Un triangle étant inscrit dans une conique^ si deùcô

côtés sont tangenU à d£ues ûour^ be$ données la troisième en^e^ -^' loppe WM courie ieUe que k$ droites qui joignent les eommetê du triangle^ dans une de ses po^ êitionêk aux points de contact des côtés opposés se coupent au mimepomt.

Considérons en effet deux positions abc, a'b'c* (fig. 55) du triangle, ce qui .nous fournit l'hexagone inscrit acha'c'V. Il résulte inunédiatement du théorème de Pascal que le point de rencontre p des deux côtés opposés 6a' et Va se trouve 9ur la droite mn qui joint ies points de rencontre des autres côtés opposés.

Soit p^ le conjugué harmonique de p par rapport à a et 6'; ce point est évidemment la limite du point p, intersection des côtés ha et Va', Or on sait que si Ton joint ap, , am, 6'n, ces trois droites se coupent en un même point. Donc il en est de même à la limite, c'est-à-dire quand les points mnp^ sont devenus les points de contact.

Cette propriété nous permet de trouver le point de contact de àb avec son enveloppe, connaissant les points de contact correspondants des droites ac et bc avec les courbes fixes.

Remarque. La droite qui joint le point de rencontre des tangentes à la conique en a et 6 au point de contact de ab avec son enveloppe est la polaire du point p; il m résulte que les trois droites analogues se ooiipent au même poiot » car m vertu du théorème de Pascal, les trois points p sont en ligne droite.

Tltéorème corrélatif.

Étant donné un triangle cireonscrii à une conique ^ $i deux sommets décrivent deux courbes fixes, le troisième décrit une courbe telle que les points de rencontre des tangentes à ces trois courbes en trois points correspondants^ avec les côtés opposés du triangle, sont en ligne droite.

Gela permet de construire la tangente à la troisième courbe en un point quelconque.

Remarque. Les points de rencontre des mêmes tangentes avec les côtés du triangle inscrit correspondant sont aussi en ligne droite;

LIVKE 1. CHAP. 1\.

Tliéorèiiie T.

104. — Un triangle variable étant inscrit dans une conique, si deux de ses côtés passent par deux points fixes, le troisième enveloppe une conique doublement tangente à la proposée suivant la droite qui joint les points fixes. Menons la droite ab qui joint les points fixes, et par les points où elle rencontre la conique, menons les tangentes à cette courbe (fig. 56).

Soient a=o, p=o et 7 = les équations de ces tangentes et de la droite des contacts ab.

L'équation de la conique est

ap — Ay« = o.

Cherchons maintenant Téquation de la droite cd. Les coordonnées des points a et 6 sont définies par les relations

pour le point a, et

Y = o, p — aoL =2

Y=:o, p — éa = o

pour le point 6. De même celles des points c, d, e, qui doivent satisfsdre à l'équation de la conique, sont données respectivement par des relations de la forme

a — rwY = o , a — nY =0, a — ov = Oa

Gela posé, Téquation de ce est de la forme

i-mt + x(p-^f^ = o.

puisque cette équation représente une droite passant par le point c, et on déterminera X en exprimant qu'elle passe par le point e, ce qui donne :

L'équation de ce est donc

On trouve de même pour de et cd

. tnn . , , , a + — p-(»i + n)Y = o.

Exprimons que ce passe par le point a, et de par le point b, il vient ;

d'où

Win = -7— r , ?w + n =: — ; .

abp* aop

Portant ces valeurs dans l'équation de cd, il vient : abp^ct + *P + *P(<* + ^)ï = <>•

Pour trouver l'équation de l'enveloppe de cette droite en coordonnées tangentielles, il nous suffit maintenant de l'identifier avec l'équation

102 LIVIIE I. — CfiAK IV.

et entre les relations obtenues, d'éliminer p, on a

'^P =~r, et

d'où:

ab __

L'enveloppe cherchée est donc une conique ayant un double contact avec la conique proposée, et la corde de contact est la droite qui joint les points fixes.

Théorème con^latif.

Un triangle étant circonscrit à une coniqv^^ si deux de ses sommets se meuvent sur deux droites fixes j le troisième décrit une conique doublement tangente à la conique donnée. La corde de contact est la polaire du point d'intersection des deux droites \données.

Nous pouvons généraliser le résultat que nous vendus de

trouver, en remplaçant les deux points fixes par deux coniques

doublement tangentes à la proposée, que deux côtés des triangles

seront astreints à toucher.

Soient en effet o (fig. 57) le point d'intersection deç cordes

de contact, et abe une position du triangle; menons la droite oa qui rencontre la courbe en di et la droite db qui rencontre la corde de contact mn en p. .

