CÔNE ET ELLIPSE SPHÉRIQUE
perpendiculairement à la ligne focale (n* 276); de plus les quatre points E, F, G, D forment une proportion harmonique (n* 277). De là il résulte que le lieu des directrices qui correspondent aux foyers situés sur OM est un plan perpendiculaire ^ zx dont la trace 01 est conjuguée harmonique de OM par rapport à l'angle BOA. Ce plan est dit le plan directeur corres» pondant à la ligne focale OM. A la droite OM' correspond de même un plan directeur 01' symétrique du précédent.
Il y a donc dans l'ellipse sphérique deux foyers situés sur le grand axe; à chacun d'eux correspond une directrice, arc de grand cercle perpendiculaire au grand axe.
Théorème I.
30A. — Le rapport des sinus des dislances Sun point Sune ellipse sphérique à un foyer et à la directrice correspondante est constant
Nous savons que le pian mené par le foyer F et la directrice EG est perpendiculaire à la ligne focale OM, et coupe le cône suivant une elUpse dont F est un foyer et EG la directrice* Si P est un point de cette ellipse, on a donc
FF
—-- = constante.
PQ
Mais si l'on désigne par a et p les angles de la génératrice OP avec OF et le plan directeur, par y l'angle du plan de l'ellipse et du plan directeur, par I la distance OP, on a
PF = /sm.,PQ = ^-^^ sm-f
rk sina
JLlonc ■ . ^ = constante,
smp
puisque y est un angle constant. De là résulte le théorème énoncé.
200 UTRE lY. -^ GHAP. Vl»
Poui* avoir le théorème corrélatif dans la tranafo^nàtion par les figures supplémentaires, il faut remarquer que les lignes focales d'un cône étant perpendiculaires aux plans cycliques du cône réciproque (n** 279)^ les foyers se transformeront en arcs cycliques; on peut donc énoncer ainsi le théorème corrélatif 1
JÈîant donnée un point dé la sphère ei un grand ctri&lei si un Mutre grand een^k se meut de manière que le sinus de Vangle qu'il fait avec h plan fiœe eoit au sinus de Vare perpendiculaire m(mè par U point figoe dans un rapport consi&Mi le eercle mobile tn^ f^ehppe une elUpse sphérique^ dont le e^cle fiœe est Tun éeê ar^ cycliques,
Tlièorèiiie D.
305. -« La somme des rayons vecteurs qui joignerU un point quskonque d'une ellipse sphirique à ses deux foyers intérieure est constante.
Pour démontrer cette proposition, cherchons Téquation du plan directeur correspondant à une ligne focale. Ce plan étant perpendiculaire à zxy son équation est celle de sa trace sur le plan zx; c'est Téquation de la droite qui fait avec la ligne focale et les côtés du plus grand angle du cône un faisceau harmonique. Soit le cône
tes lignes focales OM ël ON ont pour équations
les plans directeurs 01 et 01'
Prenons sur une génératrice quelconque du cône un point à une
CÔNE ET ELLIPSE SPHÉRIQUE. &9i
distance i de Torigine; les coordonnées x^ y, z de ce point sont égales aux connus dea wglea gua fait la génératrice avec les axes. Les angles w et w' de la génératrice avec les deux lignes focales sont données par les formules
cosco = A [x v/a' — î* + z v^*'-f' 6*) ,
A étant une constante.
De plus, d'après le théorëaaB préeédent, le sinus de Fangle que fait une génératrice avec ime ligne focale est proportionnel au sinus de Tangle qu'elle fait avec le plan directeur; on a donc
sii>»'= 8 (I v/û^^' + J sl^TVJ ,
De ces expressions, on déduit
stn(u>+to^) = aAB|^^' («•-.*•) +î!(^+*^)].
Mais le point x^y^z étant à une distance de l'origine égale à 1 et sur le cône, on a
l'rr- »»-—«? 2»
Pqiîc
Sin (w + ^') = «AB (û* + c') = w^tinte,
et par suite aussi
Théorème corrélatif.
