, de fuseau, etc., ne sera qu’un point et sa surface, en conséquence, nulle ou égale à zéro (0). Tantôt, chacune des bases sera nulle de surface ou = 0, comme dans le cas de la sphère et du sphéroïde ; puis, l’une des bases sera une simple ligne, comme pour le coin et certains prismoïdes et onglets, et sa surface encore nulle ; tantôt, enfin, chacune des bases, comme pour certains prismoïdes, ne sera qu’une ligne et les surfaces nulles, comme auparavant ; mais dans tous les cas, l’auteur recommande à l'élève de maintenir intacte la formule et d'écrire suivant le cas:

surfaces surfaces + B + 90 V.= 4+4M ou, V.==4+4M + B + B Somme x + L ou H. Som. x } L ou H.

surfaces surfaces + B + 0 ou, V= 4+4M;. ou, V.=4+4M + 0 + 0 Somme x } Lou H. Som. x + L ou H!

(5) REDMI. Il est clair, d’après ce qui précède que les surfaces respectives dont il s’agit sont toutes des surfaces planes ou qu’elles doivent être considérées telles, et que, pour les fins du système de l’auteur, toute surface est nulle, à laquelle une surface plane ou un plan ne peut toucher qu’en un seul point, comme dans la sphère, le sphéroïde et le conoïde ; ce qui n'empêche pas que l’on puisse évaluer tout de même par la formule, et avec la mêm: exactitude, une pyramide ou un cône sphérique ou un tronc que! aque de tel corps compris entre bases parallèles ou concentriques, et dont l’une, en conséquence, concave, et l’autre convexe.

(6.) Il suffirait même de ces énoncés pour faire comprendre le système de l’auteur, mais quelques observations ayant plus particulièrement trait, si non à chacun des solides du tableau, au moins à chaque catégorie ou classe des dits solides, ne seront peut-être pas de trop.

(7) Nous disons ‘classe’ ou “catégorie” et en effet, il convient de faire remarquer que les solides sont disposés, su: le tableau, par groupes ou familles, chacune sur une ou plusieurs rangées verticales. Ces rangées sont au nombre de 20 et les rangées horizontales au nombre de 10, formant 200 morceaux.

DU TABLEAU, xxx!

La première rangée vers la droite (il serait indifférent d’en renverser l’ordre et de commencer par la gauche) comprend le prisme, sous quelques-unes de ses formes variées.

(S) Les quatres rangées suivantes offrent le prismoïde, sous plusieurs aspects diversifiés (voir l'introduction, page 6) y compris les solides réguliers ou platoniques, (dodécaèdre, icosaèdre, etc.) et certains onglets de prismes.

(9) La sixième rangée, toujours en allant vers la gauche, est la pyramide et le tronc de ce solide.

(10) Les rangées 7 et 8 présentent le cylindre droit, incliné, tronqué, et les nombreux ongiets et troncs d’onglets de ce solide, avec aussi quelques cylindroïdes.

(1) 9 et 10 sont le cône droit et incliné, leurs troncs et onglets.

(12) 11 est le cône concave avec ses variantes et sections. 12 et 13 sont les conoïdes parabolique et hyperbolique droits et inclinés, avec leurs troncs, onglets et onglets tronqués.

(13) 14, 15 et 16, les fuseaux aplati et allongé avec leurs décomposés et divers.

(14) 17 et 18 sont la sphère et ses segments, troncs, onglets, ete., cône et pyramiües spériques et troncs de ces corps entre bases parallèles. Ces solides offrent aussi à l'appréciation le triangle sphérique, tri-rectanÿle, tri-acutangle, tri-obtusangle, etc., et facilitent chez l'élève, l'intelligence de la géométrie et trigonométrie sphériques, et, chez le professeur, l’enseignement de ces sciences.

(15) 19 et 20, enfin, sont le sphéroïde aplati et allongé avec les décomposés de ces corps.

Voir encore à ce sujet “l’Introduction ” page 7. Arrêtons-nous tout d’abord au

PRISME OU CYLINDRE Droit, Incliné, Tors. *

(16) Le prisme est un corps dont la largeur ou grosseur est partout ègale ou uniforme; c’est, en d’autres termes, un solide qui d:ns toute sa hauteur ou longueur, est d’un diamètre ou épaisseur invariable et dont les bases ou extrémités opposées et parallèles

1. Voir l’Introduction, page 11, dernier alinéa, lettre du Révd. Mr. Billion, mathématicien du Séminaire de St. Sulpice, Montréal.