.^^^^ ^ Le point p est fixe, d'aprèsla

Pig 57, réciproque du théorème précé-

dent; il en est de même du point q déterminé par l'intersection de cd et de l'autre corde de contact. Donc le triangle bcd qui est inscrit dans la conique a deux de ses côtés passant par deux

points fixes p et g. Il en résulte, d'après le théorème précédent, que le troisième côté bc enveloppe une conique doublement tangente à la proposée, avec la droite pg pour corde de contact. On sait d'ailleurs déterminer le point de contact.

On peut enfin étendre ce résultat à un polygone d'un nombre quelconque n de côtés, dont n — i côtés sont tangents à n — i coniques doublement tangentes à la proposée. Le n* côté enveloppe une conique qui est aussi doublement tangente à cette conique,

C^r si on décomposa lô pQlygQX)§ w tringles par toutes les diago^ales issues d'u» âe$ commets; correspond^mtiî w côté libre, on peut appliquer le théorème k chacun de ces triangles successivement et arriver ainsi jusqu'au côté libre.

On a donc le théorème suivant ;

Vfeiéorème VI«

106. -N* Vn polygone de n cùti$ est inscrit dans une conique et n-*-*- 1 de ses côtés sont tangents à d«^ i coniques doublement tangentes à la première : le n* côté enveloppe une conique qui est aussi doublement tangente à cette conique.

yhéorème eorrélatif .

Un polygone de n côtés est circonscrit à une conique et n — t sommets décrivait n — i coniques doublement tangentes à la première^ le n' sommet décrit également une coniqtM qui lui est eloublement tangente.

Remarque. Dans le théorème direct, si quelques-unes des coniques deviennent un système de deux droites, ce système de deux droites peut être remplacé par leur point d'intersection , parce que toutes les droites qui passent par ce point peuvent être regardées comme des tangentes au système.

On peut donc remplacer un nombre quelconque des coniques

doublement tangentes par autant de points fixes, et dans le théorème corrélatif par des droites fixes.

Il peut en être de même pour la n* conique, c'est-à-dire que dans le théorème direct, cette conique peut se réduire à un point quelconque du plan, et dans le théorème corrélatif à une droite quelconque.

Théorème mSM»

106. — Les droites qui joignent deux à deux les points dUntersection de deux tangentes à une conique avec une autre coniqi^ , sont tangentes à une même conique passant par les points com-^ muns aux deux premières. Les tangentes ab et a'b' à la conique S' coupent la conique S aux points a, &, o', V (fig. 58) , je dis que les droites aV et 6a', par exemple, sont tan- Jw gentes à une conique passant par les points m, n, p, g, où se coupent les deux coniques, et que les points de contact se trouvent en r et s sur la corde de contact correspondante aux deux tangentes ab et a'b'.

Fig. 58. Soient en effet a=o, p=o les équa-

tions de aft et a'6'; a'=o, P'=o celles de ab' et 6a'; l'équation de la conique S est de la forme

ap — fca'p' = 0,

et celle de la conique S', si Ton désigne par y=o l'équation de la corde de contact, est

ap — kY = o.

L'équation

obtenue en retranchant membre à membre représente une co-

nique passant par les points m, n, p, q. On reconnaît que cette conique est tangente aux droites a'=o et P'=o, aux points où elles sont coupées par la droite y=o, ce qui démontre la proposition.

On verrait facilement qu'il en est de même pour les droites obtenues en joignant d'une autre manière les points d'intersection deux à deux*

Remarque. Les six points de contact analogues kr ets sont en ligne droite.

Théorème corrélatif.

Par deux points quelconques pris sur une conique^ on mène deux couples de tangentes à une deuxième conique : les points d'intersection de ces tangentes deux à deux sont sur une mime conique tangente à ces quatre droites.

Remarque. Les six tangentes menées par les points d'intersection se coupent au même point.

Théorème VllI.

107. — Étant données trois coniques S, S,, S, passant par quatre points communs^ un triangle est inscrit dans S, et deux de

ses côtés sont tangents Vun à S^, Vautre à S, : le troisième enveloppe une conique passant par les points communs avrX premières.

Considérons deux positions abc

et aWde ce triangle (fig. Sg).

D'après le théorème précédent,

les droites aa\ bV sont tangen-,

tes à une même conique qui passe

par les quatre points communs m,

^'^^' n, p, q. Il en est de même pour

c& : car ce' est tangente à la même conique que bb'j et par suite

que aa'.

Donc, en vertu du même théorème, acet a^c^ sont tangentes à une conique qui passe par les quatre points m, n, p, q, Ge théorème peut se généraliser de la manière suivante :

niéorème IX.

