VII

Surface conique du tecond degré.

i* Courbe plane.

Étant donnée une surface conique du second degré et non de révolution , qne je désigne par â, son sommet étant désigné par «, je coupe cette surface par un plan suivant une courbe d; développant le cône, la courbe i se transformera en une courbe 9.

Je prends sur la courbe d un point m, pour lequel la tangente sera une droite* I. Le point m se transporte sur le développement au point M de la courbe 0; et la tangente r en la droite T , tangente au point M à la courbe 9.

Si la droite T a un contact du second ordre avec la courbe 9, c'est que l'hélice H, obtenue en pliant la tangente t sur le cône S, a un contact du second ordre avee la courbe d au point m.

Par conséquent les surfaces développables ayant respectivement pour arête de rebroussemeat « l'une la courbe d, l'autre rhélice H , auront même plan tangent suivant leur génératrice droite commune t; puisque les deux courbes d et H doivent avoir ^ dans ce cas , même plan osculateur au point m.

Il faudra donc, puisque la courbe 9 est plane , que le point m soit tel que le plan osculateur de Thélice H en ce point se confonde avec le plan sécant , qui détermine la section d du cône S.

Cherchons donc la direction que prend le plan osculateur en un point quelconque d'une hélice tracée sur un cône du second degré, pour chercher ensuite si parmi les divers plans osculateurs de cette hélice, il n'en existerait pas un qui se superposerait avec le pian de la courbe dr

Je regarde le sommet s comme le centre d'une sphère d'un rayon arbitraire R , laquelle coupera le cône S suivant une courbe C, dont tous les points seroni également distants de la quantité R du sommet s.

Dès lors supposant la surface S développée , la courbe C se transformera toujours en un cercle G' ayant son rayon égal à R.

Maintenant je suppose un plan P tangent au cône S suivant une de ses généra* Irices droites 9, laquelle perce la courbe C en un point a; puis dans ce plan P^ et du sommet $ comme centre et avec un rayon R 5 je trace un cercle C.

La courbe C et le cercle G' seront en contact au point a.

Ensuite dans le plan P je trace une droite arbitraire T, laquelle perce le cercle G' en un point b.

Gela posé :

Si je suppose que le cercle G' roule sur la courbe C, le plan P, dans ses diverses positions, restant toujours tangent au cône S, le point b décrira sur la sphère une courbe V, et la droite T s'enroulera sur le cône S suivant une hélice H.

Le plan P en une de ses positions P' sera tangent au cône S suivant une gêné* ratrice droite g' (la droite T ayant pris la position T' en laquelle elle sera tangente à l'hélice H au point m\ et T' coupant la courbe Y en un point n).

Je désigne par t' la tangente de la courbe Y au point n\

Il est évident que le plan osculateur de l'hélice H pour le point m' sera déterminé par les deux droites t' et T'.

Démontrons maintenant que la droite l' est toujours perpendiculaire au plan P'y et que dès lors le plan osculateur de l'hélice conique est toujours perpendicu-* laire au plan tangent du cône sur lequel cette hélice est tracée.

L'élément rectiligne de la courbe Y au point n' peut être regardé comme situé à la fois ^ur les deux sphères ayant, l'une pour centre le sommet s et pour rayon la droite «n^ Tautre pour centre le point a de contact des deux courbes G et G' et pour rayon a'n.

La tangente au point n de la courbe Y sera donc Tintersection des plans tangents menés à ces deux splières par le point n.

Or y comme les deux rayons W et aV sont situés dans le plan P'^ les deux plans tangents seront perpendiculaires à ce plan , etc.

Ainsi il se trouve démontré, par des considérations géométriques très-simples, que le plan osculateur en un point quelconque (Cuné hélice conique est toujours perpendiculaire au plan tangent du c$ne pour ce même point.

Si donc du sommet s du cône donné S on abaisse une perpendiculaire N sur le plan sécant qui donne pour section dans ce cône la courbe d, si l'on construit le piedrt

(le cette normale sar le plan sécant, il faudra par ce point n mener une tangente à la courbe d, et le point de contact se transformera sur la transformée 9 en un point tel que le rayon de courbure de 9 et en ce point , sera infini.