La tomme deâ angles que fait une tangente quelconque à une ellipse sphérique avec les deux arcs cycliques est constante. Ce qui peut encore s'énoncer ainsi :
Une ellipse sphérique est Venveloppe de la base d'un triangle dont deux côtés sont fixes, et Vaire constante; les deux côtés fixes sont les arcs cycitgues de t ellipse.
Théorème m.
306. — La tangente à V ellipse sphérique fait des angles égaux avec les rayons vecteurs du point de contact.
Nous avons déjà démontré cette proposition dans le chapitre précédent; mais on peut la déduire du théorème II par des considérations analogues à celles que Ton a employées pour démontrer là même proposition dans l'ellipse plane.
Théorème eorrélotif.
Les portions iune tangente à VeUipse sphérique comprise entre le point de contact et les deux arcs cycliques sorU égales.
Ou bien encore
Le côté mobile du triangle S aire cofkstante qui enveloppe une ellipse, touche cette courbe en son milieu.
Nous laisserons encore au lecteur le soin de démontrer les deux théorèmes suivants» par des considérations géométriques analogues à celles que l'on emploie pour les propositions correspondantes dans l'ellipse plane.
I. — Les deux tangentes que Von peut mener d'un point à une ellipse sphérique font des angles égaux avec les rayons vecteurs qui joignent ce point aux deux foyers.
II. — Le rayon vecteur mené d'un foyer à un point quelconque, partage en deux parties égales, V angle des rayons vecteurs menés
CÔNE ET EUIPSE SPHÉRIQOE. 293
du même foyer aux points de contact des tangentes à VélUpse menées par ce point.
Les figures supplémentaires nous donnent, pour les théorèmes corrélatifs :
I. — Si ïon mène un grand cercle sécant quelconque^ les portions de ce grand cercle comprises entre Veïlipse sphérique et les deux arcs cycliques sont égctles.
IL — Si par deux points Sun arc cyclique on mène des tangentes à une ellipse sphérique^ la corde de contact divise cet arc cyclique en deux parties égales.
Théorème IT.
307. — Le produit des sinus des perpendiculaires msnées d'un point d'une ellipse sphérique sur les deux arcs cycliques^ est con-stant.
Si l'on désigne en effet par a= o, p= o les équations des plans cycliques, l'équation du cône peut s'écrire
a:' + y' + z*=*ap.
Mais si x^ y, z est un point de l'ellipse sphérique, a et p représentent des facteurs constants près les sinus des distances de ce point aux arcs cycliques, 05* + y* + **=*"' ^6 carré du rayon de la sphère, le théorème énoncé n'est donc que l'interprétation de l'équation précédente.
On peut encore énoncer ce théorème de la manière suivante : Si un triangle a une base fixe et que le produit des cosinus des deux autres côtés soit constant, le lieu du sommet du triangle est une ellipse sphérique, dont les arcs cycliques ont pour pôles les extrémités fixes de la base du triangle.
Théorème corrélatiffr
Le produit des sinus des perpendiculaires menées des deux foyers sur une tangente à Veïlipse sphérique est constant.
308, — En interprétant comme dans le numéro précédent les
âiifi&rentes foim^ de l'équatioa du cône, pn aéra eonduit à dea théorèmes sur l'ellipse sphérique. Ainsi, a, p, y» ? repr-ésentaal 198 pl^g 4'iW quadrilatère ingcnt dWi »M elUpse pphérique, l'équation du cône peut se mettre sous la forme
ap = Apfi,
ce qui montre que le produit des mm dw di§tftBa§P 4'«8 PQÎnt
4e l'elUpM à âw5 fiOtés opposéei 4'ua quadrilatère inscrit est dapsi M rapport con^taot ^vep 1q produit des giqu^ de§ ^sr
tances aux deux autres côtés.
Si a et p représentent les plans de deux tangentes à une ellipse sphérique, y le pkn de la em^de de contact, l'équation du
cùm pgut 90 mettre sou§ la forme
DoRÇi te ?ftoy§uB§ géopaé&îqu^ de» mm des diitingea d'un
pomt d'une ellipse à deux tftugeutes fixgs, §§{ PfPPOrtiioBfleUç ^ la distance de ce point à la corde de contact.