108. — Un polygone de n càtès est inscrit danê une eoniqtk^t et D«^i de ses côtés sont tangents à n*^ i coniques fixes passant par quatre points de la première : le n' côté enveloppe une aa*' nique passant par les mêmes points.

Car si Ton décompose le polygone en triangles par toutes les diagonales issues d'une extrémité du côté libre, on démontre de proche en proche, d'après le théorème précédent, que toutes ces diagonales et par suite le n* côté enveloppent une conique passant par les points communs aux coniques donné^^i

Théorème ^^rrébMt*

On an coniques tangentes à quatre droites données. Un polygone de n côtés est circonscrit à la première et à n — i de ses sommets sur les n^-*- 1 autres : le n* sommée déerit une conique tangente aux mêmes droites^

RfiMARQUB. Il résulte de là que dans le cas particulier où les n^^i coniques se confondent, si l'on cherche la condition pour que le n"" cdté soit tangent à la même conique que les autres, ou pour que le n* sommet décrive la même conique que les autres, cette condition sera indépendante de la position du polygone.

CAS DES COmqVCa HOMOTHiriQUES.

Si deux coniques sont bomothétiques, on sait que les termes du deuxième degré sont proportionnels. Considérons deux coniques circonscrites à un même quadrilatère, leurs équations sont ;

aP — iyS == o ap — A:»y5 == o.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRAtES DES SECTIONS CONIQUES. 107

Or les termes du deuxième degré ne peuvent être proportionnels que si Y ou S est une constante, c'est-à-dire si l'un des côtés du quadrilatère s'éloigne ^ l'infmi.

Deux coniques homothétiques peuvent donc être considérées comme ayant deux points communs à l'infini.

En appliquant aux coniques homothétiques le théorème précédent, on obtient l'énoncé qui suit ;

109. -^ Étant iomées n coniqws homothétiqMê paêtant par deux points fixes^ si un polygone de n côtés est inscrit dans Vune et que n — i de ses côtés enveloppent respectivement lesn — i autr^s^ le n* côté enveloppe une conique passant par les dmx points fixes et homothétiques avec les autres.

Comme cas particulier, ce théorème s'applique à dçs cercles ayant même axe radical,

110. — Trouver Venveloppe de là polaire d'tm point fixe pur rapport aux diverses coniques qui passent par trois points donnés et qui sont tangentes à une droite donnée.

Soient a=o, p=o, y=o les équations des trois côtés du triangle formé par les points donnés, et y = ma + np l'équation de la tangente fixe. L'équation générale des coniques qui passent par les points donnés est

et en exprimant que la droite y^m^ + nP est tangenti à cette conique 9 on arrive i l'équation de condition auivaxitei entre r et s,

',(a) {mr — nsf + i + a(mr + rw) = o.

108 LIVRE ï. — CHAP. IV.

Or, nous avons vu (n* 66) que l'équation de la polaire du point qui a pour coordonnées a', p', y'» ®st

ce qui, dans le cas actuel, nous fournit l'équation

OU, si Ton met r et s en facteurs communs et que Ton pose

P'Y + ï'P = A, «'y + y'« = B, a'p + p'a = G, (3) Ar + B* + C = o.

Pour trouver l'enveloppe de cette droite, nous suivrons la méthode indiquée en géométrie analytique : nous éliminerons r et 5 entre l'équation (2) , l'équation (3) et l'équation qu'on obtient en écrivant que les dérivées partielles par rapport à r et à 5 du premier membre de l'équation (2) sont proportionnelles à celles du premier membre de l'équation (5) prises par rapport aux mêmes variables r et 5.

Cette élimination nous conduit à l'équation suivante :

AB — C(An4-Bm) = o,

équation qui représente une conique, puisque A, B et G sont du premier degré par rapport aux variables a, p et y.

On voit, sur l'équation même , que cette conique passe par les points d'intersection des droites A=o et B=o, A=o et G = o, B=oetG=o, c'est-à-dire par trois points fixes, indépendants de la position de la tangente fixe. De là ce théorème ;

renvehppe de la polaire d'un point fixe par rapport aux diverses coniques qui passent par trois points fixes et qui sont tangentes à une même droite est une conique passant par trois points fixes.

Le théorème corrélatif peut être énoncé de la manière suivante:

Le lieu des pôles d*une droite fixe par rapport à toutes les coniques inscrites dans un triangle donné et passant par un point donné est une conique tangente à trois droites fixeSj cUst-à-dire à trois droites dont la position ne dépend pas de celle du point donné.

Problème.

111. — Étant donnés deux triangles polaires réciproques par rapport à une même section conique.

