RELATION GENERALE DE QUANTICITE
DE BOMR ET SOMMERFELD
Bohr et Sommerfeld ont adopté la relation de quanticité, plus générale
période L Pa-dg = nh
Re : , intégrale pour une période entière
p, la coordonnée variant périodiquement
P x, la quantité de-mouvement correspondante n, un paramètre entier, ou nombre quantique h, le quantum élémentaire d'action de Planck
La théorie quantique, exprimée par la relation générale de quanticité de Bohr et Sommerfeld, signifie que, dans tout mouvement périodique, il y a à considérer des grandeurs d'action qui sont constantes. Les variations dans lesquelles elles figurent ne comportent, comme valeurs numériques, que des multiples entiers de h, c’est-à-dire des multiples entiers du quantum d’action élémentaire de Planck.
Dans le cas d’une oscillation en ligne droite, d'amplitude totale 2x, la coordonnée variable est x et l’on a, pour la quanlité de mouvement,
dx di
Dans le cas d’un électron, parcourant une orbite circulaire, la coordonnée variable est l’angle azimutal ®, et la quantité de mouvement de rotation est
dp
p TURC MENT E u dt
r, rayon de l'orbite circulaire.
w, vitesse angulaire
L’atome de l'hydrogène consiste en un électron parcourant une orbite elliptique plane, autour d’un proton qui se trouve, à fort peu de chose près, à l'un des foyers de l'orbite elliptique. Les coordonnées à employer, dans ce cas, sont les coordonnées polaires, comportant |
r, le rayon vecteur ®, l'angle azimutal
Il y a, par conséquent, à considérer, pour ce mouvement périodique de l’électron sur une ellipse, deux relations de quanticité
Diet DENON Ie
PEINE Pod? = noh
L'orbite elliptique parcourue par l’électron est déterminée par 2 paramètres.
le demi-grand axe a le demi-petit axe b lesquels résultent des 2 relations ci-dessus, appliquées à des valeurs données de n, et No .
Par conséquent, à chacun des groupes de valeurs de n;
et no correspond une ellipse déterminée.
Le calcul conduit pour l’excentricité de l’ellipse, à
7p 1—Ee = — Nr — ie) d’où n° k;° E— 1 — HSE — ie ; (n 1 + No) H
e, excentricité de l’ellipse, mn, nombre quantique radial, ne OÙ k, nombre quantique azimutal, nn r Te nombre quantique principal.
Le nombre quantique principal, n prend les valeurs 7, 2, 3...
Le nombre quantique azimutal peut prendre toutes les valeurs entières de 7 à n.
2 pee
