MULTIPLES

160.— Une courbe ayant un point double peut être représentée par l'équation

(i) aa»cp + 6ap^. + cp»x=-o,

a et p étant des polynômes du premier degré en a? et y, <p» ^9 X des polynômes du degré m — 2.

Lu point double est l'intersection des droites a =s= o et p = o. Les tangentes en ce point sont données par l'équation

Enfin on peut s'assurer que cette équation est Féquâtion générale des courbes du degré m qui ont un point double; elle contient en effet

constantes. Et on a toujours

3 (m* — m + a) > m[fn + 3) ;

car cette inégalité revient à celle-<^i

qui a toujours lieu, quel que soit m.

L'équation générale d'une courbe de degré m, douée d'un point triple, est

(a) a%\ + hm^^^ + cap*x + ^P'^ = o-

Le point triple est à l'intersection des droites a = o et p = o. Les tangentes en ce point sont données par l'équation

ûa»<p, + 6a»P4», + cap*Xo + ^PS = <>• L'équation (*2) contient

a(m — 3)m + 7 = am* — 6m -f- 7

coefficients. Ce nombre est supérieur à — i — "^^^ quand m est

plus grand que 3. Toutes les courbes au-dessus du troisième degré, c'est-à-dire celles qui peuvent avoir des points triples, sont donc susceptibles d'être ramenées à cette formule. Quand m = 3 , l'équation représente un système de trois droites passant

158 UYRE m. — caiP. i.

au point d'intersection des droites a = o et ^ =: o ; on peut donc dire que l'équation conrient encore à ce cas*

L'équation générale des courbes de degré m qui ont une tangente double peut s'écrire :

(5) a<p + ApY4;=:o.

On voit que la droite a = o est doublement tangente à la courbe aux deux points (a = o, p = o) et (a = o, y == o) •

Cette équation renferme un nombre suffisant de constantes pour que l'équation d'une courbe quelconque de degré m puisse y être ramenée. On a, en effet,

(m--i)(y?3+a) , (m — 4)(m— i) , ^ mÇm + S) ,

car cette inégalité revient à celle-ci,

qui est toujours àatisfàitë.

161. — L'équation générale des courbes de degré m qui ont un point d'inflexion peut s'écrire

(4) acp + Ap«4. = o.

Le point d'inflexion est à l'intersection des droites a= o, p= o. La droite a = o est la tangente en ce point.

Cette forme d'équation renferme également un ndmbre Émflisant de constantes. On a, en effet,