1*" Démontrer que les points d^ intersection des côtés homologues des detix triangles sont en ligne droite;

2'' Trouver Venveloppe de cette droite qv^nd Vun des triangles est fixe et qu'on prend le triangle polaire réciproque par rapport aux diverses coniques qui touchent deux droites données en deux points donnés.

1** Soient a=o, P=o, y = o les équations des côtés de l'un des triangles, et

Aa« + AT + A Y + 2BPy + aB'Ya + 2B"ap = o

l'équation delà conique; le côté du second triangle homologue de celui du premier qui a pour équation y=o est la polaire du point d'intersection des droites a=o et p=o; par consé^. quent, il a pour équation

A''Y + Bp + B'a = o.

L'intersection de cette droite avec la droite y=o peut se représenter par le système d'équations

jp + B'a = o ir = o

ilO tivaij I. — ciup, lY.

ou bïm p&r le eyatème équivalent

Or, la droite représentée par h première de ces équations passe par le point d'intersection de la droite y==o du premier triangle avec la droite homologue du second; et à cause de la symétrie de son équation, il eêt évident qu'elle passe aussi par les points d'intersection des droites a = o et p = o du premier triangle avee leâ droites homologues du second.

s"* Considérons maintenant une section conique variable tan* geate à deux droites uses &x deux points donnés; prenons, par rapport à cette conique, le triangle polaire réciproque d'un triangle fixe, et cherchons l'enveloppe de la droite sur laquelle se trouvent les points d'intersection des Côtés homologues des deux triangles»

Les deux droites fixes tangentes à la conique ayant pour équations

a* + é(3 + CY == Oj a'a + é'P + c'Y = o,

et la droite des contacts

l*équàtiôft dfe la cotiîque vàriàhlé Sefa, si Ton désigrte par k ufl paramètre arbitraire,

(aa + ép + (rt){a'a + 6'p + e/y) - k{a"d + *''? + c^'y)' = o.

Si maititënant M développe le premier membra de «î8tte (juation et qu'on appliqué h formule

PROPRIÉTÉS GÉNÉBAIES DES SECTIONS CONIQUES. Hl

on trouve pour équation de la droite dont on cherche l'enveloppe

fc' + eôW*éV '^ ca' + ac^-^ kc^'h" "^ «*'+ 6fl'— Aa'V "^ ^*

Pour obtçnir^en coordonnées tangentielles, l'équation de cette envdoppe» posons

p[y + cV — A6 V) = q(cci + ac' — kcf'a") = r[aV + éo' ^ Aa^'b") ,

et éliminons fc entre tes defnîèreà équatîoiîs. Nous trouvons ainsi, pour êquatiofi de la cout*be-eîiveloppe ,

a" [</\aV + bd) — b^eai + iw')] ?r

+ c" [*''{ca'+ «c') — «''{&/ + €b']-\pq

Cette équation représente une section conique. Gomme elle est satisfaite lorsque deux quelconques des variables p, g, r sont nulles, cette conique est tangente aux trois droites qui ont pour coordonnées tangentielles

c'est-à-dire euk droites représentées en coardomié$8 reaUUgitef par les équations

droites qui ne sont autre chose que les côtés du triangle fixe* Gomme cette même équation est encore satisfeite lorqu on a simultanément

cette conique est tangente à la droite qui a pour équation fc'est-à-dîre à la droite des contacts.

La géométrie montre simplement que la courbe cherchée est tangente aux côtés du triangle. En effet, soit abc (fig. 60) le triangle donné. L'équation de la conique directrice contenant un paramètre arbitraire, on peut disposer de ce paramètre de manière que la polaire A' du point a, par exemple, passe par le point b. Alors les deux polaires A' et C coupant leurs droites homologues sur la droite aft, la troisième polaire coupe aussi son homolo- Fig. 60. gue sur cette droite a6, et par conséquent

cette droite est une position particulière de la droite mobile qui enveloppe la conique considérée.

La géométrie montre encore, aussi facilement, que la droite des contacts est tangente à la conique-enveloppe. Pour le voir, il suffît de remarquer que lorsque la conique directrice se réduit à une ellipse dont le petit axe est nul, elle se confond avec la droite des contacts et que, dans ce cas, les polaires des sommets du triangle donné se confondent aussi avec cette même droite.

Jusqu'ici nous n'avons fait connaître que quatre tangentes de la conique-enveloppe : il est aisé d'en trouver une cinquième qui achève de déterminer cette conique. 11 suffit pour cela de considérer le cas où la conique directrice se réduit aux deux tangentes données. Alors les polaires des sommets du triangle donné passent par le point de rencontre de ces tangentes, il est facile de les construire, et, par suite, d'obtenir une position particulière de la droite mobile qui enveloppe la conique.