Si du point n on ne peut mener aucune tangente à la courbe d, la courbe 9 n'aura dès lors aucun point pour lequel le rayon de courbure sera infini ; autant il y aura de tangentes possibles par le point n à la courbe d, autant il y aura de points sur la courbe 9 pour lesquels le rayon de eourbure sera infini.

Discutons maintenant la nature de ces points de la courbe 9 peur lesquels le rayon de courbure sera infini.

Ces points peuvent être de deux espèces, ou point d'inflexion iouUe, ou point méplat , tout comme cela arrivait pour un cylindre.

Je désigne par i la tangente à la courbe i passant par le pied n de la normale N ; par m le point de contact ; et par g la génératrice droite du c6ne correspondant au point m. La tangente t peut affecter deux positions par rapport à la généra* trice g.

V EIIq peut être oblique par rapport à la génératrice g ; 2*"' Elle peut être perpendiculaire à la génératrice g.

Le plan tangent P au cône S pour le point m étant perpendiculaire au plan de la. courbe d , il s'ensuit , pour le premier cas, que la projection sur ce plan P de la courbe d ne sera autre que la droite i; et que la projection sur ce mènse plat P de l'hélice H , obtenue en enroulant la tangente i sur le cône S , aura au point m un point d'inflexion Dès lors il est évident que , sur le développement , la transformée 9 de la courbe d aura au point M , en lequel se translot me le point de contact m , une inflexion double.

Pour le second cas , la projection de Thélice H sur le plan sera tout entière avant et après le point m au-dessous de la tangente î (qui est la projection de la courbed sur ce même plan P); dés lors il est évident que la transformée aura au point M un point méplat double , si le point m n'est pas un êommetée la ceurbed, et un point méplat triple^ si le point m est un sommet de la courbe d.

2® Courbe à double courbure.

D'après ce qui précède, il est évident que la solution, dans le cas d'une courbe à double courbure i tracée sur le cône S , consistera à abaisser do sommet s une normale N à la surface développable ayant pour arête de rebroussement la courbe donnée i^ et à mener par te point n de rencontre de la normale etde la surface développable une tangente à la courbe i.

Si la normale N ne rencontre pas la surface développable, il n'y aura pas dé point

ayaDt un rayjon de courbure infini sur la transformée G de la courbe i. Si la normale N rencontre la surface développable^ il pourra arriver deux cas, i"" son pied n pourra être sur la courbe d, et alors la tangente r à la courbe d sera perpendiculaire à la génératrice droite g du cAne S; S* la normale N pourra couper la surface développable en plusieurs points; et alors autant de points, autant de tangentes possibles à la courbe d, et dès lors autant de points sur la transformée S ayant un rayon de courbure infini.

On reoon.iattra si les points de la transformée sont des points d'inflexion double ou riw^le et des points fnéplats éoubles ou tripleB , en suivant le même mode de discussion que nous avons employé lorsque la courbé à double courbure était tracée sur un cylindre; les résultais seront complètement identiques.

Nous devons faire remarquer qu'on ne peut pas déterminer directement la normale abaissée sur une surface développable par un point extérieur; ce problème pourra être résolu par la méthode graphique suivante.

On abaissera du sommet du cône une perpendiculaire sur chacun des plans osculateurs de la courbe à double courbure tracée sur la surface conique; les pieds de ces diverses perpendiculaires détermineront une courbe à double courbure, dont on cherchera les points de rencontre avec la surface développable qui a pour arête de rebroussement la courbe tracée sur le cône.

Pour déterminer ces points de rencontre, on regardera la courbe K, lieu des pieds des perpendiculaires, comme située sur une surface cylindrique verticale, ayant pour base et section droite la projection horizontale de la courbe K , et Ton déterminera la courbe K', intersection de ce cylindre et de la surface développable.

Les deux courbes K et K' se couperont, ou se toucheront, ou n'auront aucun point commun.

Si elles se coupent , il y aura autant de points, sur la courbe à double courbure tracée sur le cône, et donnant sur la transformée des points pour lesquels le rayon de courbure sera infini, qu'il existera de points communs entre les deux courbes K et K'.

Si elles se touchent, on aura le même résultat que précédemment; mais dans ce cas le plan osculateur de la courbe à .double coorbtlre aéra perpendiculaire à la génératrice droite du cône.

Si les deux courbes n*ont aucun point commun, alors la tran8form.ée n'aura en aucun de ses points un rayon de courbure infini.

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