XxXII CLEF SYNOPTIQUE OU ABRÉGÉE,

de même que toute coupe ou section parallèle à ces bases, sont, en conséquence, des figures planes semblables et égales ; ces figures peuvent être indifféremment rectilignes, curvilignes ou mixtilignes,

On en aura donc le volume en faisant

+ surf, B et, en sup. +1 V.= «4 +4surf. M la base = 4 +4 C+eurf, Ph te

Somme de surf. x ;L.ouH. Som. des s, x} Lou H.

68, B 8, B = ou 68, st *4L.ou H = ou s, M x L. ou H, ou 68,B ou 8. B’

(17) C'est-à-dire que pour le prisme, la formule générale se réduit à l’expression simplifiée : B ou B’ ou M x L; mais nous conseillons à l’élève de ne pas s'étudier à se rappeler cette formule, simplifiée qu’elle soit, puisque il pourra toujours (voir l'Introduction, page 9) en revenir là de lui-même, car, on n’est pas lent à voir que c'est la même chose de multiplier un nombre quelconque par un autre nombre, ou de multiplier 6 fois le premier par la sixième partie du second.

PRISMOIDE Droit, Incliné, Tors.

(18) Le prismoïde, dont il est assez longuement question, page 161 à 167 de ce traité, a pour bases ou extrémités opposées et parallèles, des figures planes quelconques, égales ou non égales, semblables ou non semblables, rectilignes, curvilignes ou mixtilignes, et dont l’une, comme dans le cas de la pyramide ou du coin, peut être un simple point ou une ligne, ou chacune des bases une simple ligne

comme on l’a dit (4).

On écrira donc, suivant le cas :

+8. B + 0 + B + 0 V.= «4 +8. M ou + + 4M ou 4 +4M ou ant

+8. B' + PB’ + 0 + 0 Som. des s. X Som. des s. x Som. des 8. x Som. des 8. x 3L.ouH. 4 L. ou H. 4 L. ou H. 4 L. ou H.

à PYRAMIDE, CONE Régulière, irrégulière. Droit, Incliné.

(19) Dans la pyramide la base, ou l’ine des extrémités est une figure plane quelconque et la section intermédiaire une figure semblable à la base et égàle en surface au quart de la base (95, T.).

DU TABLEAU, XYXITII

La coupe du cône, comme de la pyramide, par un plan passant par son axe et sommet, est un triangle et la largeur du triangle, prise à la moitié de sa hauteur, est (page 85, rem.) moitié de celle de la base ; or, cette même largeur médiane du triangle, fournit le diamètre correspondant de lu pyramide ou du cône en cet endroit, c'est-à-dire le diamètre de la section mediane du solide par un plan parallèle au plan de sa base. Le cône, s'ilest droit, a pour base un cercle; s'il est incliné, une ellipse et pour coupe parallèle à la base, un ecrele ou ellipse semblable à cette base et égale en surface au quart dé cette dernière ; l'autre base ou extrémité, tant du cône que de la pyramide, est un simple point, et sa surface en conséquence nulle ou = 0. Ce qui nous donne:

+ 8. B’ + 0 V.= < +48, M = 4 144M L 8, B + B Som. des 8. «y Lou H, S.dess. » ! L, ou H.

Et, en sup. CE L ( ol 1x4L,H la base = 4 4x4 = sti == ou =1 Cr 19 +1 BH S.dess. x 1L.ouH. $S.dess, « S. des 8, x + L. ou H. 4 L. ou H.

C'est-à-dire, que pour la pyramide, le cône, la formule se réduit à multiplier la surface de la base par le + de la hauteur.

CONOÏDE PARABOLIQUE, HYPERBOLIQUE Droit, Incliné.

(20) La base est ici un cercle où une ellipse, suivant que le solide est droit ou incliné, et la coupe à d'mi-üistance entre la base et le sommet ou les extrémités opposées, est, comme toute autre coupe parallèle à la base, une figure semblable à telle base et égale (479) en surface à la moitié de cette dernière; ou, ee qui est la même chose, le diam. de cette coupe et égale à la racine carrée (voir les tables) de la moitié du carré du diam. correspondant de la base. L'autre base ou extrémité du solide n’est qu'un point, puisque nous sommes convenu de regarder comme tel, toute surface courbe à laquelle une surface plane ou un plan ne saurait toucher, à la fois, que sur une étendue infiniment petite, c.-à-d. un point.

d’où :

+ surf, B° + 0 V.=-d +4surf. M —jJ +4M + surf. B + B Som, des surf, Son. des 8.

xÿLouH xsHou L