VU^^m^^p ir.
309. .-r Les quqtre poinU oi^ les deux ares cycliques ^ont rencontrés par d$y>x tan^ente§ sont sur ufi même petit cerd§.
Soient en effet L = o, M = o les plans des deux tangpptes, R = o le pl^n de H corde de contact. L'équation du cône est de la forme I^ftï == R', nous avoQS augsi vu çu elle est de la foripe
a et p représentant ces plans cycliques; ees deux équations doivent être identiquesi Donc on a identiguepaent, en supposant qu'on a multiplié les deux membres de la première de ces équations par un feetQur conyeuftblet fftcteup que «pu» supposerons §î}tFçrd5^usL0tR.
CÔNE ET BLLIP8E 8PHÉB1QQE. 20S
Gomme l'équation a^->«LM ^ o représente iur la Sphère une Goûrbe passant par les ({uatre points considérés et qttéré({uation «?• + y' + ** "" R* = o, qui lui est identique» représente sur la sphère un petit cercle dont le plan est parallèle à R9 ou, œ qui revient au même, ayant même pôle que R^ on voitjque les quatre points considérés sont sur un même petit cercle ayant même pôle que la corde de contact. ]
Tliéorèaie «•«relatif.
Le quadrilatère ayant pour côtés les rayons vecteurs menés des foyers à deux points de T ellipse sphérique, est drconscriptible a Hn petit tèrtlit
UO, >— CoWêùmm iUt M èpMrêi On détôrmiUâ gëfi^aleM ment la position d'un point sur la sphère à l*ài(te de âeUJt ooôfttdâtiéeè que l'oâ Hôûime Idn^ttiiâê et latitude f mali d&ns beàueoup de (^^ c@ «ystème â'est pM te plus commode*
Du râyoïi OM feât déterminé lofSqU'cm
connaît les rapports Ç = -, 7j = |
entrô léd (M[)ordonné^ reetiligned or^
thogonales d'un queltoûquô de sial
polntSi Nous tippelcm» eei rapporti
^%« &>«» t^oordottnâeô du rayon Ou eoordoûnées
dtt poliit M Où le ràyoti petee la sphèrtà» Projfetoûs te rayonOM
sur les deux plans ^ûô^ »oy ; oti h
^ t± langGQ; ^ ^ tangGP.
Ainsi, dans ce système, les coordonnées Ç, ti d'un point M sont les tangentes des arcs CQ, CP interceptés sur deux cercles rectangulaires fixes par les artê menés d'un point quelconque perpendiculairement aux premiers. Lorsque les axes primitife
sont obliques, la signification gépmétnque des rapports -, -
ne peut plus s'énoncer d'une manière aussi simple, mais ces rapports déterminent toujours sans ambiguïté la position d'un point de la sphère. Une équation /"{Ç, ri) = o représente une courbe tracée sur la surface de la sphère.
L'équation du premier degré
AÇ + Btj + C = o devient
kx + By + Cz=z 0.
lorsqu'on remplace les coordonnées Ç, ti, par les coordonnées
rectilignes -, -; cette dernière équation représente un plan
passant par Torigine ; donc la première représente sur la sphère un grand cercle.
En général, une équation algébrique et entière du degré m devient, par cette substitution, une équation algébrique entière et homogène du degré m; elle représente par conséquent un cône du degré m. Or, si l'on change la direction des axes oa?, oy, oz sans changer l'origine, l'équation homogène se transforme en une autre équation homogène de même degré . en x\ yf, z\ de sorte qu'en divisant par z'**, on aura encore une équation du degré m en i', t)'. Une transformation de coordonnées n'altère donc pas le degré d'une équation algébrique entière, ce qui amène naturellement à la classification des courbes sphériques algébriques d'après le degré des équations.
Au moyen de ces coordonnées , on peut étudier les courbes sphériques de la même manière que l'on a étudié les lignes planes au moyen des coordonnées rectilignes.
